Fő tartalom
Bizonyítás: a háromszög belső szögeinek összege 180°
Tanulmányozd a háromszög belső szögeinek összege 180° tétel formális bizonyítását! Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Rajzoltam ide egy tetszőleges háromszöget, legyen ez az ABC háromszög, az oldalai pedig legyenek 'a', b és c. Elnevezem a belső szögeit is. Ennek a szögnek a nagysága α, ennek β, ennek pedig γ. Most pedig be akarom bizonyítani, hogy a háromszög belső
szögeinek összege, azaz α + β + γ = 180 fok. Ezt pedig úgy fogom csinálni, hogy felhasználom
a párhuzamos egyenesekkel és az egyállású szögekkel
kapcsolatos ismereteinket. Ehhez pedig meg fogom hosszabbítani a háromszög összes oldalát, amelyek most szakaszok,
de meghosszabbítom őket egyenesekké. Veszem ezt az 'a' oldalt, folytatom ugyanebben az irányban a végtelenségig, és így
kapok egy narancsszínű egyenest. És most rajzolok egy másik egyenest, amelyik párhuzamos ezzel a narancssárgával, és amelyik keresztülmegy
a háromszög A csúcsán. Ezt bármikor megtehetem, kiindulok az A pontból, megyek ugyanabba az irányba,
mint az 'a' egyenes, és sose fogom azt elmetszeni. Nem kerülök se közelebb,
se távolabb attól az egyenestől, vagyis sosem fogom metszeni azt az egyenest. Ez a két egyenes tehát párhuzamos, ez párhuzamos ezzel. Most az eredeti háromszög
másik két oldalával fogok foglalkozni, és azokat is meghosszabbítom úgy,
hogy egyenesek legyenek. Meghosszabbítom a b oldalt,
a b egyenes lesz belőle. Olyan szépre csinálom, ahogy csak tudom. Meghosszabbítom egy egyenessé. És nyilván látod,
hogy ez a b egyenes metszi mindkét párhuzamos egyenest. Na mármost, ha két párhuzamos
egyenest elmetszünk egy harmadikkal, akkor egyállású szögeket kell kapnunk. Láthatjuk, hogy ez a szög úgy keletkezett, hogy a szelő egyenese
metszi a narancssárga egyenest itt alul. Na és mekkora lesz a
másik szög, amikor a szelő egyenese
metszi a felső kék egyenest? Mekkora a jobb felső szög az egyenesek találkozásánál? A metszéspontnál lévő jobb felső szög is
x kell, hogy legyen. A másik dolog, ami eszedbe juthat, hogy itt van x csúcsszöge, egy másik ugyanakkora szög. A metszéspont túloldalán, itt van ez a szög, ezek csúcsszögek. Tehát, ha ennek a nagysága x, akkor ez is x lesz. Most csináljuk meg ugyanezt
a háromszög harmadik oldalára is, amelyet még nem hosszabbítottunk meg. Most akkor tegyük meg. Vesszük ezt, és megyünk tovább, hogy egy egyenest kapjunk. Ez el fogja metszeni a két párhuzamos egyenest, ahogy a lila egyenes is tette. Itt az y szög az alsó párhuzamos egyenes
metszéspontjánál van. Vajon ez melyik szögnek felel meg? Ez a metszéspont baloldalán
helyezkedik el, és ennek a szögnek felel meg, ahol a zöld metsző egyenes elmetszi a kék párhuzamos egyenest. Vajon ez melyik szögnek a csúcsszöge? Nos, ennek a szögnek, tehát ennek a mértéke is y. Most már majdnem a bizonyításunk
végén vagyunk, mert látni fogjuk, hogy itt van ez a szög, meg ez a szög, ennek x a nagysága, ennek z a nagysága, és ezek egymás melletti szögek. Ha vesszük a két külső félegyenest,
amelyek ennek a szögnek a szárai, és tekintjük ezt a szöget itt, akkor mekkora lesz ez a nagy szög? Nos, ez x + z. És ez a szög itt a mellékszöge ennek az y szögnek. Tehát ennek a nagy szögnek, ami x + z, meg ennek a lila szögnek, ami y, együtt 180 fokosnak kell lennie, mert ezek a szögek egymás kiegészítő szögei. Tehát a nagy szög x + z nagyságú, plusz a lila szög, amely mellékszöge a nagy szögnek, 180 fok kell legyen, mert ezek
kiegészítő szögei egymásnak. Ezt most át is rendezhetjük, ha ábécésorrendbe akarjuk tenni őket. Ezennel be is fejeztük a bizonyítást. A háromszög belső szögeinek összege, x + z + y, amit így is írhatunk: x + y + z, ha zavar minket, hogy
nincsenek ábécésorrendben, tehát írjuk szépen át, x + y + z = 180 fok, és ezzel meg is vagyunk.