A kettes számrendszer mintázatai

Van pár érdekes mintázat a kettes számrendszerbeli számokban. Ha megértjük ezeket a mintázatokat, akkor ránézésre jobban megértjük azt is, milyen bináris számra tekintünk épp. Ebben a videóban áttekintünk pár mintát. Kezdjük a páratlan számokkal! A tízes számrendszerbeli 3 páratlan, kettes számrendszerben 0011. Aztán ott van a decimális 5, ami páratlan szám, ez binárisként 0101. Majd a hét, ami binárisban 0111, végül a kilenc, ami binárisban 1001. Észrevetted esetleg a mintázatot, ami a bináris számoknál látszik? Mutatom, mire érdemes figyelni. (hümmögés) Mindegyik bináris szám 1-re végződik. Sőt tény, hogy páratlan számot kettes számrendszerben csak úgy lehet képezni, ha 1-re végződik. Ez azért van, mert az egyesek helyén 1 van, és minden más helyi értéken a kettő hatványai szerepelnek, és páratlan akkor lehet egy szám, ha kettővel osztva egy lesz a maradék. Ami azt jelenti, hogy mindig 1-nek kell lenni az egyesek helyén, hogy páratlan legyen a szám. Most már ránézésre meg tudjuk mondani bármely bináris számról, hogy páros vagy páratlan. Próbáljuk ki nagy számokkal! Melyikük páratlan? Nézzük csak meg az egyesek helyét! 0, 0, 1, 0. Ez az egy a páratlan. Az összes többi páros. Még úgy is, hogy fogalmam sincs, mik ezek a számok, tudom, hogy ez a páratlan. Most, hogy már egy kicsit jobban értjük ránézésre a bináris számokat, folytassuk, még miket fedezhetünk fel! Egy másik érdekes mintázat, amikor az összes bináris helyi érték 1. Tehát az egyik 1, a másik 11, aztán 111, és végül 1111. Sok egyes. Decimálisban ez ugyanaz, egy ez az első. A 3 az 11, a 7 az 111, a 15 az pedig 1111. Mi a különleges ezekben a decimális számokban? 1, 3, 7 és 15? Elsőre valószínűleg nem egyértelmű, de ezek a kettő hatványai mínusz egy. Az egy az kettő mínusz egy, a három az négy mínusz egy, a hét az nyolc mínusz egy, a tizenöt pedig tizenhat mínusz egy. Írhatjuk ezeket hatványként is, vagyis ez kettő az elsőn mínusz 1, kettő a másodikon mínusz 1, kettő a harmadikon mínusz 1, kettő a negyediken mínusz 1. Bármikor, ha egy bináris szám csak egyesekből áll minden helyi értékén, akkor ez mindig egyezni fog a legnagyobb számmal, ami annyi biten megadható. Ez olyan mint, ha decimális számrendszerben azt írnánk, hogy 9, 99, 999, 9999. És ha egyet hozzáadnánk, újabb számjegyre lenne szükség, tehát ez a legnagyobb szám, ami ennyi számjeggyel megadható. Itt is erről van szó. Leírhatjuk a bitek számát is. Tehát ide jön a bitek száma: ez egy bit, ez itt két bit, ez itt három bit, ez itt négy bit. Azt láthatjuk, hogy négy biten a legnagyobb szám, amit kifejezhetünk, az kettő a negyediken mínusz egy. Három bit esetén ez kettő a harmadikon mínusz egy, stb. Vagyis ha tudjuk, hogy hány bitünk van, akkor tudjuk, hogy mi a legnagyobb szám, ami annyi biten kifejezhető, és tudjuk, hogy a legnagyobb számjegy minden helyi értékén 1 lesz. Ennek az információnak a tudása segít jobban megérteni a bináris számokat. Vegyük az 11111 bináris számot! Mi ez tízes számrendszerben? Nézzük: egy, kettő, három, négy, öt bit. Vagyis ez nem lesz más, mint kettő az ötödiken mínusz egy. Kettő az ötödiken, az annyi, mint 2-szer 2-szer 2-szer 2-szer 2, ami 32, és ha kivonunk egyet, akkor 31-et kapunk. Anélkül, hogy ezeket össze kellett volna adnunk, kiszámoltuk, mennyi ez. Csinálhattuk volna a szokásos módon is. Nézzük. Egyes helyi érték, kettes, négyes, nyolcas, 16-os. Így tehát 16 + 8 az 24 + 4 az 28 + 2 az 30 + 1 az 31. Bárhogy is csináljuk, ugyanazt kapjuk. Ez csak egy másik módja annak, hogy megértsük, hogy működik a bináris számrendszer.