Különböző előjelű törtek összeadása

Végezzük el az összeadást! Mennyi lesz három egész egy nyolcad, plusz három negyed, plusz mínusz kettő egész egy hatod összege? Csináljuk meg először az első részét! Ez szerencsére elég egyértelműnek tűnik. Segítségnek ide rajzolok egy számegyenest. A három egész egy nyolcaddal fogunk kezdeni, de először bejelölöm a többi számot. Legyen itt a nulla! Itt pedig az egy, a kettő, a három és itt pedig a négy. Három egész egy nyolcad az nagyjából itt lesz a számegyenesen. Be is rajzolom ennek az abszolútértékét egy nyíllal. Ez a három egész egy nyolcad három egész egy nyolcad egységgel jobbra lesz a nullától. Azaz ennek a nyílnak a hosszát veheted három egész egy nyolcadnak. Amikor törtekkel dolgozom, főleg amikor különböző nevezőik vannak, én szeretem először a vegyes számokat visszaalakítani áltörtté. Az áltört annyit jelent, hogy a tört értéke egy, vagy annál nagyobb. Ez nem csak az összeadást és a kivonást, de még a szorzást és az osztást is egyszerűbbé teszi. Három egész egy nyolcad az ugyanaz lesz, mint nyolcszor három az 24, meg egy, az 25 nyolcad. Ez 25 nyolcad, ami ugyanaz, mint három egész egy nyolcad. Úgy is gondolkozhattunk volna, hogy a három az 24 nyolcad, ahhoz pedig egy nyolcadot hozzáadva 25 nyolcadot kapunk. Ez itt a kezdőpontunk. Ehhez kell majd hozzáadnunk három negyedet. Azaz még három negyeddel jobbra fogunk menni. Ez itt, ennek a hossza, amivel jobbra megyünk, az három negyed lesz. Ez plusz három negyed. Hová is kerülünk ezzel? Mind a két szám pozitív, úgyhogy egyszerűen csak össze kell őket adnunk. Ehhez pedig először közös nevezőre kell őket hoznunk. Ez itt 25 nyolcad. 25 nyolcad meg három negyed, szóval ehhez kell hozzáadnunk a 3/4-et. De mi lesz a közös nevezőjük? A közös nevező nyolc lesz, ami a legkisebb közös többszöröse a négynek és a nyolcnak. A három negyedből így itt valahány nyolcad lesz. Hogy a négyből a nevezőben nyolc legyen, kettővel kellett szoroznunk, úgyhogy a számlálóban a hármat ugyanúgy meg kell szoroznunk kettővel. Így pedig hatot kapunk. A három negyed ugyanaz, mint a hat nyolcad. Ha pedig van 25 nyolcadunk és 6 nyolcadot adunk még hozzá, az 25 meg hat, 31 nyolcad lesz. 31 nyolcad. Ez pedig logikus, hiszen a 32 nyolcad egyenlő lenne már néggyel, a négynél pedig picit kevesebbnek kell lennie a számegyenesünk alapján is. Ez a szám itt a 31 nyolcad. Ennek a nyílnak a hossza, ami a szám abszolút értékét jelképezi, az 31 nyolcad. Mi is lenne ez, ha vegyes törtként akarnánk felírni? Három egész és hét nyolcad lenne, ami valóban csak egy kicsit kevesebb, mint a 4. De áltörtként ez marad 31 nyolcad. 31 nyolcad. Ehhez akarjuk hozzáadni a mínusz kettő egész egy hatodot. Egy negatív számot akarunk hozzáadni. Hogy fog kinézni a mínusz kettő egész egy hatod a számegyenesen? Mínusz kettő egész egy hatod. Ki fogunk vonni, vagy mondhatjuk, hogy hozzá fogunk adni mínusz egyet, mínusz kettőt, és még mínusz egy hatodot. A mínusz kettő egész egy hatodot így rajzolhatjuk le. Valahogy így fog kinézni a mínusz kettő egész egy hatod. Mínusz kettő egész egy hatod. Csak hogy érthetőbb legyen, hogy mit jelent a nyíl hossza: ha a nyíl kezdőpontját a nullához tolnám, akkor a nyíl vége a mínusz két egész egy hatodig érne a számegyenesen. De mi nem a nullától kezdünk. Nekünk ehhez a 31 nyolcadhoz kell hozzáadnunk ezt a mínusz kettő egész egy hatodot, ami ugyanolyan, mintha kivonnánk plusz kettő egész egy hatodot. Így a nyíl kezdőpontja a 31 nyolcadnál lesz. Ha kettő egész egy hatodot megyünk innen balra, akkor az eredmény abszolútértéke valahogy így fog kinézni. És jobbra fog majd mutatni, mert pozitív lesz. Mivel a szám pozitív, így a nyíl hossza, ami a szám abszolútértéke, az maga a szám lesz. Nézzük, hogy hogyan számolhatnánk ki az eredményt! Ez a narancssárga érték itt, ami a feladatunk megoldása, egyszerűen csak a 31 nyolcad és a kettő egész egy hatod különbsége lesz. És ahogy a számegyenesen is látjuk, a különbség pozitív lesz. Fogjuk a 31 nyolcadot és ebből kivonjuk a kettő egész egy hatodot. A mínusz kettő egész egy hatod áltörtként pedig az lesz, hogy hatszor kettő az 12, meg egy, az 13, mínusz 13 hatod lesz. Hogy el tudjuk végezni a kivonást, közös nevezőre kell hoznunk ezeket, és úgy néz ki, hogy 24 lesz a közös nevező. Mi lesz a 31 nyolcadból? Hárommal kell szoroznunk a nevezőben, hogy a 8-ból 24-et kapjunk, úgyhogy a 31-et is hárommal kell megszoroznunk. Így 93-at kapunk. Aztán, hogy a hatból 24 legyen, néggyel kellett szoroznunk. Így a számlálóban is a 13-at néggyel kell szoroznunk. Négyszer 13. Négyszer tíz az 40, négyszer három az 12, szóval ez 52 lesz. Ez egyenlő lesz 93-ból 52 huszonnegyeddel. 93-ból 52. Háromból kettő az egy, kilencből öt az négy. Úgyhogy 41 lesz. Így ez, 41/24-ed és pozitív. Ezt a számegyenesre nézve is láthatjuk. Ez itt 41/24, ami kicsit kevesebb kell, hogy legyen a kettőnél. A kettő az 48/24 lenne. Ez lenne itt a 48/24, úgyhogy a számegyenesünk is helyesnek tűnik.