Az 1/4 és az 5/6 közös nevezői

Adott két tört: 1/4 és 5/6, olyan alakban akarjuk őket felírni, hogy a nevezőjük közös legyen, a számlálójuk pedig egész szám. Mely számokat választhatjuk közös nevezőnek? Itt vannak tehát a törtek: 1/4 és 5/6, és át akarjuk ezeket írni úgy, hogy új nevezőik legyenek. A mostani nevező a négy és a hat, vajon választhatunk-e bármit, mondjuk pl. az ötöt? Mondhatjuk-e azt, hogy változtassuk mindkettőnek a nevezőjét ötre? Hát nem. Ugyanis a négynek és a hatnak valamilyen többszörösét kell választanunk. Nézzük például a négynek a többszöröseit: négyszer egy az négy, négyszer kettő az nyolc, négyszer három az 12, és így tovább. Ezek a négynek a többszörösei. Álljunk most meg egy pillanatra és gondoljuk át, hogy miért kell a négynek és a hatnak valamelyik többszörösét választanunk, miért nem vehetünk csak egy bármilyen számot. Nézhetnénk bármelyiket, de nézzük most az 1/4-et. Itt egy ábra, amin negyedek vannak, és most úgy jelöljük az 1/4-et, hogy beszínezzük az egyiket a négy egyforma rész közül. Ez tehát az 1/4. És mondjuk most azt szeretném, hogy a számlálóban kettő legyen, ne egy, de hogy még mindig ugyanakkora részről legyen szó. Ahhoz, hogy a számláló kettő lehessen, ezt a negyedet fel kell osztanom két részre. Most van két beszínezett részem. Vajon mondhatom-e, hogy mivel ez az 1, 2, 3, 4, 5 részből kettő, ezért ez 2/5? Nem, ezt nem mondhatom, ez nem 2/5, mert ezek a részek nem mind egyformák. Ha ezt a negyedet elfelezem, akkor az összes többit is el kell feleznem, hogy egyforma részeket kapjak. És akkor így mi fog történni? Hát az, hogy megkétszerezem a részek számát. Most ebből is kettő rész lesz, ebből is kettő, és ebből is kettő. Most tehát ez egy, kettő rész az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 részből. Vagyis két nyolcad. És láthatod, hogy a nyolc többszöröse a négynek, mivel kettővel szoroztuk meg, és ugye pont ezt tettük itt: minden részből kettőt csináltunk, így kétszer annyi rész lett. A számlálót is megszoroztuk kettővel, mivel abból is kétszer annyi lett. Amikor az összes részt megdupláztuk, a beszínezett részeket is megdupláztuk. Na és nem csak megkétszerezhetünk, a négynek bármilyen többszörösét vehetjük. Rajzolok ide egy másikat. Megint beszínezem az 1/4-ét, egyet a négy rész közül. És most mondjuk azt, hogy ezt három egyforma méretű részre szeretnénk osztani. Ahhoz, hogy az új számlálónk három legyen, ezeknek ugye ugyanakkoráknak kell lenniük. Itt van tehát a három a számlálóban. De még nem írhatjuk fel a nevezőt, mert nincsenek meg hozzá az egyforma nagyságú részek. Ahhoz, hogy egyforma részeket kapjunk, mind a négy negyedet fel kell osztanunk három részre, és ezzel ugye megháromszorozzuk a részek számát. Most tehát lesz három beszínezett részünk, az összesen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12-ből. 12-ből. És persze rájöhettem volna anélkül is, hogy megszámolom, mivel tudtam, hogy megháromszoroztuk a részeket. Most ugye hárommal szoroztuk meg az eredeti nevezőt, és ezért a számlálót is megszoroztuk hárommal. A többszörösök tehát ezek: a 8, a 12 és így tovább, ezek azok a nevezők, amik közül választhatunk. És ahánnyal megszorozzuk a nevezőt, annyival szorozzuk meg a részek számát. És mégegyszer, hogy teljesen világos legyen: az 1/4, a 2/8 és a 3/12 mind ugyanannyit jelentenek, az eredeti 1/4, a 2/8 és a 3/12 értékek mind megegyeznek. Ugyanazt a mennyiséget fejezik ki, csak éppen különböző módon írjuk fel ugyanazt. Visszatérve az eredeti kérdésre, melyik számokat választhatjuk a négy és a hat közös nevezőjének? Tudjuk tehát, hogy valamelyik többszörösük lesz az, a négy esetében már meg is néztük ezeket, a négy első többszöröse négyszer egy, ami négy, a négy második többszöröse a nyolc, négyszer kettő az nyolc, félbevágtuk a negyedeket, és így nyolcadokat kaptunk. Aztán négyszer három az 12, ezt is láttuk, amikor minden negyedet felosztottunk három egyenlő részre. De mehetnénk tovább, négyszer négy az 16, négyszer öt az 20, négyszer hat az 24, és így tovább. Viszont a 24-nél meg is állok, méghozzá azért, mert látom, hogy itt, ezek közül a számok közül, amik közül választanom kell, a 24 a legnagyobb, így aztán nem kell törődnöm a további többszörösökkel. És akkor most csináljuk meg ugyanezt a hattal. Ha hat részünk van, és nem osztjuk fel őket további részekre, akkor marad hat részünk, hatszor egy az hat. Vagy megduplázhatjuk a hatot: hatszor kettő az 12, Vagy lehet hatszor három is, ami 18, vagy hatszor négy, ha a hatodokat négyfelé osztjuk, ami 24, és így huszonnegyedeket kapnánk. És így tovább, de megint megállok a 24-nél, mivel ez a legnagyobb szám a lehetséges megoldások között. Visszatérve a választási lehetőségekhez, melyik számokat választhatjuk közös nevezőnek? Jó lesz-e a nyolc? Nézzük meg itt a számsorokat. Nyolc többszöröse a négynek, a negyedeket nyilvánvalóan fel tudjuk osztani nyolcadokra, a nyolc viszont nem többszöröse a hatnak, a hatodokból nem tudunk nyolcadokat csinálni. A nyolc tehát nem lehet a két tört közös nevezője. Mi a helyzet a 12-vel? Látjuk, hogy 12 többszöröse a négynek, ezt már egyszer le is rajzoltuk, és a 12 a hatnak is többszöröse, fel tudjuk osztani a hatodokat két egyforma részre, és így tizenkettedeket kapunk. A 12 tehát jó lesz nevezőnek, lehet a negyednek és hatodnak közös nevezője. Nézzük a 18-at. 18 szerepel a hatodoknál, a hatodokat fel tudjuk osztani 18 részre, mert a 18 többszöröse a hatnak, viszont nem többszöröse a négynek. A 18-at tehát kizárhatjuk, ez nem lehet közös nevező. És a 24 volt az, amit mind a kettőnél legutoljára írtunk fel, és igen, a 24 lehet a nevezője a negyedeknek és a hatodoknak is. Tehát a 12 és a 24 is jó, és persze van még sok más szám is, ami jó lenne közös nevezőnek, de itt most ezeket adták meg. És ehhez azért még hozzátenném azt, hogy általában a legkisebb számot szoktuk közös nevezőként használni, ami a mi esetünkben a 12. És ez logikus is, mivel sokkal könnyebb kisebb számokkal műveleteket végezni. De ez nem jelenti azt, hogy muszáj mindig a legkisebb számot venni, nyugodtan lehet a 12-t vagy a 24-et, vagy nagyobb számot is. Így tehát arra a kérdésre, hogy ezek közül a számok közül melyikek lehetnek a negyedek és a hatodok közös nevezői, a válasz az, hogy a 12 és a 24.