Hasonló háromszögek felismerése

Ebben a videóban azt szeretném, ha felismernénk a hasonló háromszögeket, és be is bizonyítanánk, hogy hasonlók, alkalmazva néhány tételt a korábban tanultak közül. Itt van a BDC háromszög, a belsejében pedig az AEC háromszög. Van egy közös szögük. Tehát van egy-egy szög, ami egyenlő. Kettő kellene, hogy a szög-szög szabályjal igazolhassuk a hasonlóságot. Azt is tudjuk, hogy ez a két oldal párhuzamos. Tudjuk, hogy ha párhuzamosokat egy egyenessel elmetszünk, a keletkező egyállású szögek egyenlők. Tehát ez a szög egyenlő ezzel. Készen is vagyunk! Van egy szögünk az AEC háromszögben, ami egyenlő egy másik szöggel a BDC háromszögben, és van ez a szögünk, ami nyilván egyenlő önmagával, és ez benne van mindkét háromszögben. Tehát a két háromszögben van két-két szög, amik egyenlőek, így hasonlónak kell lenniük. Azt írhatjuk tehát, hogy ACE háromszög hasonló – a betűket a megfelelő sorrendben írva, a kék szög itt van a B csúcsnál, a fehér szög pedig a C-nél, és aztán a jelöletlen szöghöz érünk ide, így lesz BCD. Az elsőt megoldottuk. Nézzük ezt itt! Kicsit hasonlónak tűnik a feladat, de csak felületesen nézve, mert YZ biztosan nem párhuzamos ST-vel, így nem fogjuk tudni használni a szögek egyenlőségét. Főleg mivel nem is jelöltem ezeket párhuzamosnak, Nem tehetjük meg, hogy csak ránézés alapján eldöntjük, meg kell adni, mit ismerünk, és mit nem. Ezeket nem jelöltem párhuzamosnak, tehát nem állíthatjuk azt, még akkor sem, ha párhuzamosnak tűnnének. Egyetlen dolog, amit tudunk, az, hogy ez a szög itt megegyezik a belső és a külső háromszögben, továbbá adott egy csomó oldal. Talán használhatnánk az oldal-szög-oldal szabályt, vagyis megnéznénk az oldalak arányát ennek a szögnek mindkét szárán, és ha ez ugyanaz lenne a kisebb és a nagyobb háromszögben, akkor bizonyíthatnánk a hasonlóságot. Kezdjük el a szögnek az egyik szárán! Nézzük a rövidebb oldalt a szögnek az egyik szárán! A rövidebb oldal 2. Most nézzük a rövidebb oldalt a szög valamelyik szárán a nagyobb háromszögben! Itt a rövidebb a jobb oldalon van, az XT oldal lesz az. Össze szeretnénk hasonlítani az arányokat. Megnézzük, hogy XY/XT egyenlő-e a hosszabb oldalak arányával. Ha ennek a szögnek a szárain nézzük, a kettőből a hosszabb nem feltétlenül a leghosszabb oldal a háromszögben, bár most úgy tűnik. Egyenlő-e ez az XZ osztva a két oldalból a hosszabbal – ezt a szöget nézve itt, valamelyik szárán ennek a szögnek – a nagyobb háromszögben, tehát osztva XS-sel. Ez kicsit zavaros, mert mintha fel lennének cserélve az oldalak, de egyszerűen csak a rövidebb oldalakra gondolok a szög mindkét szárán, majd a hosszabb oldalakra a szög mindkét szárán. Tehát ezek a rövidebb oldalak: a kis háromszögé, és a nagy háromszögé, ezek a hosszabb oldalak: a kis háromszögé, és a nagy háromszögé. Az XY az kettő, XT az 3 meg 1, vagyis 4. XZ az 3, XS pedig 6. Tehát ez 2 osztva 4-gyel, ami 1/2, ugyanannyi, mint 3/6. Tehát a rövidebb és a hosszabb oldalak aránya a két háromszög esetén megegyezik. Vagyis az oldal-szög-oldal szabály alapján ezek a háromszögek egybevágók. Viszont óvatosnak kell lennünk, hogy mit állítunk a háromszögekről. Biztosak szeretnénk lenni abban, hogy az egymásnak megfelelő oldalakat nézzük. Mondhatjuk, hogy a háromszög... és közben kezdek kifogyni a helyből. Hadd írjam ide! Azt írhatjuk, hogy az XYZ háromszög hasonló a... – itt X az első, ami a szög csúcsa, és a rövidebb oldallal kezdünk, ezért az X-től indulva a rövidebb oldallal kezdjük a nagyobb háromszögben is, tehát XTS háromszög lesz. XYZ hasonló az XTS háromszöghöz. Nézzük tovább! A nagyobb háromszögben itt van egy derékszög. Viszont fogalmunk sincs, mi a helyzet ezekkel a kisebb háromszögekkel, mekkorák a szögeik. Ez itt derékszögnek tűnik, de nem tételezhetjük fel. Ha megnézzük ezt a kis háromszöget, egyik oldala egybeesik a nagy háromszögével, de ez sem segít. Ennek a háromszögnek szintén közös az egyik oldala a nagy háromszögével, de ez sem segít. Tehát itt nem tudunk állítani semmit a hasonlóságról. Nem hasonlók. Vannak közös szögeik, ez közös szöge a kisebb és a nagyobb háromszögnek. Akkor mondhatnánk, hogy hasonlók, ha egyértelműen tudnánk, hogy ez itt derékszög, akkor tudnánk valami érdekeset mondani a hasonlóságról, de így nem állíthatunk semmit. Próbáljuk meg ezt itt, illetve ezt a párost! Ez az első, amikor két különálló háromszög van. Adott az összes oldal. Nézzük meg, hogy a megfelelő oldalak aránya állandó-e! Kezdjük a legrövidebb oldallal! A legrövidebb oldal itt 3, itt pedig a legrövidebb oldal 9-szer gyök 3. Tehát a 3 és a 9-szer gyök 3 aránya egyenlő-e – a második legrövidebb oldal itt 3-szor gyök 3, osztva a következő oldallal itt, ami 27. És nézzük, hogy ez egyenlő-e a leghosszabb oldalak arányával! A leghosszabb oldal itt 6, itt pedig a leghosszabb oldal 18-szor gyök 3. Ez pedig itt... nézzük Ez itt 3... inkább egy semleges színt használok. A 3 az 1 lesz, per 3-szor gyök 3. Ez 1-szer gyök 3 per 9, ami különböző számnak tűnik, de azért legyünk óvatosak! Ez pedig itt... ha 6-tal elosztjuk a nevezőt és a számlálót, akkor ez 1 lesz, ez pedig 3-szor gyök 3. Tehát 1 per 3-szor gyök 3-nak egyenlőnek kellene lennie gyök 3 osztva 9-cel, aminek egyenlőnek kellene lennie 1 osztva 3-szor gyök 3-mal. Elsőre nem tűnnek egyenlőnek, de gyökteleníthetjük ezt a nevezőt. Ha megszorozzuk ezt gyök 3 per gyök 3-mal, akkor a számlálóban gyök 3 lesz, amit osztunk 3-szor gyök 3-szor gyök 3-mal, ami 9. Tehát ezek mind megegyeznek! Ez itt 1 per 3-szor gyök 3, ami ugyanannyi, mint gyök 3 osztva 9-cel, ami ez itt, ami egyenlő az 1 osztva 3-szor gyök 3-mal. Szóval ezek hasonló háromszögek. Tehát azt mondhatjuk, hogy... – és figyelek, hogy megfelelő sorrendben írjam az oldalakat. E-vel kezdem, ami a kék és lila oldal közt van, itt pedig a kék és a lila közt a H van. Tehát így írom: az E... háromszög hasonló, végigmegyek a kék oldalon, az F jön, és megyek tovább, oh bocsánat, hadd csináljam inkább emígy! Tehát tudjuk, hogy az EFG háromszög hasonló... az E a kék és lila oldal közt van, az a H a másik háromszögben, majd végigmegyünk a kék oldalon az F-hez, itt pedig az I-hez megyünk a kék oldalon. Végül végigmegyünk a narancs oldalon a G-hez, itt pedig a J-hez. Tehát az EFG és a HIJ háromszögek hasonlók az oldal-oldal-oldal hasonlóság alapján. A megfelelő oldalak nem egyenlők, csak ugyanakkora az arányuk, ugyanakkora a hányadosuk. Csináljuk meg ezt az utolsót! Van két megegyező szögünk itt, és ismerünk két-két oldalt. Csábítónak tűnik az oldal-szög-oldal szabályt használni, mivel egy oldalt, egy szöget, és még egy oldalt ismerünk. Sőt, az arányok is erre ösztönöznének, mivel 4-szer 2 az 8, 5-ször 2 az 10. Viszont ez itt trükkös, mert ezek nem egymásnak megfelelő oldalak. Az oldal-szög-oldal szabálynál a két-két oldalnak, amelyeknek az aránya megegyezik, a szög két szárán kellene lenni. Ebben az esetben ott vannak, itt viszont a 4 a szög egyik szárán van, az 5 viszont nem. Ha az 5 itt lenne, akkor érvelhetnénk a hasonlóság mellett, de mivel az 5 nem a szög másik szára, nem használhatjuk az oldal-szög-oldal szabályt, és sajnos nem tudunk itt mit mondani. Tehát nem állíthatjuk azt, hogy az utolsó két háromszög hasonló.