If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Bináris számok

📺 Inkább videókból tanulnál a bináris számokról? Csak ugord át ezt a tananyagot, és folytasd a videókkal!
Az emberek általában decimális (tízes) számrendszerben ábrázolják a számokat. Ilyen egyszerűen számolunk el tízig: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ahogy tanultuk, a számítógépek az információt bitekben ábrázolják. Ahhoz, hogy a számítógépek pusztán start text, 0, end text-kkal és start text, 1, end text-esekkel ábrázoljanak, a bináris számrendszert használják. Így néz ki, amikor egy számítógép elszámol tízig: start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 10, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 11, end text, start text, 0, end text, start text, 10, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 101, end text, start text, 0, end text, start text, 110, end text, start text, 0, end text, start text, 111, end text, start text, 1, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text, start text, 1010, end text.

Ismétlés: a decimális számok

Mielőtt felfedezzük, hogyan működik a bináris rendszer, látogassuk meg a jó öreg barátunkat, a decimális számrendszert. Amikor megtanultál számolni, megtanultad, hogy a legjobboldalibb jegy az „egyesek helye”, a következő a „tízesek helye”, majd a „százasok helye”, stb.
Más szóval a legjobboldalibb jegyet 1-gyel kell szorozni, az ettől balra lévőt 10-zel kell szorozni, a kettővel balra lévőt 100-zal kell szorozni.
Szemléltessük a 234-et:
234
százasok helyetízesek helyeegyesek helye
100101
Ha minden egyes jegyet megszorzunk a helyével, láthatjuk, hogy 234 egyenlő left parenthesis, 2, dot, 100, right parenthesis, plus, left parenthesis, 3, dot, 10, right parenthesis, plus, left parenthesis, 4, dot, 1, right parenthesis.
Gondolhatunk ezekre a helyekre a tíz hatványaiként. Az egyes helyi érték fejezi ki a 10, start superscript, 0, end superscript-t, a tízes helyi értéken lévőket 10, start superscript, 1, end superscript-nel kell szorozni, a százas helyi értéket pedig 10, squared-nal szorozzuk. Minden egyes helyi értéknél, amellyel bővítjük, szorozni fogjuk számjegyet a 10 következő hatványával.
234
százasok helyetízesek helyeegyesek helye
100101
10, squared10, start superscript, 1, end superscript10, start superscript, 0, end superscript

A bináris számok

A bináris számok rendszere ugyanúgy működik, mint a decimálisoké. Az egyetlen különbség az, hogy a számjegyet nem 10 hatványával, hanem 2 hatványával szorozzuk.
Nézzük az 1 decimális számot, ami binárisan kifejezve start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text:
start text, 0, end textstart text, 0, end textstart text, 0, end textstart text, 1, end text
8421
2, cubed2, squared2, start superscript, 1, end superscript2, start superscript, 0, end superscript
Ez ugyanaz, mint left parenthesis, 0, dot, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, dot, 4, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, dot, 2, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, dot, 1, right parenthesis, vagyis 0, plus, 0, plus, 0, plus, 1.
Erre valószínűleg magadtól is rájöttél volna – vegyünk most egy nagyobb számot!
A 10 decimális szám binárisan kifejezve start text, 1010, end text:
start text, 1, end textstart text, 0, end textstart text, 1, end textstart text, 0, end text
8421
2, cubed2, squared2, start superscript, 1, end superscript2, start superscript, 0, end superscript
Ez ugyanaz, mint left parenthesis, 1, times, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, times, 4, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, times, 2, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, times, 1, right parenthesis, vagy 8, plus, 0, plus, 2, plus, 0. Valóban, a bináris start text, 1010, end text egyenlő a decimális 10-zel.
Most próbáld ki: Hogy írnád le a 6 decimális számot binárisban?
Válassz egyet:

Ha sikerült, gratulálunk! Ha nem, az is teljesen elfogadható: vannak technikák, melyek segítségével át lehet váltani a számrendszerek közt, és sokkal egyszerűbb lesz, ha ezeket a technikákat megtanulod.

Átváltás decimális számrendszerből binárisba

A kedvenc módszerem arra, hogy decimálisból binárisba váltsak át:
  1. Fogj egy papírt vagy táblát.
  2. Rajzolj alulvonásokat minden egyes bithez. Ha a szám kisebb, mint 16, rajzolj 4 alulvonást. Ha nagyobb 16-nál és kisebb 255-nél, akkor rajzolj 8 alulvonást. Ennél nagyobb számokat kézzel sok időbe telne átváltani, úgyhogy egyelőre fókuszáljunk a kisebb számokra.
  3. Írd le a 2 hatványait minden alulvonás alá. Kezdd a jobb szélsővel, ide 1 kerül, majd szorozgass 2-vel.
  4. Kezdd a legbaloldalibb alulvonással, és kérdezd meg: – A szám nagyobb vagy egyenlő, mint ez a helyi érték? Ha igen, akkor írj 1-et a vonalra, és vond le az értéket a számból. Ha a válasz nem, írj 0-t, és menj tovább a következő alulvonásra.
  5. Haladj tovább balról jobbra, tartsd számon, mennyi a maradék, amit még ábrázolnod kell. Amint végére értél, átváltottad a számot binárisba.
Így néz ki ez a 6-os decimális számra:
„Hmm, 6 kisebb, mint 16, szóval a 4 bit bőven elég lesz...”
start fraction, divided by, 8, end fraction start fraction, divided by, 4, end fraction start fraction, divided by, 2, end fraction start fraction, divided by, 1, end fraction
„6 kisebb, mint 8, ezért 0-t írok először...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction start fraction, divided by, 4, end fraction start fraction, divided by, 2, end fraction start fraction, divided by, 1, end fraction
„6 nagyobb, mint 4, ezért 1 kerül a következő helyre...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction start fraction, 1, divided by, 4, end fraction start fraction, divided by, 2, end fraction start fraction, divided by, 1, end fraction
„Oké, 6 - 4 = 2, vagyis még mindig ábrázolnom kell a 2-t. Jegyezzük fel...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction start fraction, 1, divided by, 4, end fraction start fraction, divided by, 2, end fraction start fraction, divided by, 1, end fraction start text, left parenthesis, M, a, r, a, d, e, with, \', on top, k, colon, space, 2, right parenthesis, end text
„2 egyenlő 2, vagyis 1 kerül a következő helyre...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction start fraction, 1, divided by, 4, end fraction start fraction, 1, divided by, 2, end fraction start fraction, divided by, 1, end fraction
„2 - 2 = 0, vagyis már nincs több, amit ábrázolni kellene!”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction start fraction, 1, divided by, 4, end fraction start fraction, 1, divided by, 2, end fraction start fraction, divided by, 1, end fraction start text, left parenthesis, M, a, r, a, d, e, with, \', on top, k, colon, space, 0, right parenthesis, end text
„Az utolsó bitet kitöltöm 0-val, mivel végeztem...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction start fraction, 1, divided by, 4, end fraction start fraction, 1, divided by, 2, end fraction start fraction, 0, divided by, 1, end fraction
Ha kíváncsi lennél: bármely számot csak egyféleképpen lehet binárisan ábrázolni, ahogyan bármely számot csak egyféleképpen lehet decimálisan ábrázolni. Bármilyen technikát is használsz a decimális szám binárisra való átalakítására, ugyanazt a számot kell kapnod.
Próbálj meg egy másik átalakítást, ezzel a módszerrel vagy a saját módszereddel!
Hogy írnád le a 11 decimális számot binárisban?
Válassz egyet:

Lépjünk magasabbra! Hogy írnád le a 25 decimális számot binárisban?
Válassz egyet:

Mintázatok a bináris számokban

Az utolsó két kérdésnél páratlan számokat alakítottál át. Van valami érdekes a páratlan számokban kettes számrendszerben. Íme néhány páratlan szám, hátha rájössz mire gondolok:
DecimálisBináris
3start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 11, end text
5start text, 0, end text, start text, 101, end text
7start text, 0, end text, start text, 111, end text
9start text, 10, end text, start text, 01, end text
Látod a szabályt?
Mérd fel tudásodat!
Ha úgy gondolod, rájöttél, íme a kérdés: a következők közül melyik nagy bináris szám páratlan?
Válassz egyet:

Ahhoz, hogy válaszolj a kérdésre, valójában nem kell ezeket a nagy számokat decimális számjegyekké alakítanod, csak egyetlen bitet kell megvizsgálnod: az utolsó bitet. Az utolsó bit mindig az egyesek helye, és ha egy szám páratlan, akkor az egyesek helyén 1-nek kell lennie. A bináris rendszerben nem lehet páratlan számot létrehozni az egyes helyi érték nélkül, mivel minden más helyi érték 2 hatványa. Ennek tudatában jobban felismerheted ránézésre a bináris számokat.
Van egy másik érdekes mintázat a bináris számoknál. Nézd meg ezeket a számokat:
DecimálisBináris
3start text, 11, end text
7start text, 111, end text
15start text, 1111, end text
Mindegyik decimális szám 2 hatványa mínusz 1: 4, minus, 1, equals, 3, 8, minus, 1, equals, 7, 16, minus, 1, equals, 15. Ha egy bináris szám minden számjegye 1, akkor az a legnagyobb szám, amelyik annyi biten ábrázolható. Ha 1-et szeretnél hozzáadni a számhoz, akkor szükség lesz még egy bitre. Ez olyan, mint a 9, 99, és 999 a decimális számrendszerben.
Mint kiderült, a legnagyobb szám, amely n bitekkel ábrázolható, megegyezik 2, start superscript, n, end superscript, minus, 1-gyel:
Bitek (n)Legnagyobb szám(2, start superscript, n, end superscript, minus, 1)
11left parenthesis, 2, start superscript, 1, end superscript, minus, 1, right parenthesis
23left parenthesis, 2, squared, minus, 1, right parenthesis
37left parenthesis, 2, cubed, minus, 1, right parenthesis
415left parenthesis, 2, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis
Mit gondolsz: minek felel meg a start text, 11111, end text decimálisban?
Válassz egyet:

Ezt a korábbi módszerünkkel viszonylag gyorsan ki lehet számítani. Van azonban még egy módszer, szem előtt tartva az imént tanultakat: megszámolhatjuk a bitek számát (5), kiszámolhatjuk a 2, start superscript, 5, end superscript-t mint 2, dot, 2, dot, 2, dot, 2, dot, 2, equals, 32, majd kivonhatunk 1-et.
Mindezt azért írtuk le, hogy ránézésre jobban megértsd a bináris rendszert. Lehet, hogy nem jegyeztél meg mindent, de ez nem baj. Rengeteg gyakorló feladat vár rád, melyek segítségével fejlesztheted tudásodat.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Kérdéseid vannak a témával kapcsolatban? Szívesen válaszolunk – tedd fel őket bátran alább!

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.