If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Ekvivalence reláció

Ekvivalens állítások

Mielőtt továbbmegyünk, fontos észben tartani, hogy az alábbi állítások ekvivalensek:
  • A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
  • A, start text, space, m, o, d, space, end text, C, equals, B, start text, space, m, o, d, space, end text, C
  • C, space, vertical bar, space, left parenthesis, A, minus, B, right parenthesis (A „|” jel itt azt jelenti: osztója)
  • A, equals, B, plus, K, dot, C (ahol K egész szám)
Ez lehetővé teszi, hogy több alakban is kifejezhessük ugyanazt a koncepciót.
Például az alábbi állítások ekvivalensek:
  • 13, \equiv, 23, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis
  • 13, start text, space, m, o, d, space, end text, 5, equals, 23, start text, space, m, o, d, space, end text, 5
  • 5, space, vertical bar, space, left parenthesis, 13, minus, 23, right parenthesis ( 5, space, vertical bar, space, minus, 10, ami igaz, mert 5, times, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 10 )
  • 13, equals, 23, plus, K, dot, 5. Ez teljesülni fog K, equals, minus, 2-re: 13, equals, 23, plus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, dot, 5

A kongruens modulo egy ekvivalencia művelet

kör

Győződj meg arról, hogy az előző példában használt szeletek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal:
  • Az egyes szeletekhez tartozó értékpárok között kapcsolat van.
  • Nincs olyan érték, ami két szeletben is megtalálható (a szeletek kölcsönösen diszjunktak, vagyis szétválaszthatók).
  • Ha egyesítjük az összes szeletet, akkor a kapott halmaz tartalmazni fogja az összes számot.
Az ilyen tulajdonságú szeletekkel rendelkező kör ekvivalencia relációt ír le.
Az ekvivalencia reláció meghatározza, hogyan tudjuk felosztani a kört (hogyan particionáljuk az értékeket), hogyan képezünk ekvivalencia osztályokat.
Általánosan fogalmazva, az ekvivalencia relációnak rendelkeznie kell az alábbi tulajdonságokkal:
  • A kör: a vizsgált értékek gyűjteménye.
  • A körszelet: egy ekvivalencia osztály.
  • A körszelet felosztása: ekvivalencia reláció.
A korábbi példa esetén:
  • A kör: az összes egész szám.
  • A B-vel jelölt körszelet: az az ekvivalencia osztály, ahol start text, m, o, d, space, end text, C, equals, B.
  • A kör felszeletelése: a kongruens modulo C relációval, \equiv, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis.
Ebből következően azt mondhatjuk, hogy a kongruens modulo C egy ekvivalencia reláció. Az egész számokat C különböző ekvivalencia osztályba sorolja, ezeket az oszályokat maradékosztálynak hívjuk.

Miért fontos az, hogy a kongruens modulo C ekvivalencia reláció ?

Ha tudjuk azt, hogy a kongruens modulo C ekvivalencia reláció, ennek következtében rendelkezni kell bizonyos tulajdonságokkal.
Ekvivalencia relációkra az alábbi tulajdonságok jellemzőek:
  • reflexív: A ekvivalens A-val.
  • szimmetrikus: ha A ekvivalens B-vel, akkor B ekvivalens A-val.
  • tranzitív: ha A ekvivalens B-vel és B ekvivalens C-vel, akkor A ekvivalens C-vel.
Mivel a kongruens modulo ekvivalencia reláció (mod C)-re, ez azt jelenti:
  • A, \equiv, A, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
  • ha A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis, akkor B, \equiv, A, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis
  • ha A, \equiv, B, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis és B, \equiv, D, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis, akkor A, \equiv, D, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, C, right parenthesis

Példa

mod5
Alkalmazzuk ezeket a tulajdonságokat a start text, m, o, d, space, end text, 5 konkrét példára:
  • 3, \equiv, 3, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis (reflexivitás)
  • ha 3, \equiv, 8, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis, akkor 8, \equiv, 3, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis (szimmetria)
  • ha 3, \equiv, 8, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis és 8, \equiv, 18, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis, akkor 3, \equiv, 18, space, left parenthesis, start text, m, o, d, space, end text, 5, right parenthesis (tranzitivitás)

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.