Ha ezt az üzenetet látod, az annak a jele, hogy külső anyagok nem töltődnek be hibátlanul a honlapunkra.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Fő tartalom

Mi a moduláris aritmetika?

Bevezetés a moduláris aritmetikába

Amikor két egész számot elosztunk, akkor valami ehhez hasonló egyenletet kapunk:
AB=Q marad R
A a számláló
B a nevező
Q a hányados
R a maradék
Van úgy, hogy csak az érdekel bennünket, mi lesz a maradék, amikor elosztjuk A-t B-vel.
Erre szolgál a modulo nevű művelet (rövidítése mod).
A fenti A, B, Q és R jelölést alkalmazva: A mod B=R
A fenti kifejezést így olvassuk A modulo B egyenlő R, ahol a B-t modulusnak hívják.
Például:
135=2 marad 313 mod 5=3

Maradékos osztás bemutatása órával

Figyeld meg, mi történik, ha egy számot egyesével növelünk, majd elosztjuk 3-mal.
03=0 marad 013=0 marad 123=0 marad 233=1 marad 043=1 marad 153=1 marad 263=2 marad 0
A maradék 0-val kezdődik, és minaddig 1-gyel nő, amig a nevezőnél eggyel kisebb számhoz nem érünk. Ezután megismétlődik a sorozat.
Ennek alapján a modulo műveletet körökkel illusztrálhatjuk.
A 0-t írjuk a kör tetejére, és az óramutató járásával megegyező irányban beírjuk az egész számokat, 1, 2, ... amíg el nem érjük a nevező (vagy modulus) mínusz 1-et.
Például vehetünk egy órát, ahol a 12-t 0-val helyettesítjük a modulo 12 ábrázolásához.
Az A mod B kiszámításához az alábbi lépésekre van szükség:
  1. Készítsd el az órát a B méretéhez igazítva!
  2. Kezdd 0-val és haladj körbe az órán A lépést!
  3. Ahová megérkezünk, az adja meg a megoldást.
(Ha a szám pozitív, akkor az óramutató járásának irányában haladunk, ha negatív, akkor az óramutató járásával ellentétes irányba megyünk.)

Példák

8 mod 4=?

Ha 4 a modulus, készítünk egy órát a 0, 1, 2, 3 számokkal.
0-nál indulunk, és az óramutató járásával megegyező irányba haladva sorban 8-at lépünk a számokon: 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0.
0-hoz értünk, úgyhogy 8 mod 4=0.

7 mod 2=?

Ha 2 a modulus, készítünk egy órát a 0, 1 számokkal.
0-nál indulunk, és az óramutató járásával megegyező irányba haladva sorban 7-et lépünk a számokon: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1.
1-hez értünk, úgyhogy 7 mod 2=1.

5 mod 3=?

Ha 3 a modulus, készítünk egy órát a 0, 1, 2 számokkal.
0-nál indulunk, és az óramutató járásával ellenkező irányba haladva (mert az 5 negatív) sorban 5-öt lépünk a számokon: 2, 1, 0, 2, 1.
1-hez értünk, úgyhogy 5 mod 3=1.

Összefoglalás

A mod B esetén ha A-t a B többszörösével megnöveljük, akkor ugyanoda jutunk, azaz:
A mod B=(A+KB) mod B tetszőleges K egész szám esetén.
Például:
3 mod 10=313 mod 10=323 mod 10=333 mod 10=3

Megjegyzés az olvasónak

mod a programozási nyelvekben és számológépeken

Sok programozási nyelvben és számológépen megtalálható a mod művelet. Ezt legtöbbször a % szimbólummal jelölik. Negatív szám esetén vannak olyan programozási nyelvek, ahol az eredményt negatív számmal adják meg.
Például:
-5 % 3 = -2.

Kongruencia a maradékos osztásnál

Ha ehhez hasonló kifejezést találsz:
AB (mod C)
Ez azt jelenti, hogy A kongruens B-vel modulo C. Ez hasonlít a mi általunk használt kifejezésekhez, de nem egészen ugyanazt jelenti.
A következő leckében elmagyarázzuk, ez mit jelent, és hogyan kapcsolódik a fenti kifejezésekhez.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.