If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Ekvivalencia reláció

Ekvivalens állítások

Mielőtt továbbmegyünk, fontos észben tartani, hogy az alábbi állítások ekvivalensek:
  • AB (mod C)
  • A mod C=B mod C
  • C | (AB) (A „|” jel itt azt jelenti: osztója)
  • A=B+KC (ahol K egész szám)
Ez lehetővé teszi, hogy több alakban is kifejezhessük ugyanazt a koncepciót.
Például az alábbi állítások ekvivalensek:
  • 1323 (mod 5)
  • 13 mod 5=23 mod 5
  • 5 | (1323) ( 5 | 10, ami igaz, mert 5×(2)=10 )
  • 13=23+K5. Ez teljesülni fog K=2-re: 13=23+(2)5

A kongruens modulo egy ekvivalencia művelet

kör

Győződj meg arról, hogy az előző példában használt szeletek rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal:
  • Az egyes szeletekhez tartozó értékpárok között kapcsolat van.
  • Nincs olyan érték, ami két szeletben is megtalálható (a szeletek kölcsönösen diszjunktak, vagyis szétválaszthatók).
  • Ha egyesítjük az összes szeletet, akkor a kapott halmaz tartalmazni fogja az összes számot.
Az ilyen tulajdonságú szeletekkel rendelkező kör ekvivalencia relációt ír le.
Az ekvivalencia reláció meghatározza, hogyan tudjuk felosztani a kört (hogyan particionáljuk az értékeket), hogyan képezünk ekvivalencia osztályokat.
Általánosan fogalmazva, az ekvivalencia relációnak rendelkeznie kell az alábbi tulajdonságokkal:
  • A kör: a vizsgált értékek gyűjteménye.
  • A körszelet: egy ekvivalencia osztály.
  • A körszelet felosztása: ekvivalencia reláció.
A korábbi példa esetén:
  • A kör: az összes egész szám.
  • A B-vel jelölt körszelet: az az ekvivalencia osztály, ahol mod C=B.
  • A kör felszeletelése: a kongruens modulo C relációval, (mod C).
Ebből következően azt mondhatjuk, hogy a kongruens modulo C egy ekvivalencia reláció. Az egész számokat C különböző ekvivalencia osztályba sorolja, ezeket az oszályokat maradékosztálynak hívjuk.

Miért fontos az, hogy a kongruens modulo C ekvivalencia reláció ?

Ha tudjuk azt, hogy a kongruens modulo C ekvivalencia reláció, ennek következtében rendelkezni kell bizonyos tulajdonságokkal.
Ekvivalencia relációkra az alábbi tulajdonságok jellemzőek:
  • reflexív: A ekvivalens A-val.
  • szimmetrikus: ha A ekvivalens B-vel, akkor B ekvivalens A-val.
  • tranzitív: ha A ekvivalens B-vel és B ekvivalens C-vel, akkor A ekvivalens C-vel.
Mivel a kongruens modulo ekvivalencia reláció (mod C)-re, ez azt jelenti:
  • AA (mod C)
  • ha AB (mod C), akkor BA (mod C)
  • ha AB (mod C) és BD (mod C), akkor AD (mod C)

Példa

mod5
Alkalmazzuk ezeket a tulajdonságokat a mod 5 konkrét példára:
  • 33 (mod 5) (reflexivitás)
  • ha 38 (mod 5), akkor 83 (mod 5) (szimmetria)
  • ha 38 (mod 5) és 818 (mod 5), akkor 318 (mod 5) (tranzitivitás)

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.