A prímszámtétel

Képzeld el, hogy felsoroljuk az összes egész számot spirál alakban, és kékre színezzük a prímszámokat, míg az összetett számokat feketén hagyjuk. Feltehetnénk azt az érdekes kérdést: – Hány prímszám van az összetettekhez képest? Először is növeljük a léptéket, hogy átfogó képet kapjunk. Láthatjuk, hogy a közepén sűrűn vannak a prímek, majd ahogy távolodunk, egyre ritkábbak lesznek, de sehol se tűnnek el. Én ezt úgy szeretem elképzelni, hogy van középen egy fa, ami végtelen magas. A fáról lehulló levelek jelentik a prímszámokat, amik véletleszerűen oszlanak el a fa alatt, sűrűbben a fa tövénél, és ahogy eltávolodunk a fától, egyre kevesebb levél van, de mindig fogunk találni levelet. Pontosan ez történik akkor, amikor egyre nagyobb egész számokat vizsgálunk. Mindig találunk prímszámot, de egyre csökken a számuk, minél tovább haladunk. Térjünk vissza az eredeti kérdéshez. Hány x-nél kisebb prímszám van? Ha csinálunk egy táblázatot, látni fogjuk, hogy a prímek száma egyre növekszik. De ahogy tovább keresünk, egyre kevesebbet találunk. Rajzoljuk fel a prímek számát a függőleges tengelyen, a keresés méretét pedig a vízszintes tengelyen. Ahogy nő a lépték, egyre több millió számot látunk. Figyeld meg, a görbe soha nem éri el a vízszintest. Mindig emelkedik, de egyre lassabban. Először nézzük az egy adott egész x-nél kisebb prímek sűrűségét. A sűrűséget úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk a prímek számát a keresés intervallumának méretével. Az első 100 egész között 25 prímszámot találunk, azaz 25% a prímek száma. Az első 10000 egész között 1229 prímet találunk, 12,29%-uk prímszám. Az első 1 millió egésznek 7,84%-a prímszám. Az első 100 millió egész között 5,76% prímszám található. Ahogy tovább keresünk, ez a sűrűség tovább csökken, de a csökkenés sebessége egyre lassabb lesz. Ez a grafikon a vízszintes tengelyen mutatja a keresési intervallum méretét, a függőleges tengelyen pedig a prímek sűrűségét. Láthatod, hogy ahogy nő a lépték, a prímek az egész számok egyre elenyészőbb hányadát teszik ki. Meglepő módon ezt az összefüggést a természetben is megtaláljuk. Előjön a galaxisoknál, viharoknál, virágok esetén, még a testünkben is a legkisebb ellenállás mintázatában. Ez a jelenség logaritmikus spirál néven vált ismertté. Figyeld meg, hogy ahogy forog a spirál, egyre távolabb kerül a középponttól. Hihetetlen módon a logaritmikus spirál forgási sebessége az alábbiak szerint van kapcsolatban a prímszámok sűrűségével: Adott a fordulatok száma, ez legyen fi(Φ), valamint a középponttól való távolság, jelöljük r-rel. Ha felrajzoljuk Φ és r függvényét, és növeljük a léptéket, látjuk, hogy az összefüggés a természetes alapú logaritmus alakját követi. Ez azt jelenti, hogy a távolság természetes alapú logaritmusa a fordulatok számának függvénye. A természetes logaritmus grafikonját az x és y változónevekkel szokták felrajzolni: y = ln(x) Figyeld meg, hogy a függvény ugyanúgy ellaposodik, ahogy a prímek sűrűsége is lecsökken. Az utolsó lépésben invertálunk, az y tengelyen az 1 / ln(x)-et ábrázoljuk. Amikor nő a lépték, ugyanazt a görbét kapjuk, mint amit a prímek sűrűségének ábrázolásakor. Ezt beláthatjuk úgy, hogy egymásra helyezzük a két görbét. Zölddel ábrázoltuk az y = 1 / ln(x)-et, pirossal ábrázoltuk a prím számok sűrűségét x-ig. Ahogy nő a lépték, egyre jobban megközelítik egymást. Minél nagyobb a lépték, annál jobb lesz a zöld vonal közelítése. Ezt a jelenséget a prímszámok eloszlásának aszimptotikus törvényének hívják. Rendelkezünk egy képlettel, amivel anélkül, hogy megszámolnánk, pontosan meg tudjuk mondani a prímszámok sűrűségét. Egy adott x egész számnál kisebb prímek sűrűségének értéke megközelítőleg 1 / ln(x). Ha meg kell tudnod a prímszámok sűrűségét 1 és 100 billió között, könnyű a dolgod: 1-et elosztod ln(100 billió)-val, ami 3,1% Hasonlítsuk ezt össze a valós számokkal, amit a prímek megszámolásával kapunk, az eredmény 3,2%. A különbség 0,1%. Ahogy egyre nagyobb számokkal próbálkozunk, a különbség megközelíti a nullát. Láthatod, hogy a prímek sűrűségének képlete felhasználható az x-nél kisebb prímek számának becslésére. A prímek száma a sűrűségfüggvény alatti terület, amit egyszerűsíthetünk úgy, hogy feltételezzük, hogy a sűrűség állandó. Tehát a prímek száma egyenlő x szorozva sűrűség, azaz x osztva ln(x). Ez a prímszámtétel. Ez a grafikon kékkel mutatja x / ln(x)-et, és sárgával a prímszámok számát. Figyeld meg, ahogy nő a lépték, egy idő után a két vonal egybeesik a végtelenben. Ez minden. Van egy képletünk, amivel megközelítőleg meg tudjuk mondani egy adott számnál kisebb prímek számát anélkül, hogy megszámlálnánk. Például ha tudnunk kell a 100 billónál kisebb prímek számát, akkor 100 billió osztva 100 billió természetes logaritmusával 3,1 billiót ad eredményül. Hasonlítsd ezt össze a valódi értékkel, ami 3,2 billió. Ez több, mint 99,99%-os pontosság [vagyis valójában 96,9%], még ilyen relatív kis értéknél is. Összefoglalva: Ha adott egy x egész szám, az annál kisebb prímek sűrűsége megközelíti 1 / ln(x)-et. A prímek száma pedig megközelíti az x / ln(x) értéket. Ez a prímszámtétel.