Fő tartalom
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 1. témakör
10. lecke: A kör kerülete és területeSugár, átmérő, kerület és a π
Tanuld meg, hogyan tudjuk a pí szám segítségével egymáshoz viszonyítani a kör sugarát, átmérőjét és kerületét! Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
A kör az egyik legalapvetőbb alakzat az univerzumunkban. Akár a bolygók pályájának alakját, a kerekek formáját, vagy akár a molekuláris szintet nézzük, a kör megjelenik újra és újra és újra. Így érdemes megismernünk
néhány tulajdonságát. Az első dolog, amit talán mondhatunk róla, az az, hogy a kör azon pontok összessége, amelyek egyenlő távolságra vannak
a kör középpontjától. A körvonalon lévő pontok mindegyike
egyenlő távolságra van ettől a középponttól. Ezt a távolságot, a kör középpontja
és a körvonal pontjai között, a kör sugarának nevezzük. Ez itt a sugár, és kis r betűvel jelöljük. Ez egyszerűen a középpontól
a körvonalig tartó távolság. Ha az a sugár 3 centiméter, akkor
ez a sugár is 3 centiméter lesz, és ez a sugár is 3 centiméter lesz. Ez sosem változik egy körön belül. A definíciója szerint a kör azon pontok összessége, amelyek egyenlő távolságra vannak
a középponttól, és ez a távolság a sugár. A következő érdekes dolog,
ami az embernek eszébe juthat, az az, hogy mégis milyen széles egy kör? Mekkora a legnagyobb szélessége? Vagy mondhatnánk, hogy milyen hosszú
a leghosszabb szakasz, amit bele tudunk rajzolni a körbe? Ha mondjuk fel akarnánk vágni
a leghosszabb szakasz mentén, milyen hosszú lenne ez a vágás? És ennek nem muszáj itt lennie, felvághatnám mondjuk így is, itt is ugyanolyan széles lenne. De nem vághatom fel például így, mert ez már nem a
leghosszabb szakasz mentén lenne. Szóval több helyen is felvághatom, és ugyanúgy a leghosszabb szakaszt kapnám. Az előbb megismertük a sugarat, ami a kör középpontját köti össze a kör egy
tetszőleges pontjával, és most azt is látjuk, hogy a leghosszabb
szakasz keresztülmegy a középponton. Úgyhogy ez gyakorlatilag két sugár. Itt az egyik sugár, és itt a másik. Ezt a távolságot két legtávolabbi pont között
a kör átmérőjének nevezzük. Ez itt az átmérő, és kis d betűvel jelöljük. Úgyhogy ez itt a kör átmérője. Az átmérő és a sugár közötti kapcsolat könnyen megérthető: az átmérő hossza kétszerese a sugárnak.
Tehát az átmérő egyenlő kétszer a sugárral. Egy másik dolog, amire kíváncsi lehetsz, az
az, hogy milyen hosszú az út a kör mentén? Mondjuk, ha elővennél egy mérőszalagot,
és lefektetnéd pontosan a körvonal mentén, akkor mekkora lenne ez a hossz? Ezt a hosszt a kör kerületének nevezzük.
Ez itt a kerület, és nagy K-val jelöljük. Azt már tudjuk, hogy mi az összefüggés
az átmérő és a sugár között, de vajon mi a kapcsolat az átmérő
és a kerület között? Sokezer évvel ezelőtt az emberek fogták a
mérőszalagjukat, és megmérték vele
mindenféle kör kerületét és átmérőjét. Arra voltak kíváncsiak, hogy hogyan aránylik
a kör átmérője a kör kerületéhez. A mérőszalagjaik viszont
nem voltak túl pontosak. Megmérték egy kör kerületét, és azt látták
mondjuk, hogy az körülbelül 3 méter. Aztán lemérték a kör átmérőjét,
és azt mondták, hogy ez nagyjából 1 méter. A kettő arányára voltak kíváncsiak. A kerület átmérőhöz viszonyított arányára. Ez egész érdekes. Gondolták, lehetséges, hogy a kerület
mindig az átmérő háromszorosa. Persze eddig csak ezt az egy kört láttuk, de
mondjuk, utána megmértek egy másikat is. Mondjuk egy ilyet – ezt kisebbre rajzolom. Mondjuk, hogy ezt a kört is körbemérték, és
azt kapták, hogy a kerület kb. 6 centiméter. A mérőszalagjaik még mindig
pontatlanok voltak. Aztán megállapították, hogy az átmérő
körülbelül 2 centiméter. Ismételten, a kerület és az átmérő aránya nagyjából 3-ra jött ki. Lehetséges lenne, hogy a kerület és az
átmérő aránya állandó minden körre nézve? Ezt mélyebben akarták tanulmányozni, úgyhogy pontosabb mérőszalagokat szereztek. Amikor a mérőszalagjaik pontosabbak lettek, az egyik méréskor azt kapták,
hogy az átmérő pontosan 1. Az átmérő pontosan 1,
de amikor megmérték a kerületet, rájöttek, hogy az közelebb volt 3,1-hez. Ugyanez volt a helyzet ennél is. Azt kezdték észrevenni, hogy ez az arány is
közelebb volt 3,1-hez. Még jobban pontosítottak a mérőszalagokon,
és megkaptak egy számot: 3,14159... Egyre csak írták a számjegyeket,
és sosem értek el egy ismétlődő szakaszhoz. Egy nagyon rejtélyes szám volt ez,
ami mindig felbukkant valahol. Mivel a kör az univerzum egyik alapja,
emiatt ez a szám is egy alapvető szám. És mivel ez a szám minden körnél megjelent,
a kerület és az átmérő arányaként, már majdnem hogy bűvös szám ez,
ezért adtak neki egy nevet. Elnevezték pí-nek – görög betűvel pedig így írjuk: π. Ez a betű jelképezi azt a számot, amely valószínűleg a legfigyelemreméltóbb szám az univerzumunkban. Először a kerület és az átmérő arányaként
jelenik meg, de a tanulmányaid során látni fogod,
hogy ez a szám mindenhol előfordul. Akárcsak a kör, a pí (π) is egyike
az univerzum alapvető dolgainak. De hogyan is tudjuk ezt használni
az alapfokú matematikában? Tehát tudjuk, hogy a kerület és az átmérő aránya, ami csak annyit jelent, hogy a kerület
osztva az átmérővel, az pí. A π egyszerűen ezt a számot jelenti itt. Írhatnám azt, hogy 3,14159...
és így tovább, de csak időpocsékolás lenne,
és nehezen kezelhető úgy a szám. Amúgy is, mivel a pí egy végtelen,
nem szakaszos tizedes tört, számokkal sosem tudnám
a pontos értékét kifejezni. Mindig csak kerekített értékekkel dolgozhatnék. A görög betű viszont a pí pontos értékét
fejezi ki, úgyhogy legtöbbször csak így szoktuk leírni ezt a számot. Nézzük meg, hogy milyen összefüggéseket
láthatunk itt! Megszorozhatjuk mindkét oldalt
az átmérővel, és mondhatjuk, hogy a kerület egyenlő az átmérőször π-vel,
azaz d-szer π-vel. Vagy, mivel az átmérő kétszerese
a sugárnak, mondhatjuk, hogy a kerület az 2-szer a sugár-szor π,
azaz 2rπ. Tehát a kör kerülete 2rπ. Próbáljuk meg ezt alkalmazni néhány feladatban! Tegyük fel, hogy van egy körünk, így. Itt a sugara – ez a sugár itt három.
Tehát a sugár egyenlő hárommal. Írjunk mellé valami mértékegységet is!
Legyen mondjuk 3 méter. A kérdés az, hogy mekkora a kör kerülete? A kerület egyenlő 2-szer a sugár-szor π-vel. Tehát ez 2-szer a sugár, ami most 3 méter,
szorozva π-vel. Ez egyenlő lesz 6・π, azaz 6π-vel,
vagy 6π méterrel Ezt ki is számolhatnám.
Jegyezd meg, a π csak egy szám! A π = 3,14159... és így tovább. Ne zavarjon meg a görög betű az eredményben. Egy gyors fejszámolás után láthatod, hogy ha megszoroznád 6-tal a 3,14159...-et, akkor kb. 18 egész valahány m lesz az eredmény.
Ha van számológéped, kiszámolhatod, de általában csak π-ben fejezzük ki
az eredményt, mert így egyszerűbb. Nincs nálam számológép, hogy pontosan megmondjam, de ehelyett a szám helyett írhatsz simán 6π-t.
Szerintem nem fogja meghaladni a 19-et. Itt egy másik kérdés:
Mekkora a kör átmérője? Hát, ha ez a sugár 3, akkor az átmérő
simán csak ennek a kétszerese. Azaz 2・3, avagy 3+3,
ami egyenlő 6 méterrel. Így a kerület 6π méter, az átmérő 6 méter,
a sugár pedig 3 méter. Most induljunk a másik irányból! Mondjuk van itt egy másik kör, és tudjuk, hogy ennek a kerülete egyenlő
10 méterrel, ennyi a kör kerülete. Ha fognál egy mérőszalagot, és
körbemérnéd vele a kört, akkor 10m lenne. Hogyan számolnád ki ebből a kör átmérőjét? Azt tudjuk, hogy az átmérőször π az egyenlő
a kerülettel. Ez egyenlő 10 méterrel. Ahhoz, hogy ezt megoldjuk,
csak simán elosztjuk mindkét oldalt π-vel. Az átmérő egyenlő 10 méter per π,
avagy 10/π méterrel. És ez megint egyszerűen csak egy szám. Ha van számológéped, eloszthatod a 10-et
3,14159-cel, és azt fogod kapni, hogy az eredmény az 3 egész valahány méter.
Nem tudom fejben kiszámolni, de ez csak egy szám. Az egyszerűség és a pontosság
kedvéért sokszor így szoktuk csak hagyni. Mi a helyzet a sugárral? Azt tudjuk, hogy a sugár az átmérő fele. Ugye ez a távolság itt 10/π méter,
az átmérő, és ha ennek csak a felét akarjuk venni ahhoz, hogy megkapjuk a sugarat, akkor csak meg kell szoroznunk 1/2-del. Azaz ez itt 1/2-szer 10/π lesz, vagy leegyszerűsítheted a számlálót
és a nevezőt is kettővel. Így ebből itt 5 lesz, azaz 5/π az eredmény. Ami azt jelenti, hogy ez a sugár itt 5/π méter. Nincs ebben semmi rendkívüli. Azt hiszem, a legnehezebb az egészben az,
hogy megértsük, hogy a π csak egy szám. A π egyszerűen csak 3,14159...és a többi,
és a többi. Számtalan könyvet írtak már a π-ről.
Egész könyveket csak erről az egy számról. De ez akkor is csak egy szám.
Egy nagyon különleges szám. És ha a szokásos formában akarod írni,
ahogy a számokat írod általában, akkor ezt ki is számolhatod. De mindig csak
egy kerekített értéket kaphatsz, mert a π egy végtelen, nem szakaszos tizedes
tört, így akár 3,14-gyel, akár 3,1415-tel, vagy 3,141592654-gyel számolsz, ezek
egyike sem a pontos értéke a π-nek. Ezért érdemes a π-t csak
görög betűként hagyni a számításokban. Akárhogy is, én ezzel búcsúzom. A következő videóban pedig
a kör területét fogjuk kiszámolni.