Egyenletrendszer megoldása az egyenlő együtthatók módszerével: a király süteményei

Miután átmentél az undok manó hídján, és megmentetted a királyfit vagy a királylányt, visszaviszed őt az apjához, a királyhoz. A király olyan boldog, hogy visszaviszed neki a fiát vagy a lányát, hogy egy villásreggelit akar adni a tiszteletedre. De van egy kis problémája a villásreggeli megrendezésével. Ki akarja találni, mennyi süteményt kellene rendelnie. Semennyit sem akar elpazarolni, de biztos akar lenni benne, hogy mindenki eleget ehet. Azt mondod: – Mi a probléma? A király azt mondja: – Nos, tudom, hogy a felnőttek nem ugyanannyi süteményt esznek meg, mint a gyerekek, és azt is tudom, hogy a királyságomban egy felnőtt mindig ugyanannyi süteményt fog megenni, és egy gyerek is mindig ugyanannyi darabot fog megenni. Azt mondod: - Király, milyen információt tudsz adni nekem? Lehet, hogy tudok segíteni egy kicsit. Nagyon magabiztosnak érzed magad a manóval történtek után. Azt mondja: – Tudom, hogy a legutóbbi partin 500 felnőtt és 200 gyerek volt, és összesen 2900 süteményt ettek meg. Azt mondod: – Oké, ez érdekes, de szerintem egy kicsit több információra lenne szükségem. Szerveztél már partit korábban? A király azt mondja: – Természetesen igen, szeretek partit tartani. – És mi történt az előző partin? Azt mondja: – Nos, azon is 500 felnőtt volt, és 300 gyerek. Te azt mondod: – És mennyi süteményt ettek meg azon a bulin? Ő azt válaszolja: – Tudjuk, hogy 3100 sütemény fogyott el. Bizsergető érzés fog el, mert bevethető itt egy kis algebra. Azt mondod: – Rendben, hadd lássam! Mit kell kiszámolnunk? Ki kell számolnunk, hogy egy felnőtt átlagosan mennyi süteményt eszik meg, tehát az egy felnőttre jutó sütemények számát. És ki kell számolnunk az egy gyerekre jutó sütemények számát is. Tehát ezt a két dolgot kell kiszámolnunk, mert akkor megtudhatjuk, hogy hány felnőtt és gyerek jön a következő partira, amit a te tiszteletedre tartanak, és meglesz a sütemények pontos száma. Szóval ezeket a dolgokat próbálod kiszámolni. Nem tudjuk, mekkorák ezek a számok. Definiáljunk változókat, amelyek ezeket a dolgokat jelentik. Legyen 'a' a felnőtteké! Legyen egyenlő 'a'-val azon sütemények száma, amennyit átlagosan minden felnőtt megeszik. És legyen c a gyerekeké, tehát c azon sütemények száma, amennyi egy gyereknek jut átlagosan. A megadott információk alapján nézzük, hogyan tudjuk algebrailag kifejezni, amit a király mondott. Gondolkodjunk először erről a narancssárga információról! Hogyan tudjuk ezt algebrailag kifejezni? Gondoljunk arra, hogy mennyi süteményt ettek meg a felnőttek ezen a partin. 500 felnőtt volt, és átlagosan mindegyik pontosan 'a' süteményt evett. Vagyis az összes sütemény száma, amit a felnőttek megettek, 500-szor 'a'. Mennyit ettek a gyerekek? Ugyanez a logika. 200 gyerek volt, és mindegyik c süteményt evett, tehát 200-szor c azon sütemények száma, amit a gyerekek megettek. Mennyit ettek meg összesen? Ez az összes sütemény száma, amit a felnőttek ettek, plusz az összes sütemény száma, amit a gyerekek ettek, ami 2900 sütemény. Csináljuk meg ugyanezt, alkalmazzuk ugyanezt a logikát erre a kék partira, erre a kék információra. Hogyan tudjuk ezt kifejezni algebrailag? Összesen mennyi süteményt ettek meg a felnőttek? 500 felnőtt volt, és mindegyik 'a' süteményt evett, ami most még ismeretlen. És mi a helyzet a gyerekekkel? 300 gyerek volt, és mindegyikük c süteményt evett. És ha összeadod az összes süteményt, amit a felnőttek ettek, és az összes süteményt, amit a gyerekek ettek, akkor 3100 süteményt kapsz. Ez kezd érdekes lenni. Két egyenletem van, egy két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszerem. A manós tapasztalatod alapján tudod, hogy ezt meg kell tudnod oldani. Meg tudod oldani grafikusan, ahogy akkor csináltad, de most úgy érzed, hogy lehet egy másik módszer is az eszköztáradban, ami valójában csak a már ismert algebra egy alkalmazása. Szóval gondolkodjunk el egy kicsit azon, hogyan csinálhatnád meg. Írjuk le újra ezt az első egyenletet! 500a + 200c = 2900 sütemény. Jó lenne, ha megszabadulhatnánk ettől az 500a-tól valahogy. Mondhatnád, hogy vonjunk ki 500a-t, hogy egyszerűen ki lehetne vonni 500a-t. De ha a bal oldalból kivonsz 500a-t, akkor a jobb oldalból is ki kell vonni 500a-t, így az 'a' nem tűnne el, csak a jobb oldal végén lenne, és még mindig egy egyenlet lenne két ismeretlennel, ami nem túl célravezető. De meglátsz valami érdekeset. Azt mondod: – Itt van egy 500a, mi lenne, ha kivonnám az 500a-t és ezt a 300c-t? Ha kivonnád az 500a-t és a 300c-t a bal oldalból. Miért hasznos ez? Ugyanazt fogod csinálni a jobb oldalon is, és akkor a jobb oldalon lesz egy 'a' és egy c. Azt mondod: – Várj, várj egy percet! Várj – tegyük fel, hogy magadban beszélsz –, várj egy percet! Kivonom ennek az egyenletnek a bal oldalát, de ez a bal oldal ugyanaz, mint ez a jobb oldal. Tehát kivonhatok 500a-t és 300c-t innen, és kivonhatok 500a-t és 300c-t innen is. De tudjuk, hogy ha kivonok 500a-t és 300c-t, az pontosan ugyanaz, mintha kivonnék 3100-at. Hadd magyarázzam el! Ez a -500a - 300c pontosan ugyanaz, mint amikor kivonunk (500a + 300c)-t, és tudjuk, hogy ez az 500a + 300c pontosan 3100. Ez 3100. Ezt a második információból tudjuk. Tehát ahelyett, hogy kivonunk 500a-t és 300c-t, kivonhatunk 3100-at. Csináljuk meg! Izgalmas. Ezt kitörlöm. Itt pedig ahelyett, hogy ezt csinálnám, kivonhatom pontosan ugyanazt az értéket, amiről tudjuk, hogy 3100. Vonjunk ki 3100-at! Szóval ha így nézzük, úgy néz ki, mintha kivontuk volna ezt az alsó egyenletet a felső egyenletből, de valójában csak kivontuk ugyanazt a dolgot mindkét oldalból. Ez csak nagyon alapszintű algebra. De ha megcsináljuk ezt, nézzük, mi történik! A bal oldalon 500a - 500a, ezek kiejtik egymást, 200c - 300c, ez -100c lesz. A jobb oldalon pedig 2900 - 3100, az -200. Most már egy egyenletünk van egy ismeretlennel, és ezt tudjuk, hogyan kell megoldani. Mindkét oldalt eloszthatjuk -100-zal. Itt egyszerűsíthetünk, és itt pedig +2 lesz a végén. Tehát c egyenlő plusz 2. Kiszámoltuk az egyik ismeretlent, minden gyerek átlagosan 2 süteményt eszik meg, c = 2. Hogy tudjuk kiszámolni, hogy mennyi az 'a'? Nos, most már alkalmazhatjuk ezt az információt, és visszamehetünk valamelyik egyenlethez, és kiszámolhatjuk, mennyi az 'a'. Menjünk vissza ehhez a narancssárgához, és számoljuk ki, mennyi az 'a'. Tehát volt 500a + 200c – de tudjuk, hogy mennyi a c, c = 2, így ez 200-szor 2 – és ez egyenlő 2900-zal. És most már csak ki kell számolni az 'a'-t, egy egyenlet egy ismeretlennel. Szóval 500a – 200-szor 2 az 400 – plusz 400 egyenlő 2900. Kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából 400-at. Csináljuk ezt! 400-at kivonva a bal oldalon az marad – ez kiesik –, a bal oldalon 500a lesz. Ez nagyon izgalmas, a célegyenesbe értünk. A jobb oldalon 2500 van. 500a = 2500. Mindkét oldalt eloszthatjuk 500-zal, az marad, hogy 2500 osztva 500-zal egyenlő 5. Tehát 'a' =5, és kész van. Megoldottad a király feladványát. Minden gyerek átlagosan 2 pohár vizet iszik – elnézést, nem víz, nem tudom, honnan vettem ezt –, minden gyerek 2, és minden felnőtt 5 süteményt fog megenni, az 'a' egyenlő 5. És az alapján, hogy hány felnőtt és gyerek jön a tiszteletedre tartott partira, most már pontosan tudod a sütemények számát, amennyit a királynak rendelnie kell.