Maradékos osztásra vonatkozó tétel

Amikor a moduláris aritmetikával kapcsolatos tulajdonságokat szeretnénk bizonyítani, gyakran alkalmazzuk a maradékos osztásra vonatkozó tételt.
Ez egyszerűen következik abból, ahogy írásban osztunk.

A maradékos osztásra vonatkozó tétel kimondja:
Ha adott egy tetszőleges A egész szám és egy pozitív B egész szám, akkor léteznek olyan egyértelműen meghatározott Q és R egész számok, melyekre

Láthatjuk, hogy ez közvetlenül következik az írásbeli osztásból. Amikor papíron elosztjuk A-t B-vel, Q a hányados, és R a maradék.
Ha fel tudunk írni egy számot ilyen alakban, akkor A mod B = R

A = 7, B = 2

7 = 2 * 3 + 1
7 mod 2 = 1

A = 8, B = 4

8 = 4 * 2 + 0
8 mod 4 = 0

A = 13, B = 5

13 = 5 * 2 + 3
13 mod 5 = 3

A = -16, B = 26

-16 = 26 * -1 + 10
-16 mod 26 = 10