Két háromszög hasonlóságának alapesetei

Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk, amelyik valahogy így néz ki, három csúcsa az A, B és C. A lehető legkevesebb információt akarom megadni, vagyis szeretnék megfogalmazni néhány követelményt, amelyeket arra használhatnánk, hogy egy másik háromszögről megállapítsuk, hasonló-e az ABC-hez. Azt már tudjuk, hogy ha mindhárom megfelelő szög ugyanakkora, mint az ABC háromszögben, akkor hasonló háromszögekkel van dolgunk. Legyen például ez itt 30 fok, ez a szög 90 fok, és ez a szög itt 60 fok. És legyen ez egy másik háromszög, ami így néz ki, és nyilvánvalóan egy kisebb háromszög, de a megfelelő szögei ugyanakkorák. Ez itt 30 fok, ez 90 fok és ez 60 fok, és tudjuk, hogy ez az XYZ háromszög hasonló lesz az ABC háromszöghöz. Abból tudjuk ezt, hogy a megfelelő szögek ugyanakkorák, és emiatt az ABC háromszög és az XYZ háromszög hasonlóak. Ehhez persze helyes sorrendben kell a megfelelő szögeket leírni. Y felel meg a 90 fokos szögnek, X felel meg a 30 fokos szögnek, A felel meg a 30 fokos szögnek, tehát A és X az első helyen áll, B és Y a 90 fokos szögek, ezek a második helyen, és aztán Z az utolsó. Ez az, amit már ismerünk, ha megvan a három szög, de valóban szükség van-e a három szögre? Vajon ha csak két szöget ismernénk, az elég lenne-e? Nyilván, hiszen ha ismerjük egy háromszög két szögét, akkor ismerjük a harmadikat is, tehát ha például van itt egy másik háromszögünk, ami így néz ki, és azt mondanám neked, hogy csak két megfelelő szögük azonos nagyságú. Mondjuk ez a szög megegyezik ezzel a szöggel, és ez a szög itt ugyanakkora, mint ez a szög. Elegendő-e ez ahhoz, hogy azt mondhassuk, hogy a két háromszög hasonló? Hát persze. Hiszen ha egy háromszögnek ismerjük két szögét, akkor tudjuk, hogy mekkorának kell lennie a harmadik szögnek, ha tudjuk, hogy ez a szög 30 fok, és ez a szög 90 fok, akkor már tudjuk, hogy ennek a szögnek 60 fokosnak kell lennie. Akármekkora ez a két szög, kivonod őket a 180-ból, és akkora lesz ez a szög. Általánosságban, a hasonlóság bizonyításához nincs szükség mindhárom szög egyenlőségének megmutatására, elegendő két szög egyenlőségét megmutatni. Ez lesz tehát az első alapesetünk, két-két szög páronként egyenlő, röviden ez a szög-szög feltétel. Ha be tudod bizonyítani, hogy két-két szög páronként egyenlő, akkor a háromszögek hasonlóak. Például, ha számokkal akarjuk megnézni, és ez itt 30 fok volt, és tudjuk, hogy ebben a háromszögben ez a szög 90 fokos, akkor már tudjuk, hogy ez a háromszög hasonló ehhez. És akkor már kijelentheted a harmadik szögről, magától értetődően, hogy ez a harmadik szög 60 fokos, és így mindhárom szög páronként megegyezik. Ez tehát a hasonlóság első alapesete. A másik dolog, amit tudunk a hasonlóságról, hogy a megfelelő oldalak hosszának aránya páronként megegyezik. Így például, ha van egy másik derékszögű háromszögünk, rajzolok ide egy másik háromszöget, legyen ez az X-Y-Z háromszög. Tegyük fel, hogy ismerjük az AB és az XY aránypárt, tehát ismerjük AB/XY értékét – ennek és ennek az oldalnak az arányát – és itt egyáltalán nem azt mondjuk, hogy ezek hossza megegyezik, csak az arányukat vizsgáljuk most. Azt mondjuk, hogy AB/XY az AB/XY = BC/YZ, azaz megegyezik BC/YZ-vel. Ez pedig megegyezik AC/XZ-vel. Tehát még egyszer, ez is egy módja a hasonlóság meghatározásának. Tehát ha mindhárom megfelelő oldal, a három megfelelő oldal hosszának aránya páronként megegyezik, akkor tudjuk, hogy hasonlók a háromszögeink. És ezt oldal-oldal-oldal hasonlóságnak hívjuk. De ne keverjük ezt össze az oldal-oldal-oldal egybevágósági alapesettel. Ezek tehát a hasonlósági alapeseteink, vagy axiómáink, és később majd ezekre építjük feladatok megoldását és más dolgok bizonyítását. Az egybevágóságnál az oldal-oldal-oldal elnevezés azt jelenti, hogy ott a megfelelő oldalak hossza megegyezik. A hasonlóság esetén pedig az oldal-oldal-oldal elnevezés a megfelelő oldalak páronkénti arányának egyenlőségére utal. Tehát ha pl. ez itt 10, na nem, legyen ez egy nagyobb szám, mondjuk 60, ez itt 30, ez pedig 30-szor gyök 3. Csak azért választottam ezeket a számokat, mert nemsokára látni fogjuk, hogy a 30-60-90 fokos háromszögben milyen jellegzetes arányok szerepelnek. Itt pedig legyen 6, 3 és négyzetgyök 3. Figyeld meg, AB/XY az 30-szor gyök 3 osztva 3-szor gyök 3, az 10. Mekkora lesz BC/XZ? 30 osztva 3-mal, az 10. És mennyi 60 osztva 6-tal, vagy AC/XZ? Nos, az is 10 lesz. Tehát általánosságban, ha innen az egyik oldaltól megyünk ide, a megfelelő oldalhoz, akkor minden oldal esetében 10-zel szorzunk. De erre nem azt mondjuk, hogy egybevágóak, vagy hogy az oldalak ugyanakkorák lennének az oldal-oldal-oldal hasonlósági feltétel alapján. Annyit állítunk, hogy ugyanazzal a mennyiséggel szorozva felnagyítjuk őket, vagy másképp fogalmazva a megfelelő oldalak aránya ugyanaz lesz. Na és mi van akkor, ha – rajzoljunk ide egy másik háromszöget, ezeket itt akarom hagyni, hogy aztán egyszerre láthassuk őket, – tehát rajzoljuk meg az ABC háromszöget, ez itt az A, a B és a C. És tudjuk, hogy ha nézzük ezt a másik háromszöget, akkor ez az XY az AB oldalnak valamilyen többszöröse. Le is írom ide, XY az AB-nek egy konstanssal való szorzata. Talán egy kicsit nagyobbra rajzolom az XY-t, de nem feltétlenül kellene. A konstans 1-nél kisebb is lehetne, ekkor egy kisebb értéket eredményezne. De csináljuk inkább így, vagyis legyen az XY egy kicsit nagyobb. Tehát mondjuk ez az X és ez az Y. Tegyük fel tehát, hogy az XY/AB valamilyen konstans érték. Ha mindkét oldalt megszorozzuk AB-vel, akkor azt kapjuk, hogy XY az AB-nek valahányszoros nagyítása. Lehet pl. AB=5, XY=10, és ekkor a konstansunk 2 lesz. Egy kettes tényezővel nagyítottunk. Ezenkívül – mondjuk – azt is tudjuk, hogy az ABC szög megegyezik az XYZ szöggel. Felveszek itt egy új pontot, és rajzolok egy új oldalt. Ez itt Z. És még azt is tudjuk, hogy az ABC szög megegyezik az XYZ szöggel, valamint azt is, hogy a BC/YZ arány ugyanez az állandó érték. A BC és YZ aránya is megegyezik ezzel az állandóval. Így például, ahol ez 5 és 10 volt, ez mondjuk 3 és 6. A konstanssal megduplázzuk az oldal hosszát. Vajon ez az XYZ háromszög hasonló-e? Gondoljuk meg, ha XY ugyanannyiszorosa AB-nek, mint YZ a BC-nek, és az általuk közbezárt szögek megegyeznek, akkor csupán egyetlen háromszöget tudunk itt felrajzolni. Egyetlen háromszögre vagyunk itt korlátozva, vagyis teljesen meghatározott ennek az oldalnak a hossza, és az oldal hosszát pontosan ugyanezzel a konstanssal való szorzás fogja kiadni. Ezt a feltételt oldal-szög-oldal hasonlóságnak hívjuk. Tehát még egyszer, láttuk a 3 oldal és a 2 oldal és szög egybevágósági alapeseteket. De itt most egész más a helyzet. Itt ugyanis azt mondjuk, hogy ha a két háromszögben két-két oldalhossz aránya egyenlő, azaz AB/XY, mint az egyik összetartozó oldalpár, és a másik összetartozó oldalpár, BC és YZ aránya megegyezik, valamint az ezek által bezárt szögek egyenlők, akkor kimondhatjuk a hasonlóságot. Az egybevágóságnál az oldalaknak ténylegesen meg kellett egyezniük. Itt viszont azt mondjuk ki, hogy csupán a megfelelő oldalak arányainak kell egyenlőnek lennie. Tehát itt az oldal-szög-oldal feltételt alkalmazva, hadd rajzoljak fel néhány példát. Legyen mondjuk itt ez a 3-2-4 háromszög, és legyen ez a másik háromszög, 9 és 6 hosszú oldalakkal, és azt is tudjuk, hogy a közbezárt szögek megegyeznek, vagyis ez a szög meg ez szög ugyanakkora. Na mármost az oldal-szög-oldal hasonlóság azt mondja ki, hogy ez a két háromszög egyértelműen hasonló, le vagyunk korlátozva, hiszen egyetlen ilyen háromszöget tudunk csak ide berajzolni. Mégpedig egy olyan háromszöget, amelynek minden oldala ugyanazzal az értékkel van megszorozva. Itt tehát csak egyetlen oldalhosszt rajzolhatunk be, amelyet ugyanúgy 3-szoros szorzóval kellett kiszámolni. Ez az egyetlen lehetséges háromszög. Amikor meghatározod ezt az oldalt, abból indulsz ki, hogy ez 3-szorosa ennek az oldalnak, ez 3-szorosa ennek az oldalnak, a bezárt szögek megegyeznek, és így csak egyetlen háromszöget tudunk felrajzolni. És tudjuk, hogy létezik itt egy hasonló háromszög, amelynek minden oldala 3-szor nagyobb, így az egyetlen megrajzolható háromszög pont ez a hasonló háromszög. Ez a helyzet az oldal-szög-oldal hasonlóság esetén. Egyáltalán nem állítjuk, hogy ez az oldal megegyezne ezzel az oldallal, vagy ez az oldal emezzel, csupán azt, hogy ugyanazzal a konstanssal vannak megszorozva. Ha lenne egy másik háromszögünk, ami mondjuk így nézne ki: ez itt 9, ez 4, és a közbezárt szög ugyanakkora, akkor nem mondhatnánk, hogy ezek hasonlóak, mert ez az oldal háromszorosa ennek, ez pedig csak kétszerese ennek. Tehát erről nem jelenthetjük ki, hogy feltétlenül hasonló. Hasonlóképpen, ha egy olyan háromszögünk lenne, amelynek egyik oldala 9, a másik 6, de nem tudnánk, hogy ez a két szög azonos-e, vagyis nem ismernénk az összes kényszerítő feltételt, tehát nem tudhatnánk, hogy ez a két háromszög mindenképpen hasonló, hiszen nem ismerjük a közbezárt szögeket. Most persze mondhatnád azt, hogy még további feltételeink is voltak. Volt az egybevágóságnál a szög-szög-oldal feltétel, de ha belegondolsz, azt már megmutattuk, hogy két szög már önmagában is elég a hasonlóság biztosítására, tehát minek foglalkozni egy szöggel, egy másik szöggel és még egy oldalpár arányával is? Minek ezzel bajlódni? Aztán volt a szög-oldal-szög egybevágósági feltétel, de mégegyszer, itt is tudjuk, hogy a két szög elegendő, nem kell pluszban foglalkoznunk az oldallal, egyáltalán nincs rá szükségünk. Ezek lesznek tehát a hasonlósági alapeseteink. És emlékeztetni szeretnélek arra, hogy itt az oldal-oldal-oldal alapeset tényleg különbözik az egybevágósági oldal-oldal-oldal alapesetétől. Itt a megfelelő oldalak arányáról beszélünk, nem állítjuk, hogy ezek az oldalak megegyeznek, Itt pedig, az oldal-szög-oldal alapeset is különbözik az egybevágósági oldal-szög-oldal alapesettől. Van hozzá köze, de itt az oldalak arányáról beszélünk, nem pedig a tényleges hosszukról.