If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:9:40

A műveleti sorrend – bevezetés

Videóátirat

Ebben a videóban a matematikai műveletek sorrendjéről beszélek majd. Szeretném ha nagyon figyelnél, mert MINDEN matematikai probléma megoldásának az alapja, hogy nagyon jól kell ismerni a műveletek elvégzésének a sorrendjét. Miről is van szó, amikor a műveletek sorrendjéről beszélünk? Hadd mutassak egy példát. A lényeg, hogy egyféle módon értelmezzük a matematikai kifejezéseket. Mondjuk, hogy van egy kifejezésem: hét... hét, meg három, szorozva öttel. Ha nem állapodunk meg a műveletek sorrendjéről, akkor kétféle módon értelmezhetjük ezt a kifejezést. Egyszerűen olvashatjuk balról jobbra. Mondhatod, hogy "hét, meg három" "hét, meg három, aztán megszorozzuk öttel". Hét, meg három, az tíz. Aztán azt megszorozzuk öttel. Tízszer öt, ötvenet kapunk. Ez egy lehetséges értelmezés, ha nem állapodunk meg előre a műveletek sorrendjéről - ez természetes lenne, ha csak balról jobbra olvasva hajtanánk végre a műveleteket. Egy másik mód az, ha azt mondod: "ó, én előbb a szorzást szeretném megcsinálni, az összeadás előtt". Így is lehet értelmezni - megpróbálom színessel - hét meg... előbb azonban a háromszor ötöt csinálod meg, hét, meg három szorozva öttel, ami - háromszor öt, az tizenöt - hét, meg tizenöt, az huszonkettő. A kétféle módon is lehet értelmezni a kifejezést. Ez volt a balról jobbra, először az összeadás, aztán a szorzás. Ennél előbb a szorzást, végeztük el, utána az összeadást. Két eltérő eredményt kaptunk. Ez nem akkora királyság a matematikában. Ha ez egy olyan feladatnak a része lenne, hogy valamit a Holdra juttassunk, akkor ha két ember különböző módon értelmezné ezt, vagy az egyik számítógép így, a másik pedig amúgy számolná ki, akkor a küldemény lehet, hogy a Marson köt ki! Ez teljességgel elfogadhatatlan, ezért kell megegyezni a műveletek végrehajtási sorrendjéről, hogy egyformán értelmezzük ezt a kifejezést. A megegyezés szerint, először mindig a zárójelen belüli műveleteket hajtjuk végre. -- hadd írjam ide --- először a zárójeles kifejezések, aztán a hatványozás. Ha fogalmad sincs mi a hatványozás, ne aggódj, ebben a videóban nem fogunk hatványokat használni a példákban. Tényleg nem kell emiatt aggódnod. Aztán a szorzásokat csinálod -- rövidítve írom "szorz (mult)", szorzást jelent. A szorzás után a következő az osztás, egyébként ugyanolyan rendű művelet a kettő. És végül az összeadást és a kivonást csinálod. Mi a csuda az a műveletek sorredje? Hadd címkézzem meg ezt - ez itt, a műveletek egyezményes sorrendje és ha betartjuk ezt a sorrendiséget, akkor kifejezések megoldásakor mindig ugyanarra a végeredményre jutunk. Mit is mond ez itt nekünk? Hogyan kell értelmezni ezt itt fent? Mivel nincs zárójelünk - a zárójelek így néznek ki, ilyen kis görbe valamik a számok körül. Nincs zárójelünk itt - majd csinálok olyan példát is, ahol lesznek zárójelek. Nincs hatványozás sem, van viszont szorzásunk és osztásunk, helysebben csak szorzásunk van most. A műveleti sorrend azt mondja, hogy először a szorzást és osztást végezzük el. Ez itt azt mondja, hogy a szorzás csináljuk meg elsőként - ez egy szorzás. Ez meg itt azt, mondja, hogy a szorzást csináljuk elsőnek. Ez elsőbbséget élvez az összeadással és a kivonással szemben. Ha ezt csináljuk elsőnek, akkor háromszor öt, az tizenöt, és utána adjuk hozzá a hetet. Az összeadás vagy kivonás - inkább itt csinálom csak összeadásunk van - pont, mint ez. Először a szorzást végezzük el, kapunk tizenötöt, aztán hozzáadjuk a hetet... huszonkettő. A műveletek egyezményes sorrendje alapján, ez itt jobboldalt a jó válasz - a helyes módja a kifejezés értelmezésének ez. Csináljuk egy másik példát. Úgy gondolom, hogy ez majd még jobban tisztába teszi a dolgot. Rózsaszínnel írom a példát. Mondjuk, hogy a hét, meg három - zárójeleket rakok oda - szorozva néggyel, osztva kettővel, mínusz öt, szorozva hattal. Ez egy őrület itt nem? Viszont, ha követed a műveletek elvégzésének sorrendjét, egyszerűsítheted az egészet és mind a ketten, ugyanarra a végeredményre jutunk. Kövessük a műveletek elvégzésének a sorrendjét. Először zárójeleket keresünk. Van itt zárójel? Igen, ott vannak! Zárójelek között van a hét, meg három. Ez azt mondja: "csináljuk meg ezt először". Hét, meg három, az tíz. Ezt egyszerűsíthetjük - vessünk csak egy pillantást a műveleti sorrendekre -, tízszer az ott mind. Gyorsan ide másolom ezt, hogy ne kelljen még egyszer leírnom. Ide másolom. Beillesztem. Egyszerűsítettük arra, hogy tíz, szorozva ezzel itt mind - a zárójeles részt csináltuk meg elsőnek. Aztán mi is következik? Már nincs zárójeles rész ebben a kifejezésben. Aztán a hatványozást kellene megcsinálni. Nem látok egyetlen egyet sem itt ha kíváncsi vagy hogyan néz ki a hatványozás, akkor az ilyesmi - egy hatvány ilyen lesz felírva - hét a négyzeten. - Ilyenkor ilyen kis számokat találsz jobbra fent. Mivel nincs hatványozás, ezért nem is kell emiatt aggódnunk. Aztán azt mondja, hogy a szorzásokat és osztásokat kell elvégezni. Hol is vannak? Van egy szorzásunk, osztásunk és egy szorzásunk megint. Na most, ha több műveleted is van, ami ugyanolyan rendű, a szorzás és az osztás például ilyen, akkor egyszerűen balról jobbra oldod meg őket. Ebben az eseten, először néggyel szorzol, és csak aztán osztod kettővel. Aztán a öt, szorozva hattal jön a kivonás előtt. Nézzük ez mennyi. Először ezt a szorzást végezzük el. Ezt a szorzást csináljuk meg először - ezzel egy időben ezt a szorzást is megcsinálhatnánk, nem változtatna a végeredményen, de most egyszerre csak egy műveletet csinálunk. A következő lépés, hogy megcsináljuk ezt a tízszer négyet. Tízszer négy, az negyven - tíz szorozva néggyel, az negyven. Azután a negyvenet osztjuk el kettővel - megint idemásolom, hogy ne kelljen leírnom. Ezzel leegyszerűsítettük erre, itt. Emlékezz arra, hogy a szorzás és az osztás ugyanolyan rendű művelet - ezért balról jobbra végezzük el őket. Úgy is írhatnád, mint szorzás egy ketteddel és akkor teljesen mindegy a sorrend, de az egyszerűség kevéért szorzás és osztás, balról jobbra megy. Akkor a negyven osztva kettővel, mínusz öt, szorozva hattal. Az osztás - csak egy osztás van itt - ezt kell megcsinálni. Ez itt lesz.... Itt van egy osztásod és egy szorzásod, nincsenek egymás mellett, ezért elvégezheted a műveleteket egyszerre. Hogy világos legyen, ezt kell a kivonás előtt megcsinálni, mert a szorzás és osztás magasabb rendű, mint az összeadás és kivonás - zárójelet is tehetünk köréjük. Azt mondhatjuk, hogy ezt és ezt csináljuk meg, MIELŐTT a kivonást, mert a szorzás és osztás magasabb rendű. Na akkor, negyven osztva kettővel, az húsz. Itt van ez a kivonás jel - mínusz öt szorozva hattal, az harminc. Húsz, mínusz harminc, az mínusz tíz. Ez a helyes értelmezése ennek a kifejezésnek. Valamit nagyon-nagyon-nagyon világosan kell látni: ha ugyanolyan rendű műveleteid vannak - például egy, meg kettő, mínusz három, meg négy, mínusz egy - az összeadás és kivonás egyenrangú a műveleti sorrendek között - ezért balról jobbra kell haladnod. Így kell értelmezni, hogy egy, meg kettő az három. Ez ugyanaz, mint három, mínusz három, meg négy, mínusz egy. Aztán megcsinálod a három, mínusz hármat, az nulla, meg négy, mínusz egy. VAGY ugyanaz, mint a négy, mínusz egy, ami ugyanaz, mint ez itt - egyszerűen balról jobbra haladsz. Ugyanígy, ha szorzások és osztások vannak, azok is egyenrangúak. Ha ilyened van, hogy négy, szorozva kettővel, osztva hárommal, szorozva kettővel, akkor négy, szorozva kettővel, az nyolc, osztva hárommal, szorozva kettővel a nyolc osztva hárommal - az tört szám lesz - ez nyolc harmad. Nyolc harmad, szorozva kettővel. A nyolc harmad, szorozva kettővel, az egyenlő tizenhat harmaddal. ÍGY kell elvégezni - nem ezt a szorzást csinálod elsőnek, aztán osztod kettővel ezt, aztán ezeket itt. Amikor kicsit lazábban kezelheted a műveleti sorrendeket, ha CSAK összeadásod van, vagy CSAK szorzásod. Ha egy ilyened, hogy egy, meg öt, meg hét, meg három, meg kettő - akkor mindegy milyen sorrendben csinálod meg. Csinálhatod a kettő, meg hármat; csinálhatod jobbról balra; csinálhatod balról jobbra; kezdheted középről - ha CSAK összeadásod van - ugyanez igaz a CSAK szorzásokra - ha ez egy, szorozva öttel, szorozva héttel, szorozva hárommal, szorozva kettővel - akkor nem számít milyen sorrendben csinálod. Ez csak akkor igaz ha mind összeadás vagy mind szorzás. Ha van benne osztás, vagy kivonás, akkor jobban jársz, ha balról jobbra csinálod.