Ha ezt az üzenetet látod, az annak a jele, hogy külső anyagok nem töltődnek be hibátlanul a honlapunkra.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Fő tartalom

Szorzótábla (2-9)

Bevezetés a szorzótáblába: a 2-estől a 9-esig. Készítette: Sal Khan.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Mostanra gondolom, már tudsz egy keveset arról, hogy mi is az, hogy szorzás – vagy máshogy kifejezve: az egyenlő tagok összeadása. Ebben a videóban jó sokat fogunk gyakorlolni, és elkezdjük megtanulni a szorzótáblát. Ha már elég Khan Academy videót láttál, és remélem, még többet fogsz nézni a jövőben, akkor tudod, hogy nem vagyunk híve a magolásnak, viszont ezeket a szorzótáblákat tényleg nagyon érdemes kívülről megtanulni, mert később óriási hasznát fogod venni az egész életed során. Ígérem, ha egyszer megjegyzed, soha nem fogod elfelejteni, és egész életedben... jó, nem akarok felelőtlenül ígérgetni, de az biztos, hogy nagyobb hasznát veszed majd, mint hogyha nem tanultad volna meg. Akkor nézzük, hogy mik is ezek a szorzótáblák. Lényegében ezek nem mások, mint a különböző számok, megszorozva egymással, vagy másként: valahányszor összeadva önmagukkal. Kezdjük egy kis ismétléssel. Ha azt kérdezem: mennyi egyszer kettő? Akkor az egyenlő kettővel, önmagában, egyszer. Nem kellett semmit semmivel összeadnom, mert csak egyszer vettem a kettőt. De a szorzás az megfordítva is igaz: ezért úgy is leírhatnám, hogy az egy, megszorozva kettővel, vagyis: egy meg egy. Az egy, kétszer összeadva önmagával. És ez is egyenlő kettővel. Egyszerű, nem? Egyszer kettő az kettő, kétszer egy az kettő. Ha láttad az előző videót, akkor azt is tudod már, hogy mennyi kétszer nulla? Az nulla. A nullás szorzótáblát nem is kell egyáltalán megtanulni, mert bármi szorozva nullával, az nulla. Akkor menjünk tovább, nézzük – mennyi kétszer kettő? Itt a kettőt kétszer fogjuk összeadni önmagával. Ez kettő meg kettő. Ezt csak egyféleképpen lehet csinálni. Mondhatnák azt, hogy ezt a kettest adom össze kétszer önmagával, de az teljesen ugyanez. Szóval, mennyi kettő meg kettő? Egyenlő néggyel. Akkor nézzük, mennyi háromszor kettő. Az egyenlő: kettő meg kettő meg kettővel. Vagy egyenlő: három meg hárommal, ahogy az előző videóban is láttad, ezt itt bármelyik alakban felírhatod. És bármelyik alakban írva, ez mennyivel egyenlő? Három meg három, vagy kettő meg kettő meg kettő az egyenlő hattal. Rendben. Nézzük mennyi négyszer kettő? Négyszer kettő az kettő meg kettő meg kettő meg kettő. Csak figyeld meg: ez ugyanaz, mint a háromszor kettő volt, az pedig már itt van, csak hozzá kell adnom még kettőt. Ha túl lusták vagyunk ezt itt összeadni, hogy kettő meg kettő meg kettő meg kettő, ehelyett mondhatjuk azt, hogy „Hé, azt már tudom, hogy ez itt mennyi, ez itt hat, az előző sorban ezt a műveletet végeztük el, ez itt hat, ezért a négyszer kettő az kettővel több, mint ez itt, tehát nyolc lesz!” Remélem, észrevettél ebben egy szabályszerűséget. Ahogy haladunk, az „egyszer kettő = kettő” -től a „kétszer kettő = négy” -en át a „háromszor kettő = hat” -ig, mi is történik? Mennyit adunk mindig hozzá? Kettőhöz hogy négy legyen kell adni kettőt. Négyhez hogy hat legyen, megint kettőt. Aztán a hathoz, hogy nyolc legyen, ismét kettőt, és már könnyen ki is találhatod, hogy mennyi lesz az ötször kettő, anélkül, hogy ötször összeadnád a ketteseket. Ötször kettő, az kettő meg kettő meg kettő meg kettő meg kettő, de úgy is leírhatom, hogy öt meg öt, (ezt az előző sorban is leírhattam volna, hogy négy meg négy), ez mennyi is lesz? Összeadhatnám ezeket itt egymással, vagy akár ezt a két ötöst, de azt is mondhatom, hogy ez itt pont kettővel több, mint a négyszer kettő, amiről tudjuk, hogy nyolc, szóval az ötször kettő az kettővel több, mint a négyszer kettő, nyolc meg kettő az tíz: az eredmény tíz lesz. Akkor elkészítem az egész kettes szorzótáblát. Remélem, már látod, milyen szabály alapján működik ez az egész. Akkor a hatszor kettő... az a kettő, összeadva önmagával hatszor. Kettő meg kettő, meg kettő, meg kettő, meg kettő, meg kettő. Ami egyébként ugyanaz, mint a hat meg hat. A hat összeadva önmagával kétszer. Ez összesen 12 lesz. Miért lesz 12? Mert a hatszor kettő ugyanaz, mint az ötször kettő, csak még hozzáadtunk kettőt. Ugyanúgy, ahogy eddig is láttuk. Tíz meg kettő, az tizenkettő. Haladjunk tovább. Akkor jön a hétszer kettő, egyenlő: a kettes, hétszer összeadva önmagával, egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, és ezt úgy is leírhatom, hogy hét meg hét, a hetes, kétszer összeadva önmagával, és ez 14 lesz, ami abból is következik, hogy a hatszor kettő az tizenkettő volt, és a hétszer kettő az kettővel lesz több, mint a hatszor kettő, 12+1 az 13, 12+2 az 14. Rendben, haladjunk tovább! Most jön a nyolcszor kettő. Megtehetném itt is, hogy leírom az összes kettest, ahogy itt a fölső sorokban csináltuk, de azt is mondhatom, hogy a nyolcszor kettő az kettővel több, mint a hétszer kettő: a hétszer kettő 14, tehát azt írom ide, 14+2. Hozzáadok ehhez itt kettőt: 14+2 az 16 lesz. Persze azt is írhatnám, hogy a nyolcszor kettő az nyolc meg nyolc, és a 8+8 az ugyanúgy 16. Persze kiírhattam volna ide az összes kettest, ahogy eddig, ha szeretnéd, te megteheted magadnak, gyakorlásképpen. Már majdnem végeztünk. Egyébként a végtelenségig folytathatnánk, mert nincsen „legnagyobb szám”: kétszer kilenc, kétszer tíz, kétszer száz, kétszer ezer, egymillió, de meg fogok állni inkább a 12-nél, mert ez az, ameddig az embernek érdemes a szorzótáblát megjegyezni. Ha még matekversenyeken is el akarsz indulni, akkor jegyezd meg húszig. Most akkor nézzük a kilencszer kettőt! Kilencszer kettő az kettővel lesz több, mint a nyolcszor kettő, kettővel több, mint 16 az 18. Ez persze ugyanaz, mint kilenc meg kilenc: az is 18. Nézzük a tízszer kettőt. A tizes szorzótáblák elég érdekesek: amikor majd több szorzótáblát is kitöltünk, észre fogjuk venni a szabályszerűséget. Szóval tízszer kettő az kettővel több, mint kilencszer kettő, 18 meg kettő az 20. 20, ami persze ugyanazt jelenti, mintha azt mondanám, hogy tíz meg tíz: tízszer kettő. Mi ebben az érdekes? Ez itt kicsit olyan, mintha a kettes után csak úgy odaírtunk volna egy nullát. És később látni fogod, hogy bármennyiszer tíz az tényleg csak annyi, hogy odaírunk mellé egy nullát jobbra. Érdemes elgondolkodni rajta, hogy miért van ez így. Hiszen ezt a számot itt úgy is tekinthetjük, hogy két tizes: ami ugyanúgy 20. Már majdnem megvagyunk. Most akkor nézzük, mennyi a tizenegyszer kettő? Tizenegyszer kettő az kettővel több, mint a tízszer kettő, 20 meg kettő az 22. Itt is látunk valami érdekeset: ez a kettes itt kétszer ismétlődik egymás után, ez is egy olyan szabályszerűség, amit később, a többi szorzótáblán is meg tudunk majd figyelni. És végül – hát persze nem teljesen végül, mert folytathatnánk a végtelenségig – a tizenkettőször kettő az kettővel lesz több, mint a tizenegyszer kettő, 22 meg kettő az 24, és ezt persze úgy is írhattam volna, hogy 12 meg 12: az is 24. Ez volt a kettes szorzótábla. És biztos vagyok benne, hogy láttad a szabályszerűséget, mindig, amikor eggyel előre haladtunk a szorzótáblán, kettővel nagyobb számot láttunk végeredményként. Az egyszer kettő kettő volt, a kétszer kettő az négy, ami kettő meg kettő, a háromszor kettő az hat volt, ami kettővel több, mint a kétszer kettő, és így tovább. Mindig kettővel növekedett a végeredmény, ahogy haladtunk előre a szorzótáblán. Na most, hogy láttuk ezeket az öszefüggéseket, elkészítek egy nagy szorzótáblát. azt fogom csinálni, hogy leírom az összes számot, ami csak kifér ide. Nézzük. Egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc, kilencig kényelmesen kifér, és akkor ebbe az irányba is kilencet írok fel, és itt is, egy, kettő, három, négy, öt, hat, hét, nyolc és kilenc. Kezdjük is az egyes szorzótáblával. Egyszer egy az egy. Egyszer kettő – az kettő. Egyszer három az három, itt ez a szabályszerűség: minden szám, amit itt látok fölül, egyszer, önmagában, az annyi lesz, amilyen számot itt látok. Szóval egyszer négy az négy, egyszer öt az öt, egyszer hat az hat, egyszer hét az hét, egyszer nyolc az nyolc, egyszer kilenc az kilenc: a kilenc egyszer, csak egyszer: az kilenc lesz. Jó, akkor nézzük a kettes szorzótáblát, de azt egy másik színnel, itt az egyest is átszínezem arra a színre, amit használtam. A kettest ezzel, nézzük: kétszer egy az kettő. Ez ugyanaz a szám, mint az egyszer kettő. Látod? Mennyi kétszer kettő? Négy. Kétszer három az hat. Nem sokkal ezelőtt csináltuk a kettes szorzótáblát, minden alkalommal, amikor eggyel nagyobb számot szorzok kettővel, csak hozzáadsz kettőt. Kétszer négy az nyolc, és ez ugyanaz, mint a négyszer kettő, kétszer öt az tíz, kétszer hat az 12, minden alkalommal csak hozzáadok kettőt, kétszer hét az 14, kétszer nyolc: 16, kétszer kilenc: 18. Jöhet a hármas szorzótábla. Sárgával. Háromszor egy az három – és vedd észre: hogy háromszor egy az ugyanannyi, mint egyszer három – az is három. Háromszor kettő az hat: ami megegyezik kétszer hárommal. Logikus, nem? Három meg három az ugyanannyi, mint kettő meg kettő, meg kettő. Ami szintén hat. Itt ebben a sorban mindig hárommal lesz több a következő szám. Érthető a szabályszerűség, nem? Háromszor három az kilenc, mert ez három meg három meg három. Háromszor négy pedig 12, mert az hárommal több, mint kilenc. Minden alkalommal csak hozzáadok hármat. Háromszor öt az 15, tizenöt meg három az 18, háromszor hat az 18, 18 meg három az 21, 21 meg három az 24, és 24 meg három az 27. Háromszor kilenc az 27. Háromszor nyolc az 24, de ha azt mondod, hogy nyolc meg nyolc meg nyolc vagyis háromszor nyolc, az ugyanúgy 24. Ennyiből már biztos megértetted a szabályszerűséget. Én most az egészet fel fogom egy kicsit pörgetni, most, hogy már látjuk a szabályt, viszont azt ajánlom neked, hogy önállóan is készítsd el ezt a szorzótáblát 12-ig, mindkét irányban, és ha elkészítetted, akkor tanuld is meg az egészet. Na, nézzük is. Négyszer egy az négy. Négyszer kettő az nyolc, itt mindig négyesével fogunk menni, mindig négyet adok hozzá, nyolc meg négy az 12, 12 meg négy az 16, 16 meg négy az 20, 20 meg négy az 24. Nézd csak: négyszer hat az 24. 24 meg négy az 28, 28 meg négy az 32, és 32 meg négy az 36. OK. most jön az ötös szorzótábla. Ötször egy az öt, ötször kettő az tíz, tíz meg öt az 15. Itt mindig ötöt adunk hozzá az előző számhoz, mindig eggyel többször adjuk hozzá az ötöt, és itt máris látni egy érdekességet: az ötös szorzótáblán minden második szám ötösre végződik, és minden köztes szám nullára. Attól függően, hogy páros vagy páratlan számot szoroztunk meg öttel, de a páros meg a páratlan számokról később még úgyis lesz szó. Haladjunk csak tovább! 15 meg öt az 20, 20 meg öt az 25, 25 meg öt az 30, 30 meg öt az 35, 35 meg öt az 40, és 40 meg öt az 45. Nézzük a hatos szorzótáblát is. Hatszor egy az hat, hat meg hat az 12, 12 meg hat az 18, meg hat az 24, meg hat az 30, meg hat az 36, 36 meg hat az 42, 42 meg hat az 48, és 48 meg hat az 54. Ez volt a hatos szorzótábla. Keresek egy új színt a heteshez. Hétszer egy az természetesen hét: itt mindig hetet fogunk hozzáadni. Hét meg hét az 14, 14 meg hét az 21, 21 meg hét az 28, 28 meg hét az mennyi? 28 meg kettő az 30, 30 meg öt az 35, tehát akkor 35 lesz. 35 meg hét az 42, 42 meg hét az 49, hétszer hét az 49, 49 meg hét az 56, és 56 meg hét az 63. Jön a nyolcas szorzótábla! Nyolcszor egy az nyolc, nyolcszor kettő az 16, nyolcszor három az 24. Mindig nyolcat adtam hozzá. És figyeld csak meg: nyolcszor három az 24, de háromszor nyolc – az is 24 volt. Ez a két szám ugyanaz: tulajdonképpen mindent kétszer csinálunk meg, két különböző irányból. 24 meg nyolc az 32, 32 meg nyolc az 40, 40 meg nyolc az 48 – mi ez a 48? A nyolcszor hat. És mennyi volt a hatszor nyolc? Itt van: ugyanez a 48. Nyolcszor hat az ugyanannyi, mint hatszor nyolc. 48 meg nyolc az 56, ezt is láttuk már: itt, 56 meg nyolc az 64, és 64 meg nyolc az 72. Ez volt a nyolcas szorzótábla, és már csak a kilences maradt. Kilencszer egy az kilenc, kilencszer kettő az kilenccel több, vagyis 18, kilencszer három az 27, igazából itt már csak olyan dolgokat írunk le, amit már máshol láttunk, hiszen a kilencszer három ugyanaz, mint a háromszor kilenc volt, ami szintén 27. 27 meg kilenc az 36, 36 meg kilenc az 45, és itt máris egy csomó érdekes szabályszerűséget észrevehetünk: egyrészt, amikor kilencet adok hozzá ezekhez a számokhoz, a második számjegy, ez itt, olyan mindig, mintha tizet adtam volna hozzá, csak eggyel mégis csökken. 18 meg tíz az 28 lenne, de ez csak 27. 27 meg tíz az 37 lenne, de ez eggyel kevesebb, ez 36, szóval végül is az a szabályszerűség, hogy a második számjegye ezeknek a számoknak az mindig eggyel csökken, nyolc, hét, hat, öt, az első számjegy viszont eggyel nő: egy, kettő, három, négy, és így tovább, és még egy érdekes szabályszerűség: hogyha összeadom a számjegyeket, mindig kilencet fogok kapni. Egy meg nyolc az kilenc, kettő meg hét az kilenc, és így tovább, ezekről majd a továbbiakban fogunk beszélni, és lehet, hogy be is bizonyítom nektek, hogy miért van így. 45 meg kilenc az 54, 54 meg kilenc az 63, 63 meg kilenc az 72, és 72 meg kilenc az 81. Nos, jó hosszú lett ez a videó, egyelőre annyit szeretnék, hogy mindezt, amit most fölírtam, megtanuld. Ennek a segítségével sokkal könnyebb lesz minden. A következő videóban folytatjuk a kilencnél nagyobb számok szorzótábláival.