Fő tartalom
Az algebra alapjai
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 3. témakör
4. lecke: Egyenletrendszer megoldásainak a száma- Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 1.
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 2.
- Egyenletrendszer megoldása: konzisztens vagy inkonzisztens
- Egyenletrendszer megoldása: függő vagy független
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
- Hány megoldása van egy egyenletrendszernek, ha van legalább kettő?
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma – összefoglalás
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés
Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
Sal megold néhány példát, amelyekben algebrai érveléssel indokolja meg az egyenletrendszerek megoldásainak a számát.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Hány megoldása van az alábbi
elsőfokú egyenletrendszernek? Itt az egyenletrendszer. Többféleképpen gondolkodhatunk. Az egyik lehetőség az,
hogy a grafikonokra gondolunk. Lehet ugyanaz az egyenes a kettő, ebben az esetben
végtelen sok megoldás lenne, lehetnek párhuzamosak,
akkor nincs közös pontjuk, akkor nem lenne megoldás, vagy pontosan egy helyen
metszik egymást, ebben az esetben
egy megoldás lenne. De ehelyett most
algebrai módszerrel csináljuk. Szóval egyszerűen csak próbáljuk
megoldani az egyenletrendszert, és nézzük meg,
mit kapunk. Tehát az első egyenlet
– változatlanul hagyom – 5x - 9y = 16, és a második egyenlet – mondjuk, az x-es tagokat
akarom kiejteni, megszorzom a második egyenletet -1-gyel, tehát lesz egy -5x,
ez kiejtheti az 5x-et –, tehát ha a második egyenletet
megszorzom -1-gyel, akkor -5x + 9y = -36 lesz. Most azt csinálom, hogy összeadom az egyenletek
bal oldalát és jobb oldalát, így kapok egy új egyenletet. Tehát 5x - 5x, ez 0 lesz,
-9y + 9y, ez is 0 lesz, még csak írnom sem kell,
ez csak 0 a bal oldalon, és a jobb oldalon
16 - 36 az -20. Tehát most egy furcsán kinéző
egyenlet maradt, az, hogy 0 = -20. Most az egyik lehetőség,
hogy mondhatod azt, hogy ennek mi értelme van? Úgyhogy elgondolkodsz:
van-e olyan (x; y) számpár, amire 0 egyenlő lesz -20-szal? Nos, a 0 soha nem lesz egyenlő -20-szal, ezért mindegy, mennyi az x és az y értéke, soha nem találsz olyan x-et, vagy olyan (x; y) számpárt, amelyik egyenlővé teszi
a 0-t -20-szal. Lényegében az x-ek és y-ok eltűntek
ebből az egyenletből, nincs rá mód, hogy ez igaz legyen, tehát nincs megoldás. Ha ábrázolnád ezeket, ha ábrázolnád mindkét egyenest, látnád, hogy párhuzamosak, ezért ugyanakkora a meredekségük és különböző az y tengelymetszetük, és ezért nincs megoldás,
nem metszik egymást. Nézzünk egy másikat ezek közül,
ez jó szórakozás. Hány megoldása van a következő
elsőfokú egyenletrendszernek? Csináljuk ugyanúgy. Az első egyenletet így hagyom:
-6x + 4y = 2, és a második egyenlet hadd nézzem:
ki tudom küszöbölni az x-et, tehát itt -6x van,
ha ezt megszorzom 2-vel, akkor +6x lesz–,
tehát nézzük, megszorzom ezt az egész egyenletet 2-vel, így az lesz, hogy 6x,
3x szorozva 2-vel az 6x, -2y szorozva 2-vel az -4y,
és ez egyenlő lesz -2-vel. Most csináljuk ugyanazt, adjuk össze a bal oldalakat, és adjuk össze a jobb oldalakat. Tehát -6x plusz 6x az 0 lesz, 4y - 4y az nulla,
a bal oldalon csak 0 lesz, a jobb oldalon
2 plusz -2 az 0. Szóval ez egy kicsit más, de ez is egy kicsit furcsán néz ki,
0 = 0. Az előbb az volt, hogy 0 = -20, most pedig az, hogy 0 = 0. Az egyik módszer,
hogy átgondoljuk ezt – még ha x és y már nincs is
ebben az egyenletben –, az az, hogy melyek azok az
(x; y) számpárok, amelyek igazzá teszik ezt, hogy 0 = 0. Nos, ez mindig igaz lesz,
mindegy, hogy mennyi az x és az y. x és y már nem szerepel
ebben az egyenletben, 0 mindig egyenlő lesz 0-val, tehát ennek végtelen sok
megoldása lesz azért, mert ezek
ugyanazok az egyenesek. Algebrailag egy kicsit
különbözőnek látszanak, de ha valamelyiket
megfelelően átalakítod, ha ennek a másodiknak
mindkét oldalát megszorzod -2-vel, akkor megkapod a felsőt, így mindkettő ugyanazt az
egyenest fejezi ki, végtelen sok megoldás van. Jó. Amikor Yvonne megpróbálja megoldani
a következő elsőfokú egyenletrendszert, több helyes lépést elvégez, amelyek ahhoz az egyenlethez
vezetnek, hogy -5 = 20. Hány megoldása van
az elsőfokú egyenletrendszernek? Meg sem kell néznem
az egyenletrendszert, mert az, hogy egy olyan
állítást kapott, ami soha nem lehet igaz – -5 soha nem lesz egyenlő 20-szal –, arra utal, hogy ennek
nincs megoldása. Ismétlem, ha grafikusan
ábrázolnád ezt, látnád, hogy ezek
párhuzamos egyenesek, ezért nincs megoldás,
sehol nem metszik egymást, nincs olyan (x; y) számpár,
ami mindkét feltételt kielégíti. Csináljunk meg még egy pár ilyet! Amikor Alba megpróbálja megoldani
az alábbi elsőfokú egyenletrendszert, több helyes lépést elvégez, amelyek ahhoz az egyenlethez vezetnek, hogy
5y = -5. Hány megoldása van ennek az
elsőfokú egyenletrendszernek? 5y = -5.
Eloszthatjuk mindkét oldalt 5-tel, és azt kapjuk, hogy
y = -1. Aztán ha visszahelyettesítjük az y = -1-et
ebbe az első egyenletbe, ha y = -1, akkor ebből az egészből 2 lesz, kivonhatunk mindkét oldalból 2-t, és azt kapjuk, hogy 5x = 4,
vagyis azt kapjuk, hogy x = 4/5. Vagy ha ide írjuk be a -1-et, akkor azt kapjuk, hogy 5x - 3 = 1, hozzáadhatunk 3-at mindkét oldalhoz, és ismét azt kapjuk,
hogy 5x = 4, x = 4/5. Tehát pontosan egy megoldás van:
x = 4/5 és y = -1. Csináljunk meg még egyet! Amikor Levon megpróbálja megoldani
a következő elsőfokú egyenletrendszert, több helyes lépést elvégez, amelyek ahhoz az egyenlethez vezetnek,
hogy 0 = 0. Tehát most sem kell megnéznem
az egyenletrendszert, az, hogy 0 = 0
mindig igaz, tehát végtelen sok megoldás lesz.