If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Maradékosztály

Maradékosztály

Ha ehhez hasonló kifejezést találsz:
A, \equiv, B, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
ez azt jelenti, hogy A kongruens B-vel modulo C.
A maradékosztály jelentését egy gondolatkísérleten keresztül a szokásos modulo művelet segítségével fogjuk bemutatni.
Tegyük fel, hogy ki akarjuk számolni az összes egész szám mod 5 értékét:
Tegyük fel, hogy felcímkéztünk 5 szeletet: 0, 1, 2, 3, 4. Minden egész számot berakunk abba a szeletbe, aminek a címkéje megegyezik a szám mod 5 értékével.
Gondolhatsz úgy is a szeletekre, mint számokat tartalmazó csoportokra. Például a 26 az 1 címkéjű szeletbe fog kerülni, mert 26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1.
A fenti ábrán olyan egész számokat tüntettünk fel, melyek az egyes szeletekbe tartoznak.
Hasznos lenne egy olyan jelölés, amivel kifejezhetjük, hogy adott számok ugyanahhoz a szelethez tartoznak. (Megfigyelheted, hogy a fenti példában a 26 ugyanabban a szeletben van, mint az 1, 6, 11, 16, 21).
Úgy is szokták mondani, hogy ha két érték azonos szelethez tartozik, akkor azok ugyanabba az ekvivalenciaosztályba (maradékosztályba) tartoznak.
Ez matematikai jelöléssel így néz ki mod C esetére: A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
A fenti kifejezés olvasata: A kongruens B-vel modulo C.
Vizsgáljuk meg részletesen az alábbi kifejezést!
  1. \equiv a kongruencia jele, ami azt jelenti, hogy A és B ugyanahoz az maradékosztályhoz tartozik.
  2. left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis mutatja meg az A-val és B-vel elvégzett műveletet.
  3. Ha fenti kettő szerepel, akkor ezt „\equiv”: kongruens modulo C-nek mondjuk.
Például 26, \equiv, 11, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis
26, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1, ezért a 26 az 1 maradékosztályban van,
11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 1, ezért a 11 is az 1 maradékosztályban van.
Figyeld meg, hogy ez más, mint A, start text, space, m, o, d, space, end text, C: 26, does not equal, 11, start text, space, m, o, d, space, end text, 5.

Maradékosztályok közelebbről

További részleteket fedezhetünk fel a maradékosztályokkal kapcsolatban, ha követjük ugyanezt a gondolatmenetet egy C pozitív egész számmal.
Először megjelölünk C szeletet: 0, comma, 1, comma, 2, comma, dots, comma, C, minus, 2, comma, C, minus, 1.
Ezután minden egész számot beteszünk abba a szeletbe, amelyik megfelel a start text, m, o, d, space, end text, C értékének.
Az alábbi ábrán az egyes szeletekre jellemző értékek közül látható néhány.
Ha megnézzük a 0-val jelölt szeletet, ezt látjuk:
dots, comma, minus, 3, C, comma, minus, 2, C, comma, minus, C, comma, 0, comma, C, comma, 2, C, comma, 3, C, comma, dots
Ha megnézzük az 1-gyel jelölt szeletet, ezt látjuk:
dots, comma, 1, minus, 3, C, comma, 1, minus, 2, C, comma, 1, minus, C, comma, 1, comma, 1, plus, C, comma, 1, plus, 2, C, comma, 1, plus, 3, C, comma, dots
Ha megnézzük a 2-vel jelölt szeletet, ezt látjuk:
dots, comma, 2, minus, 3, C, comma, 2, minus, 2, C, comma, 2, minus, C, comma, 2, comma, 2, plus, C, comma, 2, plus, 2, C, comma, 2, plus, 3, C, comma, dots
Ha megnézzük a C, minus, 1-el jelölt szeletet, ezt látjuk:
dots, comma, minus, 2, C, minus, 1, comma, minus, C, minus, 1, comma, minus, 1, comma, C, minus, 1, comma, 2, C, minus, 1, comma, 3, C, minus, 1, comma, 4, C, minus, 1, dots
Ebből a kísérletből az alábbi fő következtetést vonhatjuk le:
Az egyes szeletekhez tartozó értékek megegyeznek a szelet címkéje plusz-mínusz C valamilyen többszörösével.
Ez azt jelenti, hogy az egy szelethez tartozó tetszőleges két érték közötti különbség C valamilyen többszöröse.
Ez a megfigyelés segíteni fog abban, hogy megértsük az ekvivalencia kifejezéseket és a maradékosztályokat a későbbi fejezetekben.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.