Fő tartalom
Az algebra alapjai
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 1. témakör
3. lecke: Hatványozás- Bevezetés a hatványozásba
- Hatványozás 1. példa
- Hatványozás 2. példa
- Számok négyzetre emelése
- Bevezetés a hatványozásba
- A nulladik és az első hatvány
- A nulla hatványai
- Hatványozás (az alapok)
- Az 1 és a -1 hatványai
- Hatványértékek összehasonlítása
- Tizedes törtek hatványozása
- A hatványozás
- Változót tartalmazó hatványok kiszámítása
- Változót tartalmazó hatványok
- Hatványozás: összefoglalás
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés
Az 1 és a -1 hatványai
A hatványérték előjelét a kitevő paritása alapján határozzuk meg. Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Vizsgáljuk meg az egy és a mínusz egy hatványait! Vegyük az egyet, és emeljük a nyolcadik hatványra! Már láttuk, hogy két módja van ennek. Tekinthetsz erre úgy, hogy
veszel nyolc egyest, majd összeszorzod őket. Csináljuk is meg! Van egy, kettő, három, négy, öt, hat,
hét, nyolc egyesünk, majd ezeket összeszorozzuk egymással. Ha megtennénk, azt kapnánk,
hogy egyszer egy, az egy, szorozva eggyel – nem számít, hogy hányszor szorzod meg az egyet eggyel, mindig egyet fogsz kapni. Gondold végig! Összeszoroztunk nyolc egyest. Még akkor is, ha nyolcvan egyesünk lenne, vagy 800, vagy 8 millió, ha összeszoroznánk őket, az még mindig eggyel lenne egyenlő. Az egy bármely kitevőre emelve
pontosan egyenlő lesz eggyel. Megkérdezhetnéd, mi a helyzet
az egy nulladik hatványával? Már megbeszéltük, hogy bármi
a nulladik hatványon, kivéve a nullát – habár ez vita tárgya –, de bármi a nulladik hatványon egyenlő lesz eggyel. Csak egy kis szemléltetésként, tekinthetsz erre a másik definíció szerint is, ami az, hogy kezdünk egy egyessel, és ez a szám megmutatja, hogy hányszor kell
megszorozni ezt az egyest ezzel a számmal. Ha az egyet nullaszor szorozzuk meg eggyel, az egy lesz. Egy kicsit érthetőbb volt ez,
amikor azt mondtuk, hogy kettő, mondjuk a negyedik hatványon, egyenlő – ez volt a másik definíciónk a hatványozásra, amelyiknél kezdtünk egy egyessel,
és utána megszoroztuk kettővel négyszer. Egyszer kettőször kettőször kettőször kettő, ami egyenlő 16-tal. Ha itt egy egyessel kezdünk és megszorozzuk eggyel nullaszor, még mindig egyet fogunk kapni. Emiatt a nullán kívül bármely szám
nulladik hatványa egyenlő lesz eggyel. Most nézzünk meg más érdekes eshetőségeket! Próbáljuk ki ezt a definíciót
pár negatív számmal! Vegyük a mínusz egyet! Először emeljük a nulladik hatványra! Ezen definíció alapján itt ismét úgy lesz, hogy egy egyessel fogunk kezdeni, majd megszorozzuk ezzel a számmal nullaszor. Azaz, egyszer sem. Így egyet fogunk kapni. Nézzük ismét a mínusz egyet! Emeljük a mínusz egyet az első hatványra! Bármi az első hatványon... én ehhez szeretem inkább ezt a definíciót választani, ellentétben ezzel. Ha megpróbálnánk összeegyeztetni a két definíciót, azaz ha ezen definíció alapján
akarnánk felírni ezt itt, akkor azt mondanánk, hogy
kezdjünk egy egyessel, és utána szorozzuk meg eggyel nyolcszor. Itt még továbbra is egyet kapnánk. Most csináljuk meg ezt mínusz eggyel! Egy egyessel fogunk kezdeni, majd megszorozzuk mínusz eggyel egyszer – egyszer mínusz egy pedig természetesen egyenlő lesz mínusz eggyel. Most vegyük a mínusz egyet, és emeljük a második hatványra! Gyakran úgy mondjuk, hogy négyzetre emelünk, amikor valamit a második hatványra emelünk. Mínusz egy a második hatványon. Kezdhetünk egy egyessel, majd
megszorozzuk mínusz eggyel kétszer. Mennyivel lesz ez egyenlő? Még egyszer, a régi definíciónk alapján mondhatnánk, hogy hagyjuk figyelmen kívül ezt az egyest, mivel ez nem fogja megváltoztatni az értékét, és hogy csak vegyük a két mínusz egyest
és szorozzuk össze őket. Mínusz egyszer mínusz egy, az egy. Úgy gondolom, már látod is a kirajzolódó szabályszerűséget. Emeljük most a mínusz egyet a harmadik hatványra! Mennyivel lesz ez egyenlő? Ezen definíció alapján, egy egyessel kezdünk, majd megszorozzuk mínusz eggyel háromszor, mínusz egyszer mínusz egyszer mínusz egy. Veheted ezt egyszerűen úgy is, mintha lenne három mínusz egyesed
és összeszoroznád őket, mivel ez az egyes nem változtat az értéken. Ez egyenlő lesz azzal, hogy
mínusz egyszer mínusz egy, ami plusz egy, és a plusz egyszer
mínusz egy, az mínusz egy. Láthatod a szabályosságot. Mínusz egy a nulladik hatványon az egy. Mínusz egy az elsőn az mínusz egy. Utána megszorozzuk mínusz eggyel, és plusz egyet fogunk kapni. Utána megszorozzuk mínusz eggyel,
és ismét mínusz egyet kapunk. A szabályszerűség, amit itt felfedezhetünk,
az az, hogy ha a mínusz egyet páratlan számú hatványra emeljük, akkor mínusz egyet fogunk kapni. Ha páros számú hatványra emeljük, akkor egyet fogunk kapni, mivel
mínusz szorozva mínusszal az plusz lesz. Páros számú negatív szám lesz a szorzásban, így mindig az lesz, hogy mínusz szorozva mínusszal. Emiatt ez pozitív lesz. A páros kitevő miatt ez itt plusz egy lesz. Nézzünk is meg még egyet! Ha a mínusz egyet a negyedikre emeljük, kezdhetünk egy egyessel, majd megszorozzuk mínusz eggyel négyszer, mínusz egyszer mínusz egyszer mínusz egyszer mínusz egy, ami egyenlő lesz plusz eggyel. Ha valaki megkérne – hogy emeld az egyet az 1 milliomodik hatványra, akkor rögtön tudod, hogy
az egyenlő lesz eggyel. Ha valaki azt mondja, hogy vedd a mínusz egyet és azt emeld az 1 milliomodik hatványra, akkor, mivel az 1 millió az páros szám, ez továbbra is egyenlő lesz plusz eggyel. Ha a mínusz egyet a 999 999. hatványra emeled, akkor, mivel ez páratlan szám, ez egyenlő lesz mínusz eggyel.