Változót tartalmazó négyzetgyökös kifejezések egyszerűsítése

Ebben a videóban szeretném egyszerűbb alakra hozni a 3⋅√(500⋅x³) kifejezést, figyelembe véve néhány hozzászólást, amit a YouTube-on kaptunk egy másik videónkról. Csak egy gyors áttekintés arról, hogy mit is csináltunk abban a videóban: Itt egy kicsit másként fogom csinálni, mint ahogy abban a videóban tettem, csak hogy érdekesebbé tegyem. Ott azt mondtuk, hogy ez ugyanaz, mint háromszor pozitív négyzetgyök alatt 500, háromszor négyzetgyök alatt 500, szorozva x a harmadikon négyzetgyökével. Mivel az 500 nem egy négyzetszám így átírjuk inkább úgy, hogy 100 szorozva öttel. Vagy még jobb, átírhatnánk úgy, hogy 10 a négyzeten szorozva öttel. 10 a négyzeten az ugyanaz, mint 100. Az első feléből így az lesz, hogy háromszor pozitív gyök alatt 10 négyzet, szorozva öttel, szorozva x²⋅x pozitív gyökével, ami persze ugyanaz, mint gyök alatt x a harmadikon. Ez a gyök itt tovább alakítható még úgy, - kezdünk ugye a hárommal - ez háromszor négyzetgyök alatt 10 a négyzeten, szorozva négyzetgyök alatt öt. Ha ennek a két szám szorzatának vesszük a négyzetgyökét, az ugyanaz, mintha vennénk az egyes tényezők négyzetgyökét, és utána szoroznánk őket össze. Ugyanezen az elven, a vége pedig az lesz, hogy szorozva, négyzetgyök alatt, azaz pozitív gyök alatt x négyzet, szorozva gyök alatt x. A pozitív gyöke a 10 a négyzetennek, az pedig 10. Azt mondtam a másik videóban, hogy a pozitív négyzetgyök alatt x négyzet értéke az az x abszolút értéke lesz. Ennek a négyzetgyöknek az értéke mindig egy nemnegatív szám. Ezután ha ezt mind egyszerűsíted, azt kapod, hogy háromszor 10, ami 30 – és itt megfordítom a sorrendet: ide fogom írni, hogy szorozva x abszolút értékével. Aztán pedig szorozva gyök alatt 5, másnéven ez az öt pozitív gyöke, szorozva az x négyzetgyökével. Ez egyenlő lesz négyzetgyök alatt 5x-szel. Valaminek a gyökét venni és megszorozni valami másnak a gyökével az ugyanaz, mint a kettő szorzatának a gyökét venni. Ez alapján itt ez gyök alatt 5x lesz. Így az egész kifejezésből pedig az lesz, hogy 30-szor abszolút érték x, szorozva négyzetgyök alatt 5x. Ezt kaptuk eredményül a másik videóban is, úgyhogy miért is nézzük meg ezt újra? Az érdekesség, amire itt rá szeretnék mutatni az az, hogyha úgy döntünk, hogy csak a valós számok halmazán belül akarunk dolgozni, akkor a kifejezés értelmezési tartományát le kell szűkítenünk azokra az x-ekre, amelyekre értelmezhető lesz a kifejezés a valós számok halmazán belül. Ehhez az kell, hogy x nagyobb vagy egyenlő legyen, mint nulla. És mindjárt mondom is, hogy miért. Írjuk le, amit az imént mondtunk! x eleme a valós számos halmazának, viszont kikötést teszünk, hogy x nagyobb vagy egyenlő, mint nulla. Ennek a kikötésnek pedig az az oka, hogy ha ide egy negatív számot helyettesítenénk be és köbre emelnénk, akkor egy negatív számot kapnánk a négyzetgyök alatt. Negatív számok négyzetgyökei viszont nem értelmezhetők a valós számok halmazán belül. Egy negatív szám négyzetgyökét kapnánk itt, amit nem értelmezünk, legalábbis nem a valós számok halmazán. És emiatt kell azt mondanunk, hogy x nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Ez elég sok részlet volt, úgyhogy dióhéjban ez ennyi: ha csak a valós számok halmazán belül akarunk dolgozni, akkor kikötést kell tennünk, hogy x nagyobb vagy egyenlő, mint nulla. Ha a komplex számok halmazán akarnánk dolgozni, azon belül már értelmezhető egy negatív szám a négyzetgyök alatt, és így az értelmezési tartományt nem kell leszűkítenünk. Mindennek annyi a lényege, hogy ezen kikötés miatt x nem lehet negatív szám. Emiatt pedig x abszolút értéke így is úgy is x lesz, és elhagyható az abszolútérték jel. Ez alapján a kifejezés felírható úgy, hogy 30x szorozva gyök alatt 5x-szel. Ha viszont olyan helyzetben vagy, hogy komplex számokkal foglalkozol – - és egyébként ha nem tudod, mi az a komplex szám, vagy képzetes szám, akkor ne aggódj - de ha esetleg azokkal foglakoznál, akkor meg kellene tartanod az abszolút érték jelet, mert akkor ez a kifejezés a negatíx x-ekre is értelmezhető lenne.