If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Videóátirat

A kör az egyik legalapvetőbb alakzat az univerzumunkban. Akár a bolygók pályájának alakját, a kerekek formáját, vagy akár a molekuláris szintet nézzük, a kör megjelenik újra és újra és újra. Így érdemes megismernünk néhány tulajdonságát. Az első dolog, amit talán mondhatunk róla, az az, hogy a kör azon pontok összessége, amelyek egyenlő távolságra vannak a kör középpontjától. A körvonalon lévő pontok mindegyike egyenlő távolságra van ettől a középponttól. Ezt a távolságot, a kör középpontja és a körvonal pontjai között, a kör sugarának nevezzük. Ez itt a sugár, és kis r betűvel jelöljük. Ez egyszerűen a középpontól a körvonalig tartó távolság. Ha az a sugár 3 centiméter, akkor ez a sugár is 3 centiméter lesz, és ez a sugár is 3 centiméter lesz. Ez sosem változik egy körön belül. A definíciója szerint a kör azon pontok összessége, amelyek egyenlő távolságra vannak a középponttól, és ez a távolság a sugár. A következő érdekes dolog, ami az embernek eszébe juthat, az az, hogy mégis milyen széles egy kör? Mekkora a legnagyobb szélessége? Vagy mondhatnánk, hogy milyen hosszú a leghosszabb szakasz, amit bele tudunk rajzolni a körbe? Ha mondjuk fel akarnánk vágni a leghosszabb szakasz mentén, milyen hosszú lenne ez a vágás? És ennek nem muszáj itt lennie, felvághatnám mondjuk így is, itt is ugyanolyan széles lenne. De nem vághatom fel például így, mert ez már nem a leghosszabb szakasz mentén lenne. Szóval több helyen is felvághatom, és ugyanúgy a leghosszabb szakaszt kapnám. Az előbb megismertük a sugarat, ami a kör középpontját köti össze a kör egy tetszőleges pontjával, és most azt is látjuk, hogy a leghosszabb szakasz keresztülmegy a középponton. Úgyhogy ez gyakorlatilag két sugár. Itt az egyik sugár, és itt a másik. Ezt a távolságot két legtávolabbi pont között a kör átmérőjének nevezzük. Ez itt az átmérő, és kis d betűvel jelöljük. Úgyhogy ez itt a kör átmérője. Az átmérő és a sugár közötti kapcsolat könnyen megérthető: az átmérő hossza kétszerese a sugárnak. Tehát az átmérő egyenlő kétszer a sugárral. Egy másik dolog, amire kíváncsi lehetsz, az az, hogy milyen hosszú az út a kör mentén? Mondjuk, ha elővennél egy mérőszalagot, és lefektetnéd pontosan a körvonal mentén, akkor mekkora lenne ez a hossz? Ezt a hosszt a kör kerületének nevezzük. Ez itt a kerület, és nagy K-val jelöljük. Azt már tudjuk, hogy mi az összefüggés az átmérő és a sugár között, de vajon mi a kapcsolat az átmérő és a kerület között? Sokezer évvel ezelőtt az emberek fogták a mérőszalagjukat, és megmérték vele mindenféle kör kerületét és átmérőjét. Arra voltak kíváncsiak, hogy hogyan aránylik a kör átmérője a kör kerületéhez. A mérőszalagjaik viszont nem voltak túl pontosak. Megmérték egy kör kerületét, és azt látták mondjuk, hogy az körülbelül 3 méter. Aztán lemérték a kör átmérőjét, és azt mondták, hogy ez nagyjából 1 méter. A kettő arányára voltak kíváncsiak. A kerület átmérőhöz viszonyított arányára. Ez egész érdekes. Gondolták, lehetséges, hogy a kerület mindig az átmérő háromszorosa. Persze eddig csak ezt az egy kört láttuk, de mondjuk, utána megmértek egy másikat is. Mondjuk egy ilyet – ezt kisebbre rajzolom. Mondjuk, hogy ezt a kört is körbemérték, és azt kapták, hogy a kerület kb. 6 centiméter. A mérőszalagjaik még mindig pontatlanok voltak. Aztán megállapították, hogy az átmérő körülbelül 2 centiméter. Ismételten, a kerület és az átmérő aránya nagyjából 3-ra jött ki. Lehetséges lenne, hogy a kerület és az átmérő aránya állandó minden körre nézve? Ezt mélyebben akarták tanulmányozni, úgyhogy pontosabb mérőszalagokat szereztek. Amikor a mérőszalagjaik pontosabbak lettek, az egyik méréskor azt kapták, hogy az átmérő pontosan 1. Az átmérő pontosan 1, de amikor megmérték a kerületet, rájöttek, hogy az közelebb volt 3,1-hez. Ugyanez volt a helyzet ennél is. Azt kezdték észrevenni, hogy ez az arány is közelebb volt 3,1-hez. Még jobban pontosítottak a mérőszalagokon, és megkaptak egy számot: 3,14159... Egyre csak írták a számjegyeket, és sosem értek el egy ismétlődő szakaszhoz. Egy nagyon rejtélyes szám volt ez, ami mindig felbukkant valahol. Mivel a kör az univerzum egyik alapja, emiatt ez a szám is egy alapvető szám. És mivel ez a szám minden körnél megjelent, a kerület és az átmérő arányaként, már majdnem hogy bűvös szám ez, ezért adtak neki egy nevet. Elnevezték pí-nek – görög betűvel pedig így írjuk: π. Ez a betű jelképezi azt a számot, amely valószínűleg a legfigyelemreméltóbb szám az univerzumunkban. Először a kerület és az átmérő arányaként jelenik meg, de a tanulmányaid során látni fogod, hogy ez a szám mindenhol előfordul. Akárcsak a kör, a pí (π) is egyike az univerzum alapvető dolgainak. De hogyan is tudjuk ezt használni az alapfokú matematikában? Tehát tudjuk, hogy a kerület és az átmérő aránya, ami csak annyit jelent, hogy a kerület osztva az átmérővel, az pí. A π egyszerűen ezt a számot jelenti itt. Írhatnám azt, hogy 3,14159... és így tovább, de csak időpocsékolás lenne, és nehezen kezelhető úgy a szám. Amúgy is, mivel a pí egy végtelen, nem szakaszos tizedes tört, számokkal sosem tudnám a pontos értékét kifejezni. Mindig csak kerekített értékekkel dolgozhatnék. A görög betű viszont a pí pontos értékét fejezi ki, úgyhogy legtöbbször csak így szoktuk leírni ezt a számot. Nézzük meg, hogy milyen összefüggéseket láthatunk itt! Megszorozhatjuk mindkét oldalt az átmérővel, és mondhatjuk, hogy a kerület egyenlő az átmérőször π-vel, azaz d-szer π-vel. Vagy, mivel az átmérő kétszerese a sugárnak, mondhatjuk, hogy a kerület az 2-szer a sugár-szor π, azaz 2rπ. Tehát a kör kerülete 2rπ. Próbáljuk meg ezt alkalmazni néhány feladatban! Tegyük fel, hogy van egy körünk, így. Itt a sugara – ez a sugár itt három. Tehát a sugár egyenlő hárommal. Írjunk mellé valami mértékegységet is! Legyen mondjuk 3 méter. A kérdés az, hogy mekkora a kör kerülete? A kerület egyenlő 2-szer a sugár-szor π-vel. Tehát ez 2-szer a sugár, ami most 3 méter, szorozva π-vel. Ez egyenlő lesz 6・π, azaz 6π-vel, vagy 6π méterrel Ezt ki is számolhatnám. Jegyezd meg, a π csak egy szám! A π = 3,14159... és így tovább. Ne zavarjon meg a görög betű az eredményben. Egy gyors fejszámolás után láthatod, hogy ha megszoroznád 6-tal a 3,14159...-et, akkor kb. 18 egész valahány m lesz az eredmény. Ha van számológéped, kiszámolhatod, de általában csak π-ben fejezzük ki az eredményt, mert így egyszerűbb. Nincs nálam számológép, hogy pontosan megmondjam, de ehelyett a szám helyett írhatsz simán 6π-t. Szerintem nem fogja meghaladni a 19-et. Itt egy másik kérdés: Mekkora a kör átmérője? Hát, ha ez a sugár 3, akkor az átmérő simán csak ennek a kétszerese. Azaz 2・3, avagy 3+3, ami egyenlő 6 méterrel. Így a kerület 6π méter, az átmérő 6 méter, a sugár pedig 3 méter. Most induljunk a másik irányból! Mondjuk van itt egy másik kör, és tudjuk, hogy ennek a kerülete egyenlő 10 méterrel, ennyi a kör kerülete. Ha fognál egy mérőszalagot, és körbemérnéd vele a kört, akkor 10m lenne. Hogyan számolnád ki ebből a kör átmérőjét? Azt tudjuk, hogy az átmérőször π az egyenlő a kerülettel. Ez egyenlő 10 méterrel. Ahhoz, hogy ezt megoldjuk, csak simán elosztjuk mindkét oldalt π-vel. Az átmérő egyenlő 10 méter per π, avagy 10/π méterrel. És ez megint egyszerűen csak egy szám. Ha van számológéped, eloszthatod a 10-et 3,14159-cel, és azt fogod kapni, hogy az eredmény az 3 egész valahány méter. Nem tudom fejben kiszámolni, de ez csak egy szám. Az egyszerűség és a pontosság kedvéért sokszor így szoktuk csak hagyni. Mi a helyzet a sugárral? Azt tudjuk, hogy a sugár az átmérő fele. Ugye ez a távolság itt 10/π méter, az átmérő, és ha ennek csak a felét akarjuk venni ahhoz, hogy megkapjuk a sugarat, akkor csak meg kell szoroznunk 1/2-del. Azaz ez itt 1/2-szer 10/π lesz, vagy leegyszerűsítheted a számlálót és a nevezőt is kettővel. Így ebből itt 5 lesz, azaz 5/π az eredmény. Ami azt jelenti, hogy ez a sugár itt 5/π méter. Nincs ebben semmi rendkívüli. Azt hiszem, a legnehezebb az egészben az, hogy megértsük, hogy a π csak egy szám. A π egyszerűen csak 3,14159...és a többi, és a többi. Számtalan könyvet írtak már a π-ről. Egész könyveket csak erről az egy számról. De ez akkor is csak egy szám. Egy nagyon különleges szám. És ha a szokásos formában akarod írni, ahogy a számokat írod általában, akkor ezt ki is számolhatod. De mindig csak egy kerekített értéket kaphatsz, mert a π egy végtelen, nem szakaszos tizedes tört, így akár 3,14-gyel, akár 3,1415-tel, vagy 3,141592654-gyel számolsz, ezek egyike sem a pontos értéke a π-nek. Ezért érdemes a π-t csak görög betűként hagyni a számításokban. Akárhogy is, én ezzel búcsúzom. A következő videóban pedig a kör területét fogjuk kiszámolni.