Az 1 és a -1 hatványai

Vizsgáljuk meg az egy és a mínusz egy hatványait! Vegyük az egyet, és emeljük a nyolcadik hatványra! Már láttuk, hogy két módja van ennek. Tekinthetsz erre úgy, hogy veszel nyolc egyest, majd összeszorzod őket. Csináljuk is meg! Van egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc egyesünk, majd ezeket összeszorozzuk egymással. Ha megtennénk, azt kapnánk, hogy egyszer egy, az egy, szorozva eggyel – nem számít, hogy hányszor szorzod meg az egyet eggyel, mindig egyet fogsz kapni. Gondold végig! Összeszoroztunk nyolc egyest. Még akkor is, ha nyolcvan egyesünk lenne, vagy 800, vagy 8 millió, ha összeszoroznánk őket, az még mindig eggyel lenne egyenlő. Az egy bármely kitevőre emelve pontosan egyenlő lesz eggyel. Megkérdezhetnéd, mi a helyzet az egy nulladik hatványával? Már megbeszéltük, hogy bármi a nulladik hatványon, kivéve a nullát – habár ez vita tárgya –, de bármi a nulladik hatványon egyenlő lesz eggyel. Csak egy kis szemléltetésként, tekinthetsz erre a másik definíció szerint is, ami az, hogy kezdünk egy egyessel, és ez a szám megmutatja, hogy hányszor kell megszorozni ezt az egyest ezzel a számmal. Ha az egyet nullaszor szorozzuk meg eggyel, az egy lesz. Egy kicsit érthetőbb volt ez, amikor azt mondtuk, hogy kettő, mondjuk a negyedik hatványon, egyenlő – ez volt a másik definíciónk a hatványozásra, amelyiknél kezdtünk egy egyessel, és utána megszoroztuk kettővel négyszer. Egyszer kettőször kettőször kettőször kettő, ami egyenlő 16-tal. Ha itt egy egyessel kezdünk és megszorozzuk eggyel nullaszor, még mindig egyet fogunk kapni. Emiatt a nullán kívül bármely szám nulladik hatványa egyenlő lesz eggyel. Most nézzünk meg más érdekes eshetőségeket! Próbáljuk ki ezt a definíciót pár negatív számmal! Vegyük a mínusz egyet! Először emeljük a nulladik hatványra! Ezen definíció alapján itt ismét úgy lesz, hogy egy egyessel fogunk kezdeni, majd megszorozzuk ezzel a számmal nullaszor. Azaz, egyszer sem. Így egyet fogunk kapni. Nézzük ismét a mínusz egyet! Emeljük a mínusz egyet az első hatványra! Bármi az első hatványon... én ehhez szeretem inkább ezt a definíciót választani, ellentétben ezzel. Ha megpróbálnánk összeegyeztetni a két definíciót, azaz ha ezen definíció alapján akarnánk felírni ezt itt, akkor azt mondanánk, hogy kezdjünk egy egyessel, és utána szorozzuk meg eggyel nyolcszor. Itt még továbbra is egyet kapnánk. Most csináljuk meg ezt mínusz eggyel! Egy egyessel fogunk kezdeni, majd megszorozzuk mínusz eggyel egyszer – egyszer mínusz egy pedig természetesen egyenlő lesz mínusz eggyel. Most vegyük a mínusz egyet, és emeljük a második hatványra! Gyakran úgy mondjuk, hogy négyzetre emelünk, amikor valamit a második hatványra emelünk. Mínusz egy a második hatványon. Kezdhetünk egy egyessel, majd megszorozzuk mínusz eggyel kétszer. Mennyivel lesz ez egyenlő? Még egyszer, a régi definíciónk alapján mondhatnánk, hogy hagyjuk figyelmen kívül ezt az egyest, mivel ez nem fogja megváltoztatni az értékét, és hogy csak vegyük a két mínusz egyest és szorozzuk össze őket. Mínusz egyszer mínusz egy, az egy. Úgy gondolom, már látod is a kirajzolódó szabályszerűséget. Emeljük most a mínusz egyet a harmadik hatványra! Mennyivel lesz ez egyenlő? Ezen definíció alapján, egy egyessel kezdünk, majd megszorozzuk mínusz eggyel háromszor, mínusz egyszer mínusz egyszer mínusz egy. Veheted ezt egyszerűen úgy is, mintha lenne három mínusz egyesed és összeszoroznád őket, mivel ez az egyes nem változtat az értéken. Ez egyenlő lesz azzal, hogy mínusz egyszer mínusz egy, ami plusz egy, és a plusz egyszer mínusz egy, az mínusz egy. Láthatod a szabályosságot. Mínusz egy a nulladik hatványon az egy. Mínusz egy az elsőn az mínusz egy. Utána megszorozzuk mínusz eggyel, és plusz egyet fogunk kapni. Utána megszorozzuk mínusz eggyel, és ismét mínusz egyet kapunk. A szabályszerűség, amit itt felfedezhetünk, az az, hogy ha a mínusz egyet páratlan számú hatványra emeljük, akkor mínusz egyet fogunk kapni. Ha páros számú hatványra emeljük, akkor egyet fogunk kapni, mivel mínusz szorozva mínusszal az plusz lesz. Páros számú negatív szám lesz a szorzásban, így mindig az lesz, hogy mínusz szorozva mínusszal. Emiatt ez pozitív lesz. A páros kitevő miatt ez itt plusz egy lesz. Nézzünk is meg még egyet! Ha a mínusz egyet a negyedikre emeljük, kezdhetünk egy egyessel, majd megszorozzuk mínusz eggyel négyszer, mínusz egyszer mínusz egyszer mínusz egyszer mínusz egy, ami egyenlő lesz plusz eggyel. Ha valaki megkérne – hogy emeld az egyet az 1 milliomodik hatványra, akkor rögtön tudod, hogy az egyenlő lesz eggyel. Ha valaki azt mondja, hogy vedd a mínusz egyet és azt emeld az 1 milliomodik hatványra, akkor, mivel az 1 millió az páros szám, ez továbbra is egyenlő lesz plusz eggyel. Ha a mínusz egyet a 999 999. hatványra emeled, akkor, mivel ez páratlan szám, ez egyenlő lesz mínusz eggyel.