Egyenletrendszer megoldása: függő vagy független

Az alábbi elsőfokú egyenletrendszer függő vagy független? Megadtak két egyenletet. Mielőtt nekifognék ennek a konkrét feladatnak, tekintsük át egy kicsit, hogy mit jelent az, hogy függő vagy független. És tulajdonképpen együtt fogom vizsgálni ezt a konzisztens és inkonzisztens fogalmakkal. Kezdjük azzal, hogy ha elsőfokú egyenletrendszerekről van szó két dimenzióban, akkor az egyenesek vagy egyenletek csak háromféleképpen viszonyulhatnak egymáshoz. Lerajzolom a három lehetőséget. Rajzolok 3 koordinátarendszert. Ez az első x tengely és y tengely. Rajzolok egy másikat, ez az x és ez az y. Rajzolok még egyet, – mert csak 3 lehetséges eset van két dimenzióban, ha elsőfokú egyenletekkel van dolgunk –, x és y. Tehát előfordulhat az a helyzet, hogy az egyenesek egy pontban metszik egymást. Csináljuk meg ezt! Tehát lehet egy ilyen egyenes, és egy másik, ami így nézhet ki, ezek egy pontban metszik egymást. Lehet olyan helyzet, amikor a két egyenes párhuzamos. Tehát lehet olyan helyzet – hadd rajzoljam ide –, amikor van egy egyenes, amelyik így megy, és a másik egyenesnek ugyanaz a meredeksége, de el van tolva, az y tengelymetszete más, szóval valahogy így néz ki. Ekkor nincs metszéspont. Aztán lehet még olyan helyzet is, amikor a kettő lényegében ugyanaz az egyenes, azaz a két egyenesnek ugyanaz a meredeksége és az y tengelymetszete, szóval tényleg ugyanaz a két egyenes. Végtelen sok közös pontjuk van, az egyik egyenes minden pontja rajta van a másik egyenesen is. Egy kis visszatekintés a szakkifejezésekre: – erről az előző videóban tanultunk – ez a fajta egyenletrendszer, amikor nincs metszéspont, amikor nincs megoldás, ez az inkonzisztens egyenletrendszer. És definíció szerint – vagy csak egyszerűen vesszük az inkonzisztens ellentettjét – ez a kettő konzisztensnek tekinthető. De aztán a konzisztensen belül nyilvánvalóan van különbség. Itt csak egy megoldás van, ez két különböző egyenes, amelyek egy helyen metszik egymást, itt pedig tulajdonképpen a kettő pontosan ugyanaz az egyenes. Így aztán megkülönböztetjük ezt a két esetet: ezt itt függetlennek nevezzük, ezt pedig függőnek. Tehát a független: mindkét egyenes a saját útját járja, nem függnek egymástól. A kettő nem ugyanaz az egyenes, egy helyen fogják metszeni egymást. Függő: a kettő pontosan ugyanaz az egyenes, minden pont, ami rajta van az egyik egyenesen, rajta van a másikon is. Minden pont, ami kielégíti az egyik egyenletet, ki fogja elégíteni a másikat is. Ezek alapján nézzük, hogy ez az elsőfokú egyenletrendszer függő vagy független. A kérdés alapján feltételezzük, hogy konzisztens lesz, vagy egy helyen metszik egymást, vagy végtelen sok közös pontjuk lesz. A legegyszerűbb, ha úgy csináljuk... – ez a második egyenlet, ez már meredekség-tengelymetszet alakú, tudjuk, hogy a meredekség -2, az y tengelymetszet 8. Hozzuk az első egyenletet is meredekség-tengelymetszet alakra, és nézzük meg, hogy különbözők-e a meredekségek és a tengelymetszetek, vagy esetleg ugyanaz az egyenes a kettő. Tehát 4x + 2y = 16. Kivonhatunk 4x-et mindkét oldalból. El szeretnénk különíteni az y-t a bal oldalon, tehát vonjunk ki 4x-et mindkét oldalból. A bal oldalon csak 2y maradt, a jobb oldalon pedig -4x + 16 van. Csak azért írtam a -4x-et a 16 elé, hogy a megszokott meredekség-tengelymetszet alakban legyen. És most az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk 2-vel, ezzel el tudjuk különíteni az y-t a bal oldalon. Mindkét oldalt elosztjuk 2-vel. Az maradt, hogy y egyenlő... -4 osztva 2-vel az -2x, plusz 16 per 2, az plusz 8. Csak annyit csináltam, hogy algebrai átalakításokat végeztem ezen a felső egyenleten. És miután megcsináltam ezt, miután kifejeztem y-t, ezt kaptam, ami pontosan ugyanaz, mint a második egyenlet. Ugyanannyi a meredekség, -2, -2, és pontosan ugyanannyi az y tengelymetszet, 8 és 8. Ha ábrázolnám ezeket az egyenleteket – ez az x tengely és ez az y tengely –, mindkettő 8-nál metszi az y tengelyt, és mindkettő meredeksége -2, tehát valahogy – csak nagyjából rajzolom meg – valahogy így néznének ki. Ez lehet ennek az egyenletnek a grafikonja, ennek az első egyenletnek, és a második egyenletnek pontosan ugyanez lesz a képe. Pontosan ugyanannyi az y tengelymetszete, és pontosan ugyanannyi a meredeksége. Tehát világos, hogy ez a két egyenes függő, végtelen sok közös pontjuk van, mert a két egyenes ugyanaz.