Feltételes valószínűség vizuális magyarázata

Tekintsük az alábbi példát. Bob bemegy egy szobába két érmével. Az egyik egy normális érme, a másiknak mindkét oldala fej (H). Véletlenszerűen kiválasztja az egyiket, feldobja, majd megmutatja az eredményt. - [Bob]: Fej! Mi a valószínűsége annak, hogy a normális érmét választotta? A kérdés megválaszolásához lépésenként a kezdetektől rajzoljuk meg a fát. Az eső esemény: kiválaszt egy érmét, úgyhogy a fának két ágat növesztünk, a két azonos valószínűségű kimenethez, a normális és a dupla oldalú érméhez. A következő esemény az érme feldobása. Tovább rajzoljuk a fát, tudjuk, hogy a normális érme két, azonos valószínűségű kimenetet eredményezhet, fejet, vagy írást. A duplaoldalú érmével is két kimenet lehet, mind a kettő fej. Kész a fa, látjuk, négy levele van, ami a négy lehetséges azonos valószínűségű kimenetet mutatja. Végül megkapjuk a végső információt. Bob közli: [Bob]: – Fej! Az új információ alapján megnyírjuk a fát. Letöröljük az íráshoz vezető ágakat, mivel tudjuk, hogy nem írás jött ki. Elkészültünk. Annak a valószínűsége, hogy a normális érmét választotta, az egy fej kimenet a normális ágon osztva a három lehetséges fej kimenettel, azaz 1/3. Mi a helyzet akkor, ha újból feldobja, és közli az eredményt? [Bob]: – Fej! Ne feledd, minden esemény után megnő a fa. A normális érme két egyenlő valószínűségű ágat növeszt, fejet és írást, a duplaoldalú érme két egyenlő valószínűségű ágat növeszt, fejet, és fejet. Miután másodszor meghalljuk: [Bob]: – Fej! –, levágjuk az íráshoz vezető ágakat. Tehát annak a valószínűsége, hogy a normális érmét választotta két egymást követő fej dobás esetén egy fej a normális érmével osztva az összes lehetséges kimenettel, azaz 1/5. Látható, hogy a normális érme valószínűsége az újabb fej dobásokkal egyre csökken, de soha nem éri el a nullát. Akárhányszor dobjuk fel az érmét, soha nem lehetünk 100%-osan biztosak, hogy az érme duplaoldalú. Minden feltételes valószínűséggel kapcsolatos kérdés megválaszolható fa rajzolásával. A biztonság kedvéért vegyünk egy másik példát. Bobnak három érméje van, két normális és egy cinkelt, ami miatt az esetek kétharmadában fejre esik, egyharmadában írásra. Véletlenszerűen kiválaszt egy érmét, és feldobja. [Bob]: – Fej! Mi annak a valószínűsége, hogy a cinkelt érmét választotta? Lépésenként építsük fel a fát! Az első eseménynek, az érme kiválasztásának három egyenlő valószínűségű kimenete lehet, normális, normális, cinkelt. A következő esemény, hogy az érmét feldobjuk. Mindkét normális érméhez két egyenlő valószínűségű kimenet tartozik, fej és írás. A cinkelt érmének három egyenlő valószínűségű kimenete van, két fej és egy írás. Az a trükk itt, hogy a fának kiegyensúlyozottnak kell lennie, ami azt jelenti, hogy minden ághoz azonos számú levélnek kell tartoznia. Ehhez azt kell tennünk, hogy megnöveljük az ágak számát a legkisebb közös többszörösre. A 2 és 3 esetén ez 6 lesz. Végül megjelöljük a leveleket. A normális érméhez most hat egyenlő valószínűségű levél tartozik, három fej és három írás. A cinkelt érméhez két írás és négy fej. Megvagyunk. Bob közli az eredményt, [Bob]: – Fej! Az új információ alapján levághatjuk az íráshoz vezető ágakat, mivel írás nem fordult elő. Így annak a valószínűsége, hogy a cinkelt érmét választotta, ha fej jött ki: nos, négy levél tartozik a cinkelt érméhez, osztva az összes levelek számával. 4/10, azaz 40%. Ha nem vagy biztos a dolgodban, a feltételes valószínűséges feladatok mindig megoldhatók a Bayes-tétel alapján, ami megadja egy adott A esemény valószínűségét, ha tudjuk, hogy B bekövetkezett. De ha elfelejtetted, akkor sincs baj. Csak azt kell tudnod, hogyan kell történetet építened megnyírt fákkal.