Emeletes törtek

Nézzünk meg most néhány olyan algebrai kifejezést, amikben törteket kell szorozni. Mondjuk legyen az első az, hogy „a per b” szorozva „c per d”-vel. Ebből mi lesz? Hát, állítsd meg a videót, és próbáld meg először önállóan megoldani! Amikor törteket szorzunk, akkor egyszerűen csak összeszorozzuk a számlálókat, aztán összeszorozzuk a nevezőket. Számlálót számlálóval, nevezőt nevezővel szorzunk. A számlálók itt az „a” és „c”, és ha összeszorozzuk őket, akkor „a”-szor „c” lesz, amit írhatunk ac-nek is. Aztán osztva a nevezővel, ami „b”-szer „d” avagy bd. És mi lett volna akkor, ha a szorzás helyett osztanunk kellett volna egymással ezeket a törteket? Az lett volna mondjuk, hogy a/b osztva c/d-vel. Ez mi lenne? Megint csak, állítsd meg a videót, és próbáld meg egyedül megoldani! Ha törttel osztunk, az ugyanaz, mintha a tört reciprokával szoroznánk. Tehát ez megegyezik azzal, hogy a/b szorozva ennek a törtnek a reciprokával, vagyis d/c-vel. Ugyanazokat a színeket használom, nehogy összezavarjalak. És az egészből egy jóval könnyebb feladat lesz így. Mi lesz ez végül? A számláló „a-szor d” lesz, osztva „b-szer c” -vel. Most hogy ezekkel megvagyunk, csináljunk egy kicsit bonyolultabbat! Nézzük, megbirkózol-e vele. Mondjuk, legyen az, hogy 1/a mínusz 1/b, ez az egész osztva c-vel, és még az egészet elosztjuk 1/d-vel is. Ez egy bonyolultabb kifejezés, mint amikkel eddig találkoztunk, de szerintem már a kezünkben van minden szükséges tudás, úgyhogy állítsd meg a videót, és próbáld meg ezt is először egyedül. Úgy csináld, hogy végül egyetlen tört álljon itt. Nézzük is meg akkor együtt lépésenként! 1/a mínusz 1/b, először csak ezzel számlálóval fogunk foglalkozni. Itt ugye kivonásról van szó, ahhoz pedig meg kell találnunk a közös nevezőt. Felírom ide. 1/a mínusz 1/b. Hogy közös nevezőre hozzuk, ezt az 1/a-t megszorozhatjuk b/b-vel, és így az lesz belőle, hogy b/ba. És figyeld meg, hogy nem változtattam meg a tört értékét, csak megszoroztam b/b-vel, ami valójában csak 1. Ezt a -1/b-t pedig a/a-val fogom megszorozni, ugye ez megintcsak nem változtat a tört értékén, és így az lesz belőle, hogy mínusz a/ab, de írom inkább ba-nak. Igazából mindegy lett volna a sorrend, de talán így könnyebb látni, hogy sikerült közös nevezőre hoznunk őket. Úgyhogy ebből itt az lesz, hogy (b-a) osztva ab-vel – írhattam volna ba-t is, de nem számít. Tehát ez a számláló itt, ez egyenlő (b-a)/ab-vel. És folytassuk is tovább! Ha ezt még elosztjuk c-vel, az ugyanaz, mintha a c reciprokával, azaz 1/c-vel szoroznánk. A c reciproka az 1/c. Aztán pedig, még 1/d-vel kell osztanunk. De látod, ez ugyanolyan osztás, mint ez itt: itt ugye c-vel kellett osztanunk, és ezért a c reciprokával szoroztunk. Ha pedig 1/d-vel osztunk, az ugyanaz, mintha az 1/d reciprokával szoroznánk. Az 1/d reciproka pedig d/1. Szóval akkor mi lesz ebből az egészből? A számlálóban lenne (b-a)-szor 1-szer d. Ezt pedig írhatjuk simán d ⋅ (b-a)-nak: d(b-a). A nevező pedig a-szor b-szer c. És végül felbonthatjuk a zárójelet, és d-vel megszorozhatjuk a tagokat, így pedig ebből az lesz, – és itt megérdemelnénk némi dobpergést–, hogy„d-szer b” mínusz „d-szer a” és az egész osztva a-szor b-szer c-vel. És készen vagyunk.