A Pitagorasz-tétel 2.

Beszéljünk most a matematika egyik leghíresebb tételéről, a Pitagorasz-tételről. Pitagorasz-tétel. Derékszögű háromszögekre vonatkozik. A derékszögű háromszög olyan háromszög, aminek van egy 90 fokos szöge. Ebben, amit ide rajzoltam, ez a 90 fokos szög. Ha nem láttál korábban 90 fokos szöget, úgy képzeld el, hogy ez az oldal egyenesen balról jobbra megy, ez pedig fentről lefelé. Ezek az oldalak merőlegesek, a közbezárt szög 90 fokos, vagyis derékszög. A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy ha van egy derékszögű háromszögünk – hadd írjam ezt le –, tehát ha derékszögű háromszögünk van, nem rossz-szögű, hanem derék-szögű háromszög [magyarul nem működő szóvicc] ami egy olyan háromszög, melynek van egy derékszöge, vagyis 90 fokos szöge, akkor az oldalak közti kapcsolat az alábbi. Tehát ez az oldal a, ez az oldal b, ez az oldal c. Jegyezd meg, hogy a c az, ami a 90 fokos szöggel szemközt van. Fontos nyomon követni, hogy melyik oldal melyik. A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha a négyzet plusz b négyzet egyenlő c négyzettel. Ezt a tétel tudjuk alkalmazni, ha ismerünk az oldalak közül kettőt, ekkor használhatjuk ezt a képletet arra, hogy kiszámítsuk a harmadik oldalt. Megmutatok még egy elnevezést. Ez a hosszú oldal, a derékszögű háromszögünk leghosszabb oldala, az, ami a derékszöggel szemközt van – ebben az esetben a c –, ez az átfogó. Egy nagyon különleges szó [angolul] egy nagyon egyszerű dologra. A derékszögű háromszög leghosszabb oldala, ami a 90 fokos szöggel szemközt van, az az átfogó. Most, hogy már ismerjük a Pitagorasz-tételt, kezdjük el használni! Hiszen egy dolog tudni valamit, de sokkal élvezetesebb használni. Tehát mondjuk, van egy derékszögű háromszögünk. Hadd rajzoljam meg egy kicsit szebben! Ez a derékszögű háromszög. Ez egy derékszögű háromszög. Ennek az oldalnak a hossza itt 9, ennek az oldalnak a hossza itt 7. Az a kérdésem, hogy mekkora ez az oldal? Nevezzük el ezt c-nek. A c ebben az esetben – ismét – az átfogó. Ez a leghosszabb oldal. Tehát a másik két oldal négyzetének összege egyenlő c négyzettel. A Pitagorasz-tétel szerint tehát 9 a négyzeten + 7 a négyzeten egyenlő c négyzettel. 9 a négyzeten az 81, plusz 7 a négyzeten az 49. 80 meg 40 az 120, és lesz még az 1 meg 9, ami még plusz tíz, tehát ez itt egyenlő 130-cal. Hadd írjam ezt le így! A bal oldal egyenlő 130-cal, ami egyenlő c négyzettel. Tehát mennyivel egyenlő c? Hadd írjam át ezt ide! c négyzet egyenlő 130, vagy mondhatjuk azt, hogy c egyenlő a 130 négyzetgyökével. Figyeld meg, csak a pozitív négyzetgyököt veszem itt, mert a c feltétlenül pozitív. Egy távolságról van szó, ezért nem lehet negatív a négyzetgyök. Tehát csak a pozitív négyzetgyököt vesszük itt. Ha szeretnénk egy kicsit egyszerűsíteni, tudjuk, hogy kell egyszerűsíteni a gyököt. 130 az 2-szer 65, ami 5-ször 13. Ezek mind prímek, tehát ez a lehető legegyszerűbb alak. c egyenlő négyzetgyök alatt 130. Csináljunk meg még egy ilyet! A Pitagorasz-tételt itt hagyom, hogy emlékeztessen, mivel foglalkozunk. Tehát mondjuk azt, hogy van egy derékszögű háromszögünk, ami így néz ki. Nézzük csak, mondjuk így néz ki. Ez itt fent a derékszög. Mondjuk hívjuk ezt az oldalt a-nak. Ennek az oldalnak a hossza 21, és ennek az oldalnak a hossza itt 35. Ahhoz, hogy kiszámítsuk a-t, lehet, hogy ösztönösen azt mondod, hogy 21 a négyzeten meg 35 a négyzeten egyenlő a négyzettel. De nézd csak, ebben az esetben a 35 az átfogó, a 35 a c, a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Tehát itt azt mondja a Pitagorasz-tétel, hogy a négyzet plusz a másik nem-leghosszabb oldal – a másik nem-átfogó – négyzete, vagyis 21 a négyzeten egyenlő 35 a négyzeten. Jól jegyezd meg, hogy ez a c négyzet, ez a c, amiről beszélünk, mindig a leghosszabb oldala lesz a derékszögű háromszögnek. Az az oldal, ami a derékszöggel szemben van. Ez az oldal, ami a derékszögünkkel szemben van. Tehát a a négyzeten plusz 21 a négyzeten egyenlő 35 a négyzeten. Mi is van itt? Tehát 21 a négyzeten – nagy a kísértés, hogy számológépet használjak, de nem fogok. Tehát 21-szer 21. 1-szer 21 az 21, 2-szer 21 az 42, ez itt 441. 35 a négyzeten. Ismét kísértést érzek, hogy számológépet használjak, de nem fogok. 35-ször 35. 5-ször 5 az 25, maradt a 2, 5-ször 3 az 15 meg 2 az 17, ide jön egy nulla, ez már nem kell, 3-ször 5 az 15. 3-szor 3 az 9, meg 1 az 10. Tehát ez 11 – hadd csináljam ebben a sorrendben – 5 meg 0 az 5, 7 meg 5 az 12, 1 meg 1 az 2, ezt az 1-et ide lehozzuk. 1225. Tehát azt kaptuk, hogy a a négyzeten plusz 441 egyenlő 35 a négyzeten, ami 1225. Az egyenlet mindkét oldalából kivonhatunk 441-et. A bal oldalon csak a a négyzeten marad. Mi marad a jobb oldalon? 5 mínusz 1 az 4. Szeretnénk... hadd írjam le ezt egy kicsit szebben! Mínusz 441. Tehát a bal oldalon – még egyszer – ezek kiesnek, a a négyzeten egyenlő – és akkor a jobb oldalon mit kell csinálnunk? Ez nagyobb ennél, de a 2 nem nagyobb a 4-nél, ezért itt egy százast át kell váltani tízesekre. Tehát ez 12 tízes lesz – vagy átcsoportosítunk, attól függ, hogy nézed. Ez 1 lesz. Az 1 nem nagyobb, mint a 4, ezért itt megint át kell váltani. Ezres nem marad, itt pedig 11 lesz. 5 mínusz 1 az 4, 12 mínusz 4 az 8, 11 mínusz 4 az 7. Tehát a a négyzeten egyenlő 784-gyel, leírhatjuk, hogy a egyenlő négyzetgyök alatt 784. Ismét szívesen elővenném a számológépemet, de inkább nem teszem. Ne használjuk! Tehát ez 2-szer mennyi? 392. 390-szer 2 az 780, igen. És ez 2-szer mennyi? Ez 2-szer 196. Nézzük! 190-szer 2... igen ez 2-szer 196. 196 az 2-szer – nézzük csak meg, hogy nem hibáztam-e valahol! 196 az 2-szer 98. Folytassuk itt lent! 98 az 2-szer 49. És persze tudjuk, hogy ez mi lesz. Tehát nézzük, 2-szer 2-szer 2-szer 2, ez 2 a negyediken. Tehát az egész 16-szor 49. Tehát a egyenlő négyzetgyök alatt 16-szor 49. Ezeket a számokat választottam, mert mindkettő négyzetszám. Tehát ez egyenlő négyzetgyök alatt 16, ami 4, szorozva négyzetgyök alatt 49, ami 7, 28-cal egyenlő. Tehát ez az oldal itt 28-cal egyenlő a Pitagorasz-tétel alapján. Csináljunk meg még egyet! Gyakorlásból sosem elég! Tehát van egy másik háromszögünk. Ezt most nagyra rajzolom. Itt van, ez a háromszögünk, ez a derékszög. Ez az oldal 24, ez az oldal 12, hívjuk ezt az oldalt b-nek. Ismét keressük meg az átfogót! Ez a leghosszabb oldal, a 90 fokkal szemközti oldal. Mondhatod, hogy hé, nem tudhatom, melyik a leghosszabb oldal, nem tudom még, mennyi a b. Honnan tudnám, melyik a leghosszabb? Itt, ebben a helyzetben ez a 90 fokos szöggel szemközti oldal. Tehát ha ez az átfogó, akkor ez négyzetre emelve plusz ez négyzetre emelve egyenlő 24 a négyzeten. Tehát a Pitagorasz-tétel: b négyzet plusz 12 a négyzeten egyenlő 24 a négyzeten. Vagy kivonhatjuk a 12 négyzetét mindkét oldalból. Tehát b négyzet egyenlő 24 a négyzeten mínusz 12 a négyzeten. Erről tudjuk, hogy 144, tehát a b egyenlő négyzetgyök alatt 24 a négyzeten mínusz 12 a négyzeten. Ismét szívesen használnám a számológépet, most engedek is a kísértésnek. Csináljuk! Az előző nagyon fájdalmas volt, még mindig gyógyulófélben vagyok. Tehát 24 a négyzeten mínusz 12 a négyzeten (gyökvonás után) egyenlő 20,78. Tehát ennyi lett – csináljuk inkább mégis számológép nélkül a második felét! 24 a négyzeten mínusz 12 a négyzeten egyenlő 432. Tehát b egyenlő négyzetgyök alatt 432. És ezt ismét alakítsuk szorzattá! Láttuk, mi az eredmény, de talán írhatjuk egyszerűsítés után gyökös alakban. Tehát ez 2-szer 216. A 216 azt hiszem.... nézzük csak! Azt hiszem, ez négyzetszám, tehát vegyük a négyzetgyökét a 216-nak. Nem négyzetszám. Folytassuk hát... 216 az 2-szer 108. 108 az 4-szer mennyi? 25 meg 2, 4-szer 27, ami 9-szer 3. Tehát mi is van itt? Van 2-szer 2-szer 4, tehát ez itt 16. 16-szor 9-szer 3. Helyesen számoltam? Egy másik számológépet használok. 16-szor 9-szer 3 egyenlő 432. Szóval ez egyenlő – b egyenlő négyzetgyök alatt 16-szor 9-szer 3, ami egyenlő 16 négyzetgyöke, ami 4, szorozva négyzetgyök 9-cel, ami 3. szorozva négyzetgyök 3-mal, tehát egyenlő 12-szer négyzetgyök 3. Tehát b az 12-szer négyzetgyök 3. Remélem, hasznosnak találtad.