Fő tartalom
A számítógép és az Internet
Tantárgy/kurzus: A számítógép és az Internet > 1. témakör
2. lecke: Bináris számokBináris számok
📺 Inkább videókból tanulnál a bináris számokról? Csak ugord át ezt a tananyagot, és folytasd a videókkal!
Az emberek általában decimális (tízes) számrendszerben ábrázolják a számokat. Ilyen egyszerűen számolunk el tízig: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ahogy tanultuk, a számítógépek az információt bitekben ábrázolják. Ahhoz, hogy a számítógépek pusztán start text, 0, end text-kkal és start text, 1, end text-esekkel ábrázoljanak, a bináris számrendszert használják. Így néz ki, amikor egy számítógép elszámol tízig: start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 10, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 11, end text, start text, 0, end text, start text, 10, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 101, end text, start text, 0, end text, start text, 110, end text, start text, 0, end text, start text, 111, end text, start text, 1, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text, start text, 1010, end text.
Ismétlés: a decimális számok
Mielőtt felfedezzük, hogyan működik a bináris rendszer, látogassuk meg a jó öreg barátunkat, a decimális számrendszert. Amikor megtanultál számolni, megtanultad, hogy a legjobboldalibb jegy az „egyesek helye”, a következő a „tízesek helye”, majd a „százasok helye”, stb.
Más szóval a legjobboldalibb jegyet 1-gyel kell szorozni, az ettől balra lévőt 10-zel kell szorozni, a kettővel balra lévőt 100-zal kell szorozni.
Szemléltessük a 234-et:
| 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|
| százasok helye | tízesek helye | egyesek helye |
| 100 | 10 | 1 |
Ha minden egyes jegyet megszorzunk a helyével, láthatjuk, hogy 234 egyenlő left parenthesis, 2, dot, 100, right parenthesis, plus, left parenthesis, 3, dot, 10, right parenthesis, plus, left parenthesis, 4, dot, 1, right parenthesis.
Gondolhatunk ezekre a helyekre a tíz hatványaiként. Az egyes helyi érték fejezi ki a 10, start superscript, 0, end superscript-t, a tízes helyi értéken lévőket 10, start superscript, 1, end superscript-nel kell szorozni, a százas helyi értéket pedig 10, squared-nal szorozzuk. Minden egyes helyi értéknél, amellyel bővítjük, szorozni fogjuk számjegyet a 10 következő hatványával.
| 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|
| százasok helye | tízesek helye | egyesek helye |
| 100 | 10 | 1 |
| 10, squared | 10, start superscript, 1, end superscript | 10, start superscript, 0, end superscript |
A bináris számok
A bináris számok rendszere ugyanúgy működik, mint a decimálisoké. Az egyetlen különbség az, hogy a számjegyet nem 10 hatványával, hanem 2 hatványával szorozzuk.
Nézzük az 1 decimális számot, ami binárisan kifejezve start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 1, end text:
| start text, 0, end text | start text, 0, end text | start text, 0, end text | start text, 1, end text |
|---|---|---|---|
| 8 | 4 | 2 | 1 |
| 2, cubed | 2, squared | 2, start superscript, 1, end superscript | 2, start superscript, 0, end superscript |
Ez ugyanaz, mint left parenthesis, 0, dot, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, dot, 4, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, dot, 2, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, dot, 1, right parenthesis, vagyis 0, plus, 0, plus, 0, plus, 1.
Erre valószínűleg magadtól is rájöttél volna – vegyünk most egy nagyobb számot!
A 10 decimális szám binárisan kifejezve start text, 1010, end text:
| start text, 1, end text | start text, 0, end text | start text, 1, end text | start text, 0, end text |
|---|---|---|---|
| 8 | 4 | 2 | 1 |
| 2, cubed | 2, squared | 2, start superscript, 1, end superscript | 2, start superscript, 0, end superscript |
Ez ugyanaz, mint left parenthesis, 1, times, 8, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, times, 4, right parenthesis, plus, left parenthesis, 1, times, 2, right parenthesis, plus, left parenthesis, 0, times, 1, right parenthesis, vagy 8, plus, 0, plus, 2, plus, 0. Valóban, a bináris start text, 1010, end text egyenlő a decimális 10-zel.
Ha sikerült, gratulálunk! Ha nem, az is teljesen elfogadható: vannak technikák, melyek segítségével át lehet váltani a számrendszerek közt, és sokkal egyszerűbb lesz, ha ezeket a technikákat megtanulod.
Átváltás decimális számrendszerből binárisba
A kedvenc módszerem arra, hogy decimálisból binárisba váltsak át:
- Fogj egy papírt vagy táblát.
- Rajzolj alulvonásokat minden egyes bithez. Ha a szám kisebb, mint 16, rajzolj 4 alulvonást. Ha nagyobb 16-nál és kisebb 255-nél, akkor rajzolj 8 alulvonást. Ennél nagyobb számokat kézzel sok időbe telne átváltani, úgyhogy egyelőre fókuszáljunk a kisebb számokra.
- Írd le a 2 hatványait minden alulvonás alá. Kezdd a jobb szélsővel, ide 1 kerül, majd szorozgass 2-vel.
- Kezdd a legbaloldalibb alulvonással, és kérdezd meg: – A szám nagyobb vagy egyenlő, mint ez a helyi érték? Ha igen, akkor írj 1-et a vonalra, és vond le az értéket a számból. Ha a válasz nem, írj 0-t, és menj tovább a következő alulvonásra.
- Haladj tovább balról jobbra, tartsd számon, mennyi a maradék, amit még ábrázolnod kell. Amint végére értél, átváltottad a számot binárisba.
Így néz ki ez a 6-os decimális számra:
„Hmm, 6 kisebb, mint 16, szóval a 4 bit bőven elég lesz...”
start fraction, divided by, 8, end fraction
start fraction, divided by, 4, end fraction
start fraction, divided by, 2, end fraction
start fraction, divided by, 1, end fraction
„6 kisebb, mint 8, ezért 0-t írok először...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction
start fraction, divided by, 4, end fraction
start fraction, divided by, 2, end fraction
start fraction, divided by, 1, end fraction
„6 nagyobb, mint 4, ezért 1 kerül a következő helyre...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
start fraction, divided by, 2, end fraction
start fraction, divided by, 1, end fraction
„Oké, 6 - 4 = 2, vagyis még mindig ábrázolnom kell a 2-t. Jegyezzük fel...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
start fraction, divided by, 2, end fraction
start fraction, divided by, 1, end fraction
start text, left parenthesis, M, a, r, a, d, e, with, \', on top, k, colon, space, 2, right parenthesis, end text
„2 egyenlő 2, vagyis 1 kerül a következő helyre...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
start fraction, divided by, 1, end fraction
„2 - 2 = 0, vagyis már nincs több, amit ábrázolni kellene!”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
start fraction, divided by, 1, end fraction
start text, left parenthesis, M, a, r, a, d, e, with, \', on top, k, colon, space, 0, right parenthesis, end text
„Az utolsó bitet kitöltöm 0-val, mivel végeztem...”
start fraction, 0, divided by, 8, end fraction
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
start fraction, 0, divided by, 1, end fraction
Ha kíváncsi lennél: bármely számot csak egyféleképpen lehet binárisan ábrázolni, ahogyan bármely számot csak egyféleképpen lehet decimálisan ábrázolni. Bármilyen technikát is használsz a decimális szám binárisra való átalakítására, ugyanazt a számot kell kapnod.
Próbálj meg egy másik átalakítást, ezzel a módszerrel vagy a saját módszereddel!
Mintázatok a bináris számokban
Az utolsó két kérdésnél páratlan számokat alakítottál át. Van valami érdekes a páratlan számokban kettes számrendszerben. Íme néhány páratlan szám, hátha rájössz mire gondolok:
| Decimális | Bináris |
|---|---|
| 3 | start text, 0, end text, start text, 0, end text, start text, 11, end text |
| 5 | start text, 0, end text, start text, 101, end text |
| 7 | start text, 0, end text, start text, 111, end text |
| 9 | start text, 10, end text, start text, 01, end text |
Látod a szabályt?
Ahhoz, hogy válaszolj a kérdésre, valójában nem kell ezeket a nagy számokat decimális számjegyekké alakítanod, csak egyetlen bitet kell megvizsgálnod: az utolsó bitet. Az utolsó bit mindig az egyesek helye, és ha egy szám páratlan, akkor az egyesek helyén 1-nek kell lennie. A bináris rendszerben nem lehet páratlan számot létrehozni az egyes helyi érték nélkül, mivel minden más helyi érték 2 hatványa. Ennek tudatában jobban felismerheted ránézésre a bináris számokat.
Van egy másik érdekes mintázat a bináris számoknál. Nézd meg ezeket a számokat:
| Decimális | Bináris |
|---|---|
| 3 | start text, 11, end text |
| 7 | start text, 111, end text |
| 15 | start text, 1111, end text |
Mindegyik decimális szám 2 hatványa mínusz 1: 4, minus, 1, equals, 3, 8, minus, 1, equals, 7, 16, minus, 1, equals, 15. Ha egy bináris szám minden számjegye 1, akkor az a legnagyobb szám, amelyik annyi biten ábrázolható. Ha 1-et szeretnél hozzáadni a számhoz, akkor szükség lesz még egy bitre. Ez olyan, mint a 9, 99, és 999 a decimális számrendszerben.
Mint kiderült, a legnagyobb szám, amely n bitekkel ábrázolható, megegyezik 2, start superscript, n, end superscript, minus, 1-gyel:
| Bitek (n) | Legnagyobb szám | (2, start superscript, n, end superscript, minus, 1) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | left parenthesis, 2, start superscript, 1, end superscript, minus, 1, right parenthesis |
| 2 | 3 | left parenthesis, 2, squared, minus, 1, right parenthesis |
| 3 | 7 | left parenthesis, 2, cubed, minus, 1, right parenthesis |
| 4 | 15 | left parenthesis, 2, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis |
Ezt a korábbi módszerünkkel viszonylag gyorsan ki lehet számítani. Van azonban még egy módszer, szem előtt tartva az imént tanultakat: megszámolhatjuk a bitek számát (5), kiszámolhatjuk a 2, start superscript, 5, end superscript-t mint 2, dot, 2, dot, 2, dot, 2, dot, 2, equals, 32, majd kivonhatunk 1-et.
Mindezt azért írtuk le, hogy ránézésre jobban megértsd a bináris rendszert. Lehet, hogy nem jegyeztél meg mindent, de ez nem baj. Rengeteg gyakorló feladat vár rád, melyek segítségével fejlesztheted tudásodat.
🙋🏽🙋🏻♀️🙋🏿♂️Kérdéseid vannak a témával kapcsolatban? Szívesen válaszolunk – tedd fel őket bátran alább!
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.