Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag

Hány megoldása van az alábbi elsőfokú egyenletrendszernek? Itt az egyenletrendszer. Többféleképpen gondolkodhatunk. Az egyik lehetőség az, hogy a grafikonokra gondolunk. Lehet ugyanaz az egyenes a kettő, ebben az esetben végtelen sok megoldás lenne, lehetnek párhuzamosak, akkor nincs közös pontjuk, akkor nem lenne megoldás, vagy pontosan egy helyen metszik egymást, ebben az esetben egy megoldás lenne. De ehelyett most algebrai módszerrel csináljuk. Szóval egyszerűen csak próbáljuk megoldani az egyenletrendszert, és nézzük meg, mit kapunk. Tehát az első egyenlet – változatlanul hagyom – 5x - 9y = 16, és a második egyenlet – mondjuk, az x-es tagokat akarom kiejteni, megszorzom a második egyenletet -1-gyel, tehát lesz egy -5x, ez kiejtheti az 5x-et –, tehát ha a második egyenletet megszorzom -1-gyel, akkor -5x + 9y = -36 lesz. Most azt csinálom, hogy összeadom az egyenletek bal oldalát és jobb oldalát, így kapok egy új egyenletet. Tehát 5x - 5x, ez 0 lesz, -9y + 9y, ez is 0 lesz, még csak írnom sem kell, ez csak 0 a bal oldalon, és a jobb oldalon 16 - 36 az -20. Tehát most egy furcsán kinéző egyenlet maradt, az, hogy 0 = -20. Most az egyik lehetőség, hogy mondhatod azt, hogy ennek mi értelme van? Úgyhogy elgondolkodsz: van-e olyan (x; y) számpár, amire 0 egyenlő lesz -20-szal? Nos, a 0 soha nem lesz egyenlő -20-szal, ezért mindegy, mennyi az x és az y értéke, soha nem találsz olyan x-et, vagy olyan (x; y) számpárt, amelyik egyenlővé teszi a 0-t -20-szal. Lényegében az x-ek és y-ok eltűntek ebből az egyenletből, nincs rá mód, hogy ez igaz legyen, tehát nincs megoldás. Ha ábrázolnád ezeket, ha ábrázolnád mindkét egyenest, látnád, hogy párhuzamosak, ezért ugyanakkora a meredekségük és különböző az y tengelymetszetük, és ezért nincs megoldás, nem metszik egymást. Nézzünk egy másikat ezek közül, ez jó szórakozás. Hány megoldása van a következő elsőfokú egyenletrendszernek? Csináljuk ugyanúgy. Az első egyenletet így hagyom: -6x + 4y = 2, és a második egyenlet hadd nézzem: ki tudom küszöbölni az x-et, tehát itt -6x van, ha ezt megszorzom 2-vel, akkor +6x lesz–, tehát nézzük, megszorzom ezt az egész egyenletet 2-vel, így az lesz, hogy 6x, 3x szorozva 2-vel az 6x, -2y szorozva 2-vel az -4y, és ez egyenlő lesz -2-vel. Most csináljuk ugyanazt, adjuk össze a bal oldalakat, és adjuk össze a jobb oldalakat. Tehát -6x plusz 6x az 0 lesz, 4y - 4y az nulla, a bal oldalon csak 0 lesz, a jobb oldalon 2 plusz -2 az 0. Szóval ez egy kicsit más, de ez is egy kicsit furcsán néz ki, 0 = 0. Az előbb az volt, hogy 0 = -20, most pedig az, hogy 0 = 0. Az egyik módszer, hogy átgondoljuk ezt – még ha x és y már nincs is ebben az egyenletben –, az az, hogy melyek azok az (x; y) számpárok, amelyek igazzá teszik ezt, hogy 0 = 0. Nos, ez mindig igaz lesz, mindegy, hogy mennyi az x és az y. x és y már nem szerepel ebben az egyenletben, 0 mindig egyenlő lesz 0-val, tehát ennek végtelen sok megoldása lesz azért, mert ezek ugyanazok az egyenesek. Algebrailag egy kicsit különbözőnek látszanak, de ha valamelyiket megfelelően átalakítod, ha ennek a másodiknak mindkét oldalát megszorzod -2-vel, akkor megkapod a felsőt, így mindkettő ugyanazt az egyenest fejezi ki, végtelen sok megoldás van. Jó. Amikor Yvonne megpróbálja megoldani a következő elsőfokú egyenletrendszert, több helyes lépést elvégez, amelyek ahhoz az egyenlethez vezetnek, hogy -5 = 20. Hány megoldása van az elsőfokú egyenletrendszernek? Meg sem kell néznem az egyenletrendszert, mert az, hogy egy olyan állítást kapott, ami soha nem lehet igaz – -5 soha nem lesz egyenlő 20-szal –, arra utal, hogy ennek nincs megoldása. Ismétlem, ha grafikusan ábrázolnád ezt, látnád, hogy ezek párhuzamos egyenesek, ezért nincs megoldás, sehol nem metszik egymást, nincs olyan (x; y) számpár, ami mindkét feltételt kielégíti. Csináljunk meg még egy pár ilyet! Amikor Alba megpróbálja megoldani az alábbi elsőfokú egyenletrendszert, több helyes lépést elvégez, amelyek ahhoz az egyenlethez vezetnek, hogy 5y = -5. Hány megoldása van ennek az elsőfokú egyenletrendszernek? 5y = -5. Eloszthatjuk mindkét oldalt 5-tel, és azt kapjuk, hogy y = -1. Aztán ha visszahelyettesítjük az y = -1-et ebbe az első egyenletbe, ha y = -1, akkor ebből az egészből 2 lesz, kivonhatunk mindkét oldalból 2-t, és azt kapjuk, hogy 5x = 4, vagyis azt kapjuk, hogy x = 4/5. Vagy ha ide írjuk be a -1-et, akkor azt kapjuk, hogy 5x - 3 = 1, hozzáadhatunk 3-at mindkét oldalhoz, és ismét azt kapjuk, hogy 5x = 4, x = 4/5. Tehát pontosan egy megoldás van: x = 4/5 és y = -1. Csináljunk meg még egyet! Amikor Levon megpróbálja megoldani a következő elsőfokú egyenletrendszert, több helyes lépést elvégez, amelyek ahhoz az egyenlethez vezetnek, hogy 0 = 0. Tehát most sem kell megnéznem az egyenletrendszert, az, hogy 0 = 0 mindig igaz, tehát végtelen sok megoldás lesz.