A Pitagorasz-tétel – bevezetés

Ebben a videóban megismerkedünk a Pitagorasz-tétellel, ami önmagában is klassz dolog, de ahogy egyre több matematikát tanulsz, látni fogod, hogy ez valóban egyike a legfontosabb matematikai tételeknek. Hasznos a geometriában, egyfajta gerince a trigonometriának, de használni fogod két pont közötti távolság kiszámításánál is. Tehát jó dolog, ha tényleg jól ismered, nem is magyarázom tovább. Hadd mondjam el, mi is a Pitagorasz-tétel! Van egy háromszögünk, méghozzá egy derékszögű háromszög, azaz a három szög közül az egyiknek 90 fokosnak kell lennie. És ezt a 90 fokot úgy jelöljük, hogy ide rajzolunk egy kis dobozt (nálunk egy körívet benne egy ponttal). Szóval ez itt – egy másik színt fogok használni – egy 90 fokos szög, vagy másképpen derékszögnek is mondjuk. Az olyan háromszöget, aminek van egy derékszöge, derékszögű háromszögnek nevezzük. Ezt tehát derékszögű háromszögnek hívjuk. Nos, a Pitagorasz-tétel szerint, ha ismerjük egy derékszögű háromszög két oldalát, akkor mindig meg tudjuk határozni a harmadik oldalt is. Mielőtt megmutatom, hogyan, megismertetlek még egy fogalommal. Egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala a 90 fokkal, vagy derékszöggel szemközti oldal. Ebben az esetben ez az oldal itt, ez a leghosszabb oldal. Úgy lehet megmondani, hogy hol van a derékszög, hogy ez nyílik a leghosszabb oldalra. A leghosszabb oldal neve pedig átfogó. Ezt jó, ha megjegyzed, mert gyakran fogjuk használni. Csak hogy mindig jól be tudjuk azonosítani az átfogót, hadd rajzoljak néhány további derékszögű háromszöget! Tegyük fel, hogy van egy háromszögem, ami így néz ki. Talán egy kicsit szebbre rajzolom, tehát mondjuk van egy ilyen háromszögem, és most azt mondanám neked, hogy ez itt 90 fok. Ebben az esetben ez lesz az átfogó, mert a 90 fokos szöggel szemben van. Ez a leghosszabb oldal. Hadd rajzoljak még egyet, csak hogy biztosan felismerjük az átfogót. Tehát legyen ez a háromszögem, és ez a 90 fokos szög. Azt hiszem, most már tudod, hogyan kell, azt kell nézni, amire nyílik, az lesz az átfogó. A leghosszabb oldal. Ha beazonosítottad az átfogót, és mondjuk ennek a hossza C, akkor most megismerhetjük, mit is mond ki a Pitagorasz-tétel. Tegyük fel tehát, hogy C az átfogó hossza. Hívjuk tehát ezt C-nek, ez a C oldal. Nevezzük ezt az oldalt A-nak, ezt pedig B-nek. A Pitagorasz-tétel kimondja, hogy az egyik rövidebb oldal négyzete plusz a másik rövidebb oldal négyzete megegyezik az átfogó hosszának négyzetével. Nézzük most meg ezt egy konkrét példával, és látni fogod, hogy ez nem is olyan nehéz. Tegyük fel, hogy itt van ez a háromszög, le is rajzolom, ez a háromszögem. És mondjuk legyen ez a derékszöge, Ez a szakasz itt – hadd jelöljem egy másik színnel –, ez 3, ennek a hossza pedig 4. Az a feladatunk, hogy kiszámítsuk ennek a hosszát. Az első dolog, mielőtt a Pitagorasz-tételt alkalmaznád, hogy meggyőződjél arról, melyik az átfogó. Feltétlenül tudnod kell, hogy mit akarsz kiszámolni. Jelen esetben az átfogót keressük. Ezt onnan tudjuk, hogy ez az oldal van szemben a derékszöggel. Ha megnézzük a Pitagorasz-tételt, ez lesz a C. Ez a leghosszabb oldal. Most tehát készen állunk a Pitagorasz-tétel alkalmazására. Ez azt mondja, hogy 4 a négyzeten – ez az egyik rövidebb oldal – plusz 3 a négyzeten – a másik rövidebb oldalról van szó – egyenlő lesz ennek a hosszabb oldalnak a négyzetével – vagyis az átfogó, azaz C négyzetével. És aztán egyszerűen kiszámoljuk C-t. 4 a négyzeten az nem más, mint 4・4, ami 16, 3 a négyzeten pedig nem más, mint 3・3, ami 9. Ez lesz tehát egyenlő C négyzetével. Mennyi 16 + 9? 25. 25 = C a négyzeten. Mindkét oldalnak vesszük a pozitív négyzetgyökét. Matematikailag persze ez lehetne mínusz 5 is, de távolságokkal van dolgunk, tehát csak a pozitív gyökökkel foglalkozunk. Vesszük tehát mindkét oldal pozitív gyökét, és azt kapjuk, hogy 5 = C. Vagy hogy a leghosszabb oldal hossza 5. Tehát akkor használhatjuk a Pitagorasz-tételt, ha ismerünk két oldalt, és a harmadikat keressük, mindegy, hogy melyik a harmadik oldal. Nézzünk meg még egyet! Így néz ki a háromszögünk, ez itt a derékszög. Legyen ez az oldal 12, ez az oldal pedig 6 hosszúságú. Meg akarjuk határozni ennek a hosszát. Nos, ahogy mondtam, az első dolgunk, hogy azonosítjuk az átfogót. Ez a derékszöggel szemközti oldal lesz. Itt van a derékszögünk, mész szembe a derékszöggel, és a leghosszabb oldal, az átfogó, ez lesz itt. Ha most a Pitagorasz-tételre gondolunk, miszerint A négyzet meg B négyzet egyenlő C négyzet, a 12 lesz a C, ez az átfogó. C a négyzeten pedig az átfogó négyzete. Vagy azt is mondhatjuk, hogy 12 = C. És aztán mondhatjuk, hogy ezek az oldalak – itt mindegy, hogy melyik az A, és melyik a B –, legyen mondjuk ez az oldal az A, ami egyenlő 6-tal, és akkor B a kérdés. Most alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt. A a négyzeten, ami 6 a négyzeten, + az ismeretlen B a négyzeten egyenlő az átfogó, azaz C négyzetével, azaz 12 négyzetével. És ezt most megoldhatjuk B-re. Figyeld meg a különbséget! Ezúttal nem az átfogót számoljuk ki, hanem az egyik rövidebb oldalt. Az előző példában az átfogóra oldottuk meg, a C-re. Ezért olyan fontos mindig, hogy A négyzet + B négyzet = C négyzet, ahol a C az átfogó. Tehát számoljuk ki B-t! 6 a négyzeten az 36, + B négyzet az egyenlő 12 a négyzeten, 12-szer 12, az 144. Most az egyenlőség mindkét oldalából kivonunk 36-ot, ezek kiesnek. A bal oldalon marad B a négyzeten, ami egyenlő 144-ből 36-tal. Az mennyi? 144 − 30 = 114, és még kivonunk 6-ot, az 108, ez tehát 108 lesz. Ez lesz tehát B négyzete, és most a pozitív gyökét akarjuk venni mindkét oldalnak. Így azt kapjuk, hogy B = 108 pozitív négyzetgyökével. Nézzük, hogy vajon tudjuk-e egyszerűsíteni egy kicsit a négyzetgyök 108-at! A 108-at prímtényezőire tudjuk bontani, és megnézzük, hogy tudjuk-e egyszerűsíteni a gyököt. 108 az nem más, mint 2-szer 54, ami 2-szer 27, ami 3-szor 9. Így 108 négyzetgyöke megegyezik 2・2, sőt tulajdonképpen ez nem minden, a 9-et is fel tudom bontani 3・3-ra. Vagyis 2・2・3・3・3, vagyis több teljes négyzetünk is van. Hadd írjam le egy kicsit szebben! Ez most csupán a gyökös kifejezés egyszerűsítésének a gyakorlása, amivel gyakran fogsz találkozni a Pitagorasz-tétel használatakor, szóval nem árt, ha itt is megcsináljuk. Ez tehát nem más, mint négyzetgyök 2・2・3・3, szorozva ennek az utolsó 3-nak a négyzetgyökével. Persze nem kell ezt mind leírnod, fejben is elvégezheted. Szóval mennyi ez? 2・2 = 4, 4・9 = 36, ez tehát négyzetgyök 36 szorozva gyök 3-mal. A 36 pozitív gyöke 6, tehát 6・√3-ra egyszerűsödik. Így tehát a B oldal hossza írható úgy, hogy √108, de úgy is, hogy 6・√3. Ez itt 12, ez 6. A négyzetgyök 3 az 1 egész valamennyi, szóval az oldal valamivel nagyobb lesz, mint 6.