Egyenletrendszer megoldása az egyenlő együtthatók módszerével (átalakításokkal)

Oldjunk meg még néhány egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével! De ezek nem egy lépéses kiküszöbölések lesznek. Át kell alakítanunk egy kicsit az egyenleteket, hogy előkészítsük őket a kiküszöbölésre. Tehát mondjuk, van egy egyenlet: 5x - 10y = 15, és van egy másik egyenlet: 3x - 2y = 3. Azt mondtam, hogy az egyenlő együtthatókkal szeretnénk csinálni. Most is használhatnánk a behelyettesítéses módszert. Vagy ábrázolhatnánk mindkét egyenest, és megnézhetnénk, hol metszik egymást, de a kiküszöbölést fogjuk alkalmazni. Az első dolog, amit mondhatnál: – Hé, Sal, tudod, a kiküszöbölésnél kivontad az egyik egyenlet bal oldalát a másik egyenlet bal oldalából, vagy összeadtad őket, majd a jobb oldalakat is. Megtehettem, mert lényegében ugyanazt a dolgot adtuk hozzá az egyenlet mindkét oldalához. De itt nem nyilvánvaló, hogy ez bármit is segítene. Ha összeadnánk ezt a két bal oldalt, azt kapnánk, hogy 8x - 12y. Nem esne ki egyik változó sem. A jobb oldalon csak egy szám maradna. Ha kivonnánk, akkor sem esne ki egyik változó sem. Szóval hogy segít itt a kiküszöbölés? A válasz az, hogy megszorozhatjuk mindkét egyenletet (egy-egy számmal), ezzel elérhetjük, hogy az egyik kifejezés és valamelyik másik kiejtsék egymást. Kiválaszthatod, hogy melyik változót akarod kiküszöbölni. Mondjuk, az y-t akarjuk kiküszöbölni. Ezt az (5x - 10y)-t leírom újra: 5x - 10y = 15. Na most, van-e valami, amivel megszorozhatom ezt a zöld egyenletet, hogy ebből a -2y tagból olyan tag legyen, ami kiejti a -10y-t? Tehát lényegében a -2y-ból plusz 10y-t akarok csinálni. Ugye? Mert ha ez +10y, akkor ez kiesik, amikor összeadom az egyenletek bal oldalát. Tehát mennyivel szorozzam meg ezt az egyenletet? Nos, ha megszoroznám -5-tel, akkor -5-ször -2 az +10 lenne. Csináljuk meg ezt! Szorozzuk meg ezt az egyenletet -5-tel! Tehát megszorozzuk a bal oldalt -5-tel, és megszorozzuk a jobb oldalt -5-tel. Mit kapunk? Emlékszel, nem változtatjuk meg alapjaiban ezt az egyenletet. Nem változtatjuk meg az információkat az egyenletben. Mind a két oldalon ugyanazt a dolgot csináljuk. Tehát az egyenlet bal oldalán -5⋅3x az -15x, -5⋅(-2y) az 10y, = 3⋅(-5), ami -15. És készen is állunk a kiküszöbölésre. Ha hozzáadjuk ezt a sárga egyenlet bal oldalához, és hozzáadunk -15-öt a sárga egyenlet jobb oldalához, akkor ugyanazt adjuk hozzá az egyenlet mindkét oldalához. Mert ez egyenlő ezzel. Csináljuk meg! Tehát 5x - 15x – van itt egy kis mínuszjel, nem akarjuk elhagyni –, az -10x, az y-ok kiejtik egymást, -10y + 10y az 0 – ez volt a lényege annak, hogy megszoroztuk ezt -5-tel –, egyenlő 15 - 15, ami 0. Tehát -10x = 0. Osszuk el mindkét oldalt -10-zel, és azt kapjuk, hogy x = 0. Most pedig visszahelyettesíthetünk valamelyik egyenletbe, hogy kiszámoljuk, mivel egyenlő az y. Helyettesítsünk be a felső egyenletbe! Azt kapjuk, hogy 5⋅0 - 10y = 15, vagyis -10y = 15. Leírom, -10y = 15. Elosztjuk mindkét oldalt -10-zel. Az maradt, hogy y = 15/-10, azaz -3/2. Ha ábrázolnád, a metszéspont a (0; -3/2) pont lenne. Ellenőrizheted, hogy ezt az egyenletet is kielégíti. Az eredeti egyenlet az volt, hogy 3x - 2y = 3. 3-szor 0, ami 0, mínusz 2-szer -3/2, ez 0, ez plusz 3, itt egyszerűsítünk, ez pozitív lesz, plusz 3 egyenlő 3. Tehát valóban kielégítik mindkét egyenletet. Csináljunk meg még egy ilyet, ahol szorozni kell, és át kell alakítani az egyenleteket, és utána tudjuk kiküszöbölni az egyik változót. Csináljunk meg még egyet! Mondjuk, 5x + 7y = 15, és – másik színnel írom – 7x - 3y = 5. Most is, ha csak összeadjuk vagy kivonjuk a bal oldalakat, akkor nem fog kiesni egyik változó sem. Ezeknek nincsenek egyenlő együtthatóik, vagy olyan együtthatóik, amelyek ellentettjei egymásnak. Válasszunk egy változót, amit kiküszöbölünk! Mondjuk, most az x-et akarjuk kiküszöbölni. Választhatod az egyik változót, vagy a másikat, mindegy. Mondhatod, hogy küszöböljük ki az y-t először, de én először az x kiküszöbölését választom. Azt kell csinálni, hogy át kell alakítani egyik vagy mindkét egyenletet úgy, hogy ennek a két tagnak ugyanannyi legyen az együtthatója, vagy az együtthatóik ellentettjei legyenek egymásnak, így amikor összeadom a bal oldalakat, ezek kiejtik egymást. Most itt nincs semmi nyilvánvaló – megszorozhatnám ezt egy törttel, hogy egyenlő legyen -5-tel, vagy megszorozhatnám ezt egy törttel, hogy egyenlő legyen -7-tel. De még jobb lenne azt csinálni, hogy megpróbálnám elérni, hogy mindkettő a legkisebb közös többszörösük legyen, hogy mindkettő 35 legyen. Ezt úgy tudom megtenni, hogy megszorzom őket egymással. Tehát ezt a felső egyenletet megszorozhatom 7-tel. A 7-et választom, mert ebből így 35 lesz. És megszorozhatom az alsó egyenletet -5-tel. Azért csinálom ezt, mert ebből így -35 lesz. Ne felejtsd el, hogy az a célom, hogy az x kiessen. Tehát ha ebből 35-öt csinálok, ebből pedig -35-öt csinálok, akkor minden rendben lesz. Összeadhatom az egyenletek bal oldalát és jobb oldalát. Szóval ebből a felső egyenletből – ha megszorozzuk 7-tel – az lesz – feljebb görgetek egy kicsit –, szorzunk 7-tel, és az lesz, hogy 35x + 49y egyenlő... Nézzük, ez 70 + 35, egyenlő 105, ugye? 15, 70 + 35 egyenlő 105. Ez lett a felső egyenletből. Az alsó egyenletből az lesz, hogy -5-ször 7x, az -35x, -5-ször -3y, az plusz 15y – mínusszor mínusz az plusz –, aztán 5-ször – ez nem -5, ezzel szorozzuk a -5-öt –, 5-ször -5 egyenlő -25. Kiindulhatunk ebből a felső egyenletből, és hozzáadhatjuk ugyanazt mindkét oldalához, ahol ez a -25 lesz, ami egyenlő ezzel a kifejezéssel is. Adjuk össze a bal oldalakat és a jobb oldalakat, mivel ugyanazt adjuk hozzá az egyenlet mindkét oldalához. A bal oldalon az x kiesik, 35x - 35x. Ez volt az egésznek a lényege. Ezek kiejtik egymást, és az y: azt kapjuk, hogy 49y + 15y az 64y. 64y egyenlő 105 - 25, ami 80. Osszuk el mindkét oldalt 64-gyel, és azt kapjuk, hogy y = 80/64. Nézzük, ha a számlálót és a nevezőt is elosztjuk 8-cal – tulajdonképpen valószínűleg 16-tal is csinálhatjuk –, a 16 jobb lenne, de csináljuk először 8-cal, csak mert a 8-as szorzótáblát ismerjük. Tehát 10/8 lesz, utána egyszerűsíthetünk 2-vel, és 5/4-et kapunk. Ha közvetlenül 16-tal egyszerűsítettünk volna, akkor azonnal eljutottunk volna az 5/4-hez. Tehát y = 5/4. Számoljuk ki, mennyi az x! Behelyettesíthetünk bármelyik egyenletbe ezek közül, vagy az egyik eredeti egyenletbe. Helyettesítsünk be a második eredeti egyenletbe, ami 7x - 3y = 5 volt. Ez volt a második egyenlet eredeti változata, amit később átalakítottunk ezzé. Tehát 7x mínusz 3-szor y – ami 5/4 – egyenlő 5, vagyis 7x - 15/4 = 5. Adjunk hozzá 15/4-et! Elnézést, nem jól csináltam, ez 7x mínusz 3-szor... Bocsánat, jó volt, mit csinálok én? 3-szor 5/4 az 15/4, egyenlő 5. Adjunk hozzá mindkét oldalhoz 15/4-et! Mit kapunk? A bal oldalon csak 7x lesz, ezek kiejtik egymást. És ez egyenlő 5-tel, ami ugyanaz, mint 20/4, 20/4 + 15/4. Azt kapjuk, hogy – kicsit lejjebb görgetek – 7x = 35/4. Megszorozhatjuk mindkét oldalt 1/7-del, vagy eloszthatjuk mindkét oldalt 7-tel, ugyanaz a kettő. Szorozzuk meg mindkét oldalt 1/7-del, ami ugyanaz, mint ha 7-tel osztanánk. Tehát itt egyszerűsíthetünk, és az marad, hogy x egyenlő – itt ha a 35-öt elosztjuk 7-tel, 5-öt kapunk, 7 osztva 7-tel 1 –, így x is egyenlő 5/4-del. Tehát ezek metszéspontjának x és y koordinátája is 5/4 lesz. Ha grafikusan néznéd, az (5/4; 5/4) pont lenne. Ellenőrizzük, hogy kielégíti-e a felső egyenletet! 5⋅5/4 + 7⋅5/4 az mennyi lesz? 15-nek kellene lennie. Ez 25/4, plusz – ez mennyi? – plusz 35/4, ami 60/4, és ez valóban egyenlő 15-tel. Tehát egyértelműen kielégíti a felső egyenletet. Megnézhetnéd ezt az alsó egyenletet, de jónak kellene lennie, mert ezt az alsó egyenletet használtuk arra, hogy kiszámoljuk ezt az x = 5/4-et.