Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan

Hogy az Arbeglák ne nehezítsék meg az életünket, főleg ha nincsenek beszélő madaraink, akik segítenek nekünk, képesnek kell lennünk felismerni, amikor a dolgok egy kicsit furcsán alakulnak az egyenletrendszerek megoldása során. Amikor végtelen sok megoldás van, vagy amikor egyáltalán nincs megoldás. Tekintsük át egy kicsit, mi történhet, gondoljuk végig a három esetet. Az első eset, amivel kezdtünk, amikor van két egyenes, amelyek csak egy helyen metszik egymást, ekkor lényegében egy megoldás van. Tehát ha grafikusan ábrázolnánk, egy megoldás lenne, ez itt, egy megoldás. Ez azt jelenti, hogy a két feltétel konzisztens, és a két feltétel független egymástól. Nem ugyanaz a két egyenes, konzisztens és független. Aztán a másik eset, amikor inkonzisztensek, van közös pontjuk, de a kettő lényegében ugyanaz az egyenes. Minden pontjuk közös. Tehát ez az egyik feltétel, az egyik egyenlet, és a másik, ha megnézed, ha ábrázolod, a másik pontosan ugyanaz az egyenes. Tehát itt végtelen sok megoldás van. Ez konzisztens, van megoldás, de ezek az egyenletek függők, ez egy függő egyenletrendszer. És az utolsó eset – ha két dimenzióban dolgozol –, az utolsó eset az, amikor a két egyenes nem metszi egymást. Az egyik lehet ilyen, a másik pedig lehet ilyen. Pontosan ugyanakkora a meredekségük, de különböző a tengelymetszetük. Tehát itt nincs megoldás, sehol sem metszik egymást. Ezt inkonzisztens egyenletrendszernek nevezzük. Ha végig akarnád gondolni, mi történhet, csak gondolj ezekre az esetekre. Itt különbözők a meredekségek. Ha erre gondolsz, két különböző egyenes különböző meredekséggel biztos, hogy pontosan egy helyen metszi egymást. Itt ugyanakkora a meredekségük és ugyanaz az y tengelymetszetük, tehát végtelen sok megoldás van. Itt ugyanakkora a meredekség, de különböző az y tengelymetszet, így nem kapsz megoldást. Tehát amikor egyenletrendszert oldasz meg, a dolgok egy kicsit furcsán alakulnak, amikor ugyanakkora a meredekség. És ha belegondolsz, hogy mit jelent a(z egyenlő) meredekség – és arra biztatlak, próbáld ki ezt különböző egyenletekkel –, az azt jelenti, hogy ha az x és y vagy a és b, vagyis a változók ugyanazon az oldalon vannak, akkor az együtthatóik aránya ugyanakkora. Ezt figyelembe véve, ezt szem előtt tartva nézzük, át tudjuk-e gondolni, milyen típusú megoldásokat találhatunk. Ezt vegyük le! Azt kérik, határozd meg, hány megoldása van az egyenletrendszernek. 10x - 2y = 4, és 10x - 2y = 16. Az alapján, amiről az előbb beszéltünk, az x és az y az egyenleteknek ugyanazon az oldalán van, és az együtthatók aránya 10 a -2-höz. Ugyanaz az arány, tehát valami furcsa dolog fog itt történni. Az x-ek és y-ok ugyanolyan kombinációja az elsőben 4-et eredményez, a másodikban pedig 16-ot. Ez egy kicsit furcsának tűnik. Úgy is gondolkodhatunk, hogy ugyanannyi x és ugyanannyi y van, de a jobb oldalon különböző számokat kapunk. Tehát ha egyszerűsítenénk ezt – akár meg is nézhetnénk a segítséget, hogy lássuk, mit írnak –, látnánk, hogy végül ugyanannyi lesz a meredekség, de különbözők lesznek az y tengelymetszetek. Tehát mindkettőt átalakítjuk meredekség-tengelymetszet alakba, és látod, hogy az egyik, a kék y = 5x - 2 lesz, a zöld pedig y = 5x - 8. Ugyanaz a meredekség, ugyanaz az arány az x és y együtthatói között, de ezek az értékek különbözők, az y tengelymetszetek különbözők. Tehát itt nincs megoldás. Ez ez az eset itt, ha ábrázolnád. Nincs megoldás, ellenőrizzük! Menjünk a következő kérdésre! Nézzük meg ezt itt! Itt -5x és -1y van, itt pedig 4x és 1y. Úgy látszik, hogy az arány – ha megnézzük, az x-ek és az y-ok mindkettőnél a bal oldalon vannak –, úgy látszik, hogy az x és y együtthatóinak az aránya különböző. Itt 5x jut minden y-ra, vagyis -5x jut minden -y-ra, itt pedig 4x jut minden y-ra, tehát ez alapvetően különböző arány. Szóval rögtön az elején mondhatnád, hogy ezek pontosan egy helyen fogják metszeni egymást. Ha átírnád meredekség-tengelymetszet alakba, látnád, hogy különböző a meredekségük. Tehát azt mondhatod, hogy ennek egy megoldása van, és ellenőrizheted a választ. És megnézheted a megoldást, csak megerősítésnek. Javaslom, hogy nézd meg. Tehát látod, hogy a kék – ha meredekség-tengelymetszet alakra hozod – y = -5x +10, és ha a zöldet meredekség-tengelymetszet alakra hozod, akkor y = -4x - 8 lesz. Tehát a meredekségek különbözők, biztos, hogy pontosan egy helyen metszik egymást, egy megoldás lesz. Próbáljunk meg még egyet! 2x + y = -3, és ez eléggé egyértelmű, 2x + y = -3, teljesen ugyanaz a két egyenlet. Tehát ez konzisztens információ, kétségkívül van megoldás, de végtelen sok megoldás van. Ez egy függő egyenletrendszer, végtelen sok megoldása van. Ellenőrizhetjük a választ. Csináljunk meg még egyet, mert ez egy kicsit túl könnyű volt. Oké, ez érdekes, a két egyenlet különböző alakú. 2x + y = -4, y = -2x - 4. Vegyük ezt az első, kék egyenletet, és hozzuk meredekség-tengelymetszet alakra! Ha megcsinálnánk, azt kapnánk... ha egyszerűen kivonunk 2x-et mindkét oldalból, azt kapjuk, hogy y = -2x - 4, ami pontosan ugyanaz, mint ez az egyenlet. Ismét ugyanaz a két egyenlet. Végtelen sok megoldás van. Ellenőrizd a választ, és itt láthatod a megoldást. A kéket átalakítod meredekség-tengelymetszet alakba, és pontosan ugyanazt kapod, mint a zöld egyenlet.