A nulladik és az első hatvány

Ebben a videóban a hatványkitevőt egy kicsit más oldalról szeretném megközelíteni, ami hasznos lesz különböző összefüggésekhez. Az előző videóban láttuk, hogy valamit egy kitevőre emelni azt jelenti, hogy a számot annyiszor szorozzuk össze önmagával, amennyi a kitevő. Ha itt a mínusz kettő, és ezt szeretném a harmadik hatványra emelni, az pontosan azt jelenti, hogy veszek három mínusz kettest, tehát mínusz kettő, mínusz kettő, mínusz kettő, és összeszorzom őket. Ez mennyi lesz? Nézzük! Mínusz kétszer mínusz kettő az plusz négy, és a plusz négyszer mínusz kettő, az mínusz nyolc. Ez tehát egyenlő lesz mínusz nyolccal. Ez itt, hogy összeszorozzuk a mínusz kettőt háromszor önmagával, egy teljesen jó módszer a kitevő értelmezésére. Egy másik módszer viszont az, hogy a kitevőre úgy tekintünk, mintha ez lenne annak a száma, ahányszor ezzel a számmal megszorozzuk az egyet. Vehetjük úgy, mintha ez egyenlő lenne – itt egy egyessel fogunk kezdeni, majd megszorozzuk az egyet mínusz kettővel, háromszor. Ez tehát egyszer mínusz kétszer mínusz kétszer mínusz kettő. Ez a kettő persze ugyanaz, itt csak vettük ezt, és egyszerűen megszoroztuk eggyel. Így még mindig mínusz nyolcat fogunk kapni. Szerintem ez a megközelítés hasznosabb ahhoz, hogy megértsük a kitevőre emelést, főleg, ha az első vagy a nulladik hatványra emelünk számokat. Gondolkozzunk el ezen egy kicsit! Mennyivel lesz egyenlő plusz kettő – ezen definíció alapján – a nulladik hatványon? Ahogy az előbb mondtuk, ez azt jelzi, hogy hányszor kell ezzel a számmal megszorozni az egyet. Ez pontosan azt mondja nekünk, hogy vegyük az egyet, és szorozzuk meg kettővel nulla alkalommal. Ha meg akarom szorozni kettővel nullaszor, azaz egyszer sem, az azt jelenti, hogy itt csak az egy maradt. Tehát kettő a nulladikon egyenlő lesz eggyel. És bármely más nemnulla szám nulladik hatványa is egyenlő eggyel ugyanezen logika alapján. Csinálni fogok majd még egy videót, ami még jobban fogja ezt szemléltetni. Lehet, hogy ez így nem tűnik annyira logikusnak, de arra épül, ahogy a kitevőket itt fent értelmeztük. Ez a logika akkor is megállja a helyét, ha elkezdünk azon gondolkodni, hogy mennyi a kettő első hatványa. Nézzük meg, hogyan működne a legutóbbi definíció a kettő az elsőn esetében! Mindig egy egyessel kezdünk, és megszorozzuk ezt kettővel, egyszer. Csak egyszer fogjuk megszorozni kettővel. Egyszer kettő, ami persze kettővel lesz egyenlő. Bármely szám az első hatványon egyenlő lesz önmagával. Utána elindulhatunk innen, és látni fogod, ahogy kirajzolódik a szabályszerűség. Ha azt kérdezzük, mennyi kettő a négyzeten, ezen definíció alapján egy egyessel kezdünk, és megszorozzuk azt kettővel, kétszer. Kétszer kettő egyenlő lesz néggyel. Ha a kettőt a harmadik hatványra emeljük, egy egyessel kezdünk, majd megszorozzuk kettővel háromszor. Tehát kétszer kétszer kettő. Így plusz nyolcat fogunk kapni. És valószínűleg látod itt már a szabályszerűséget. Ahogy a kettőt eggyel nagyobb kitevőre emeljük, mindig szorzunk mégegy kettessel. Figyeld meg: hogy eljussunk kettő a nulladikontól kettő az elsőnig, megszoroztuk az egyet kettővel. Aztán hogy eljussunk onnan, hogy kettő az elsőn, odáig, hogy kettő a másodikon, megszoroztuk ismét kettővel. A kitevő megadja, hogy hányszor fogjuk venni ezt a számot, és hányszor fogjuk vele megszorozni az egyet. Amikor aztán elindulunk kettő a négyzetentől kettő a harmadikonig, még egyszer megszorozzuk kettővel. És ez egy nagyon jó szemléltető módja lesz annak, hogy valami a nulladik hatványon miért egyenlő eggyel. Ugyanis ha visszafele haladnánk, ha mondjuk nem tudjuk mennyi kettő a nulladikon, és csak próbáljuk kitalálni ezen logika alapján, akkor ha elindulnánk kettő a harmadikontól kettő a másodikonig, akkor kettővel osztanánk. Nyolcról ugrunk négyre. Utána ismét osztunk kettővel, és kettő a másodikontól elérünk oda, hogy kettő az elsőn. Itt is úgy tűnik, hogy ismét kettővel kell osztanunk, hogy eljussunk a kettő a nulladikonig, És ha osztunk kettővel, az egyet adna eredményül.