Ha ezt az üzenetet látod, az annak a jele, hogy külső anyagok nem töltődnek be hibátlanul a honlapunkra.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Fő tartalom

Moduláris összeadás és kivonás

Vizsgáljuk meg közelebbről a moduláris aritmetikában az additivitási (összeadásra vonatkozó) szabályt:

(A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C

Példa:

Legyen A=14, B=17, C=5!
Bizonyítsuk be: (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C!
Jelölje BO az egyenlet bal oldalát,
JO az egyenlet jobb oldalát!
BO = (A + B) mod C
BO = (14 + 17) mod 5
BO = 31 mod 5
BO = 1
JO = (A mod C + B mod C) mod C
JO = (14 mod 5 + 17 mod 5) mod 5
JO = (4 + 2) mod 5
JO = 1
BO = JO = 1

A moduláris összeadás szemléltetése

Nézd meg a lenti képet! Ha ki akarjuk számolni 12+9 mod 7 értékét, akkor egyszerűen körbejárhatjuk a moduláris kört 12+9 lépésben az óramutató járásának irányában (ezt rajzoltuk fel a bal alsó ábrán).
Lerövidíthetjük az eljárást, mivel tudjuk, hogy minden 7. lépés ugyanarra a helyre visz vissza a moduláris körön. Ezek a teljes körök nem befolyásolják a végső helyzetünket. Ezeket a teljes köröket figyelmen kívül hagyhatjuk úgy, hogy kiszámoljuk mindkét szám mod 7 értékét (ami a felső két ábrán látható). Ez megadja mindkét szám esetén, hány lépést kellett megtenni a 0-tól a moduláris körön az óramutató járásával megegyező irányban, hogy eljussunk a végső pozícióba.
Ezután már csak annyi lépést kell megtenni az óramutató járásával megegyező irányban, ami a két szám végső pozíciójának meghatározásában szerepet játszott (ami a jobb alsó moduláris körön látszik). Ez a módszer általánosan érvényes bármely két egész számra, tetszőleges moduláris kör esetén.

A moduláris összeadás bizonyítása

Be fogjuk bizonyítani, hogy (A + B) mod C = (A mod C + B mod C) mod C.
Meg kell mutatnunk, hogy BO=JO.
A maradékos osztásra vonatkozó tétel alapján A-t és B-t felírhatjuk ilyen alakban:
A = C · Q1 + R1, ahol 0 ≤ R1 < C és Q1 egész. A mod C = R1
B = C · Q2 + R2, ahol 0 ≤ R2 < C és Q2 egész. B mod C = R2
(A + B) = C · (Q1 + Q2) + R1+R2
BO = (A + B) mod C
BO = (C · (Q1 + Q2) + R1+ R2) mod C
C többszöröse elhagyható a mod C művelet alkalmazásakor.
BO = (R1 + R2) mod C
JO = (A mod C + B mod C) mod C
JO = (R1 + R2) mod C
BO=JO= (R1 + R2) mod C

Moduláris kivonás

Hasonló módon bizonyítható a moduláris kivonás.

(A - B) mod C = (A mod C - B mod C) mod C

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.