Fő tartalom
Az algebra alapjai
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 3. témakör
4. lecke: Bevezetés a háromszögek hasonlóságába- Bevezetés a hasonló háromszögek világába
- Két háromszög hasonlóságának alapesetei
- Két háromszög hasonlóságának egyik alapesete: két-két belső szög ugyanakkora
- Hasonló háromszögek felismerése
- Két háromszög hasonlóságának egyik alapesete: a megfelelő oldalhosszak aránya megegyezik
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés
Hasonló háromszögek felismerése
Sal több példán keresztül mutatja be a háromszögek hasonlóságát. Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Ebben a videóban azt szeretném, ha felismernénk a hasonló háromszögeket, és be is bizonyítanánk,
hogy hasonlók, alkalmazva néhány tételt
a korábban tanultak közül. Itt van a BDC háromszög,
a belsejében pedig az AEC háromszög. Van egy közös szögük. Tehát van egy-egy szög,
ami egyenlő. Kettő kellene, hogy a szög-szög szabályjal
igazolhassuk a hasonlóságot. Azt is tudjuk,
hogy ez a két oldal párhuzamos. Tudjuk, hogy ha párhuzamosokat
egy egyenessel elmetszünk, a keletkező egyállású szögek
egyenlők. Tehát ez a szög egyenlő ezzel. Készen is vagyunk! Van egy szögünk az AEC háromszögben,
ami egyenlő egy másik szöggel a BDC háromszögben, és van ez a szögünk, ami nyilván
egyenlő önmagával, és ez benne van mindkét háromszögben. Tehát a két háromszögben van
két-két szög, amik egyenlőek, így hasonlónak kell lenniük. Azt írhatjuk tehát, hogy
ACE háromszög hasonló – a betűket a megfelelő sorrendben írva, a kék szög itt van a B csúcsnál, a fehér szög pedig a C-nél, és aztán a jelöletlen szöghöz érünk ide, így lesz BCD. Az elsőt megoldottuk. Nézzük ezt itt! Kicsit hasonlónak tűnik a feladat, de csak felületesen nézve, mert YZ biztosan
nem párhuzamos ST-vel, így nem fogjuk tudni használni
a szögek egyenlőségét. Főleg mivel nem is jelöltem ezeket
párhuzamosnak, Nem tehetjük meg, hogy csak ránézés alapján eldöntjük, meg kell adni, mit ismerünk, és mit nem. Ezeket nem jelöltem párhuzamosnak,
tehát nem állíthatjuk azt, még akkor sem, ha
párhuzamosnak tűnnének. Egyetlen dolog, amit tudunk, az,
hogy ez a szög itt megegyezik a belső és a külső háromszögben, továbbá adott egy csomó oldal. Talán használhatnánk
az oldal-szög-oldal szabályt, vagyis megnéznénk az oldalak arányát ennek a szögnek mindkét szárán, és ha ez ugyanaz lenne a kisebb
és a nagyobb háromszögben, akkor bizonyíthatnánk a hasonlóságot. Kezdjük el a szögnek
az egyik szárán! Nézzük a rövidebb oldalt a szögnek
az egyik szárán! A rövidebb oldal 2. Most nézzük a rövidebb oldalt a szög
valamelyik szárán a nagyobb háromszögben! Itt a rövidebb a jobb oldalon van, az XT oldal lesz az. Össze szeretnénk hasonlítani az arányokat. Megnézzük, hogy XY/XT egyenlő-e a hosszabb oldalak arányával. Ha ennek a szögnek a szárain nézzük, a kettőből a hosszabb nem feltétlenül a leghosszabb oldal
a háromszögben, bár most úgy tűnik. Egyenlő-e ez az XZ osztva a két oldalból
a hosszabbal – ezt a szöget nézve itt, valamelyik szárán ennek a szögnek – a nagyobb háromszögben, tehát osztva XS-sel. Ez kicsit zavaros, mert mintha fel lennének cserélve az oldalak,
de egyszerűen csak a rövidebb oldalakra gondolok
a szög mindkét szárán, majd a hosszabb oldalakra
a szög mindkét szárán. Tehát ezek a rövidebb oldalak:
a kis háromszögé, és a nagy háromszögé, ezek a hosszabb oldalak: a kis háromszögé, és a nagy háromszögé. Az XY az kettő, XT az 3 meg 1, vagyis 4.
XZ az 3, XS pedig 6. Tehát ez 2 osztva 4-gyel, ami 1/2,
ugyanannyi, mint 3/6. Tehát a rövidebb és a
hosszabb oldalak aránya a két háromszög esetén megegyezik. Vagyis az oldal-szög-oldal szabály
alapján ezek a háromszögek egybevágók. Viszont óvatosnak kell lennünk,
hogy mit állítunk a háromszögekről. Biztosak szeretnénk lenni abban,
hogy az egymásnak megfelelő oldalakat nézzük. Mondhatjuk, hogy a háromszög...
és közben kezdek kifogyni a helyből. Hadd írjam ide! Azt írhatjuk, hogy az XYZ háromszög
hasonló a... – itt X az első, ami a szög csúcsa, és a rövidebb oldallal kezdünk, ezért az X-től indulva a rövidebb oldallal
kezdjük a nagyobb háromszögben is, tehát XTS háromszög lesz. XYZ hasonló az XTS háromszöghöz. Nézzük tovább! A nagyobb háromszögben
itt van egy derékszög. Viszont fogalmunk sincs, mi a helyzet ezekkel a kisebb háromszögekkel, mekkorák a szögeik. Ez itt derékszögnek tűnik, de nem tételezhetjük fel. Ha megnézzük ezt a kis háromszöget, egyik oldala egybeesik
a nagy háromszögével, de ez sem segít. Ennek a háromszögnek szintén közös az egyik oldala a nagy háromszögével,
de ez sem segít. Tehát itt nem tudunk állítani semmit
a hasonlóságról. Nem hasonlók. Vannak közös szögeik,
ez közös szöge a kisebb és a nagyobb háromszögnek. Akkor mondhatnánk, hogy hasonlók, ha egyértelműen tudnánk, hogy ez itt derékszög, akkor tudnánk valami
érdekeset mondani a hasonlóságról, de így nem állíthatunk semmit. Próbáljuk meg ezt itt, illetve ezt a párost! Ez az első, amikor két
különálló háromszög van. Adott az összes oldal. Nézzük meg, hogy a megfelelő
oldalak aránya állandó-e! Kezdjük a legrövidebb oldallal! A legrövidebb oldal itt 3,
itt pedig a legrövidebb oldal 9-szer gyök 3. Tehát a 3 és a 9-szer gyök 3 aránya egyenlő-e
– a második legrövidebb oldal itt 3-szor gyök 3, osztva a következő oldallal itt,
ami 27. És nézzük, hogy ez egyenlő-e a leghosszabb oldalak arányával! A leghosszabb oldal itt 6, itt pedig a leghosszabb oldal 18-szor gyök 3. Ez pedig itt... nézzük Ez itt 3... inkább egy
semleges színt használok. A 3 az 1 lesz, per 3-szor gyök 3. Ez 1-szer gyök 3 per 9,
ami különböző számnak tűnik, de azért legyünk óvatosak! Ez pedig itt... ha 6-tal elosztjuk a nevezőt és a számlálót, akkor ez 1 lesz, ez pedig 3-szor gyök 3. Tehát 1 per 3-szor gyök 3-nak egyenlőnek
kellene lennie gyök 3 osztva 9-cel, aminek egyenlőnek kellene lennie
1 osztva 3-szor gyök 3-mal. Elsőre nem tűnnek egyenlőnek, de gyökteleníthetjük ezt a nevezőt. Ha megszorozzuk ezt gyök 3 per gyök 3-mal, akkor a számlálóban gyök 3 lesz,
amit osztunk 3-szor gyök 3-szor gyök 3-mal, ami 9. Tehát ezek mind megegyeznek! Ez itt 1 per 3-szor gyök 3, ami ugyanannyi, mint gyök 3 osztva 9-cel,
ami ez itt, ami egyenlő az
1 osztva 3-szor gyök 3-mal. Szóval ezek hasonló háromszögek. Tehát azt mondhatjuk, hogy... – és figyelek,
hogy megfelelő sorrendben írjam az oldalakat. E-vel kezdem, ami a
kék és lila oldal közt van, itt pedig a kék és a lila közt a H van. Tehát így írom: az E... háromszög hasonló, végigmegyek a kék oldalon, az F jön, és megyek tovább, oh bocsánat, hadd csináljam inkább emígy! Tehát tudjuk, hogy az EFG háromszög
hasonló... az E a kék és lila oldal közt van, az a H a másik háromszögben, majd végigmegyünk a kék
oldalon az F-hez, itt pedig az I-hez megyünk a kék oldalon. Végül végigmegyünk a narancs oldalon a G-hez, itt pedig a J-hez. Tehát az EFG és a HIJ háromszögek
hasonlók az oldal-oldal-oldal hasonlóság
alapján. A megfelelő oldalak nem egyenlők, csak ugyanakkora az arányuk,
ugyanakkora a hányadosuk. Csináljuk meg ezt az utolsót! Van két megegyező szögünk itt, és ismerünk két-két oldalt. Csábítónak tűnik az oldal-szög-oldal
szabályt használni, mivel egy oldalt, egy szöget,
és még egy oldalt ismerünk. Sőt, az arányok is erre ösztönöznének, mivel 4-szer 2 az 8, 5-ször 2 az 10. Viszont ez itt trükkös, mert ezek nem egymásnak megfelelő oldalak. Az oldal-szög-oldal szabálynál a két-két oldalnak, amelyeknek az aránya megegyezik, a szög két szárán kellene lenni. Ebben az esetben ott vannak, itt viszont a 4 a szög egyik szárán van, az 5 viszont nem. Ha az 5 itt lenne, akkor érvelhetnénk a hasonlóság mellett, de mivel az 5 nem a szög másik szára, nem használhatjuk az oldal-szög-oldal szabályt, és sajnos nem tudunk itt mit mondani. Tehát nem állíthatjuk azt, hogy az utolsó két háromszög hasonló.