Változót nem tartalmazó négyzetgyökös kifejezések egyszerűsítése

Ebben a videóban a gyökös kifejezések átírását és egyszerűbb alakra hozását fogjuk gyakorolni. Ez az első feladat, és ehhez hasonlóakat fogsz találni a Khan Academy oldalán is. A feladatunk az, hogy hozzuk egyszerűbb alakra a kifejezést azzal, hogy kiemeljük a négyzetszámokat a gyökjel alól, majd pedig összevonjuk a kifejezést. Ha a kifejezés nem hozható egyszerűbb alakra, akkor pedig hagyjuk változatlanul. Vágjunk is bele! Adott a mínusz négyzetgyök alatt a 40... mínusz négyzetgyök alatt a 40 plusz négyzetgyök alatt a 90. 40 osztható négyzetszámokkal? A 40 osztható néggyel, ami egy négyzetszám. Ebből így az lesz, hogy mínusz négyzetgyök alatt négyszer 10 plusz – ez a szám itt osztható kilenccel, ami egy négyzetszám, így négyzetgyök alatt kilencszer 10 lesz. 10 nem bontható tovább négyzetszámokra. Ha a 10-et prímtényezőkre bontanánk, akkor kétszer öt lenne, és ebből tudjuk, hogy a 10 nem tartalmaz négyzetszámokat. Folytathatjuk is tovább. Ez megegyezik mínusz gyök négy szorozva gyök tíz, plusz gyök kilenc szorozva gyök tízzel. A gyököt itt a pozitív négyzetgyökre értjük. Tehát mínusz pozitív négyzetgyök alatt a négy. Ez itt kettő. Ez pedig három. Ez egyenlő lesz mínusz kétszer négyzetgyök alatt a tíz, plusz háromszor négyzetgyök alatt a tízzel. Ha valamiből mínusz kettőm van, és három ugyanolyan valamit adok hozzá, akkor az mennyi lesz? Az egyszer négyzetgyök alatt a 10 lesz. Ez az utolsó lépés nem egészen egyértelmű, úgyhogy kicsit lassítok a tempón. Átírom inkább így. Háromszor gyök tíz mínusz kétszer gyök tíz. Valószínűleg így érthetőbb. Ha valamiből van három és kettőt elveszek belőle – azaz ha van három a gyök tízből, és elveszek belőle kettő gyök tízet, akkor egy gyök tízem marad. Egyszer négyzetgyök alatt a tíz marad. Ami egyszerűen négyzetgyök alatt a tíz. Kicsit más módon is megközelíthettük volna ezt, mondjuk úgy, hogy kiemeljük a négyzetgyök alatt a tizet. Ez a fordított disztributivitás. Ez négyzetgyök alatt a tíz szorozva háromból kettővel. Ez pedig egy. Marad a négyzetgyök alatt a tíz. Csináljunk meg még pár ilyet! Itt is ugyanaz a feladat, hogy alakítsuk át a kifejezést a négyzetszám tényezők kiemelésével a gyökjel alól, majd pedig vonjuk össze a kifejezést. Lényegében ugyanaz, mint az előző. Nézzük, mit tehetünk az ügy érdekében! Az egyik négyzetgyök alatt 1/2 van. Ez azért érdekes, mert van egy négyzetgyök alatt valami szorozva négyzetgyök alatt valami mással. Itt a négyzetgyök alatt a 180 van szorozva négyzetgyök alatt az 1/2-del. Ez ugyanannyi, mint négyzetgyök alatt 180-szor 1/2. Ez egy gyökvonási azonosság. Gyök alatt 'a' szorozva gyök alatt b-vel, az gyök alatt a-szor b. Ez tehát négyzetgyök alatt a 180 szorozva 1/2-del, ami négyzetgyök alatt 90 lesz. Ez pedig egyenlő gyök alatt kilencszer tízzel. Így alakítottuk át a gyök 90-et az előző feladatban is, azaz ez egyenlő lesz gyök alatt a kilenc szorozva gyök alatt a tízzel, ami egyenlő háromszor gyök alatt a tízzel. Háromszor gyök tíz. Nézzünk még egyet! Ahogy mindig javaslom, állítsd meg a videót, és próbáld meg magadtól megoldani, mielőtt megoldjuk együtt. Hozd egyszerűbb alakra a kifejezést, ugyanaz a feladat, mint az előző kettő. Nézzük! Ha egyszerűbb alakra szeretnénk hozni, akkor írhatjuk, hogy ez egyenlő négyzetgyök alatt... 64 szorozva kettővel az 128. És 64 egy négyzetszám, úgyhogy azt fogom írni, hogy 64-szer kettő osztva – 27 az kilencszer három, kilenc pedig egy négyzetszám, – így azt írom, hogy kilencszer három. Több oldalról is megközelíthetjük ezt a feladatot. Ez ugyanannyi, mint gyök alatt 64-szer kettő osztva gyök alatt kilencszer hárommal. Ez pedig megegyezik azzal, hogy gyök alatt a 64 szorozva gyök alatt a kettővel, amit osztunk a gyök alatt kilencszer gyök alatt hárommal. Ez pedig itt nyolc, ez pedig három. Nyolcszor gyök kettő osztva háromszor gyök hárommal. Ezt tovább alakíthatjuk még úgy, hogy négyzetgyök alatt a kettő osztva négyzetgyök alatt a hárommal, abból lehet négyzetgyök alatt a 2/3. Így lesz ez egyenlő nyolc harmad szorozva négyzetgyök alatt a 2/3-dal. Ezek mind lehetséges megoldások. Nézzük meg most, hogy eleget tettünk-e az előírtaknak: kihoztuk az összes négyzetszámot a gyökjel alól? Igen, és egyszerűbb alakra is hoztuk a kifejezést. A megoldás 8/3 szorozva négyzetgyök alatt 2/3-dal. Másféleképpen is kifejezhetnénk ezt, ami szintén jó lenne, de remélhetőleg így is érthető.