A szorzás tulajdonságai 2.

Azt szeretnénk megtudni, hogy hány lufi van ezen az ábrán. Természetesen simán meg is számolhatnánk őket, de ehelyett inkább megnézünk néhány érdekes módszert, amire azért van lehetőségünk, mert ilyen szép szabályos rács formában, szabályos mintázatban vannak elrendezve. Azért is hasznos, hogy nem kell mindig egyesével számolgatnunk, hanem csak összeszorozhatjuk a sorok és oszlopok számát, mert a valóságban is sokszor előfordul, hogy elég nehéz valamit egyesével megszámolni, és egyszerűbb lehet, ha csak a sorokat és oszlopokat számoljuk meg. Itt ezen az ábrán például látunk 1, 2, 3, 4 sort. És így pedig látunk 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oszlopot. Tehát tekinthetem ezt az elrendezést úgy, hogy van 4, 4 sorunk, ezt ide is írom, hogy van 4 sorunk, és 7 oszlopunk. És lehet, hogy emlékszel arra, hogy az ábrán lévő tárgyak számát kiszámíthatjuk úgy, hogy megszorozzuk a sorok számát az oszlopok számával – 4 sor szorozva 7 oszloppal. De miért működik ez a módszer? Miért fogjuk így megkapni a lufik számát? Hát, nézhetjük ezt úgy, hogy itt van négy sorunk, négy sorban vannak a dolgok elrendezve, és hány lufi van mindegyik sorban? Pont annyi, ahány oszlop van. Hét lufi van mind a négy sorban – tehát van négy hetes csoport. De ha másképp nézzük, lehetnek az oszlopok a csoportok, és akkor hét csoportunk van. És ezekben hány lufit látunk? Ezt a sorok száma árulja el. Négy lufi van mindegyik oszlopban. És már tudjuk, hogy mind a két szorzatnak, amit itt felírtam, ugyanaz lesz az eredménye, azoknak a dolgoknak a száma, amiket itt látunk. Szóval ennek a kettőnek egyenlő lesz az eredménye. Négyszer hét az ugyanannyi, mint hétszer négy. És aztán egy csomóféle módon elvégezhetjük ezeket a műveleteket. Számolhatunk négyesével, ami a négyes szorzótábla: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Nézzük csak, tényleg hétszer adtam össze? Négy egyszer, kétszer, háromszor, négyszer, ötször, hatszor, hétszer. Szóval kiszámoltuk, hogy 28 lufi van az ábrán. De ugyanúgy kiszámíthatom úgy is, ha hetesével számolok, nézzük: egyszer hét az hét, kétszer hét az 14, háromszor hét az 21, négyszer hét az 28, mindig hetet adtam hozzá. És akkor így megint 28-at kapunk, csak egy másik módon. Ugyanazzal a színnel írom. Megkaptuk a huszonnyolcat így is. Igen ám, de adódhat olyan helyzet, amikor nem szeretnéd ezeket a módszereket használni, vagy valamiért túl nehéz lenne így csinálni, vagy például nem jut rögtön eszedbe, mennyi négyszer hét – bár amúgy ezt épp a legfőbb ideje lenne megtanulnod. Nem lehetne ilyenkor valahogy felbontani ezt a számítást olyan műveletekre, amiket egyszerűbben el lehet végezni? Felötölhet benned például az, hogy a 7 oszlopot úgy is nézhetem, hogy ez öt oszlop és még két oszlop. Ha így nézem, akkor ez a hét oszlop öt oszlop és még két oszlop. És ezt kifejezhetjük úgy, hogy négyszer hét az ugyanannyi, mint négyszer öt meg kettő. Annyi történt csak, hogy a hetes helyére öt meg kettőt írtam. A hét helyére írtam az öt meg kettőt. Miért lesz ez nekünk érdekes? Arról van szó, hogy ezt itt fel tudom bontani két külön, szabályos csoportra. Mondhatom azt, hogy itt, ebben a csoportban van négy sor és két oszlop. És a bal oldali csoportban pedig négy sor és öt oszlop van. És akkor hány lufi van itt, a sárgával beszínezett részen? Ez itt négyszer öt lufi. Tehát négyszer öt dolog van a sárga területen, a sárgával színezett részen. És akkor mennyi van itt, ahol rózsaszínnel színeztem be? Hát ez pedig négyszer kettő lesz. És ha összeadjuk a négyszer ötöt meg a négyszer kettőt, mennyit kapunk? Megkapjuk a négyszer hét eredményét. Ami ugyanaz, mint a négyszer öt meg kettő. Szóval ha elvégezzük itt ezt az összeadást úgy, hogy először a szorzásokkal kezdjük – zárójelbe teszem őket, hogy egyértelmű legyen –, akkor ennek az egész műveletnek itt ugyanaz lesz a végeredménye, amit itt fenn látunk. Mert ugye a négyszer ötöt könnyű kiszámítani, négyszer öt az 20. Négyszer kettő az nyolc. 20 meg nyolc az 28. És akkor az eddigiek alapján szerintem már érted is, hogy négyszer hét az 28, ami ugyanaz, mint négyszer öt meg kettő. Ami meg szintén ugyanaz, mint négyszer öt meg négyszer kettő. A szorzásnak ezt a tulajdonságát hívjuk egyébként széttagolhatóságnak. Vagyis négyszer öt meg kettő az ugyanaz, mint négyszer öt meg négyszer kettő. Rendben. De ha meg tudnám csinálni úgy, ahogy itt először csináltuk, akkor mire jó ez a széttagolós módszer a szorzásos feladatoknál? Nézzünk egy kicsivel bonyolultabb példát! Mondjuk meg akarom szorozni a hatot 36-tal. Ezt nem is kell zárójelbe írnom. Ezt akkor hogy csináljuk? Hát felbonthatjuk a 36-ot két tagra, két olyan számra, amit külön-külön sokkal könnyebb hattal megszorozni. Például a 36 az annyi, mint 30 meg hat. Akkor ez itt egyenlő hatszor 30 meg hattal. És mennyi lesz az eredmény? Az előbb láttuk a módszert. Ha ezeket először összeadom, és utána hattal megszorzom, az ugyanannyi, mint hatszor 30 meg hatszor hat. Mi történt? Beszoroztuk 6-tal, vagyis megszoroztuk a harmincat is hattal, és ezt a hatot is hattal. Miért olyan hasznos ez? Miért hasznos ez egyáltalán? Kiteszem ezeket a zárójeleket, hogy egyértelmű legyen, hogy a szorzást végezzük el először. Amúgy általában, amikor szorzásokat és összeadásokat látsz egy sorban felírva, mint itt, olyankor mindig a szorzást és osztást kell először elvégezni, és csak utána az összeadást és kivonást. Akkor mennyi is hatszor 30? Ezt könnyű kíszámolni, a hatszor három, tudjuk, hogy az 18, úgyhogy a hatszor 30 az 180 lesz. És hatszor hat – azt meg tudjuk, hogy 36. Akkor ez az egész 180 meg 36. És az mennyi lesz? 180 meg 36 – nulla meg hat az hat, nyolc meg három az 11, egy meg egy az kettő. Így akkor kiszámítottuk, hogy hatszor 36 az 216. Az a módszer, hogy széttagoltuk ezt a szorzást, itt, ez arra jó, hogy így fogunk majd egészen nagy számokat, a mostaniaknál sokkal nagyobb számokat összeszorozni. Tehát ez a tagolás, amit most többször is megnéztünk, akkor lesz majd nagyon hasznos, amikor nagy számokkal szeretnél számolni. Sőt, amikor még tovább haladsz a matektanulásban, meg fogod látni, hogy egyre inkább hasznát veszed majd.