Hasonló háromszögekre vonatkozó feladatok

Ebben az első feladatban azt kérik, hogy határozzuk meg a CE szakasznak a hosszát. Adott ez a két párhuzamos egyenes, AB párhuzamos DE-vel. Azután adott ez a két tulajdonképpeni szelő, amelyek ezt a két háromszöget képezik. Nézzük, mit csinálhatunk itt. Az első, ami eszedbe juthat, az az, hogy ez a szög meg ez a szög csúcsszögek, vagyis ezek ugyanakkorák. A másik dolog, ami eszedbe juthat, hogy a CDE szög váltószöge a CBA szögnek. Itt van ez a szelő, ezek váltószögek, tehát megegyeznek. Vagy azt is mondhatjuk, hogy ha folytatnánk ezt a szelőt, akkor a fenti CDE-vel egyállású szöget kapnánk, és ez itt egyszerűen annak a csúcsszöge. Akárhogy is, ez a szög, meg ez a szög megegyezik. Kijelenthetjük tehát, hogy van két háromszögünk, amelyeknek két-két szöge megegyezik. És ez már önmagában elegendő a hasonlóság fennállásához. Valójában azt is meg tudnánk mutatni, hogy ez a szög, meg ez a szög is megegyezik, hiszen ezek is váltószögek, de erre nincs szükség. Azt tehát már tudjuk, hogy ezek hasonlóak, és persze mondhattuk volna, mint váltószögekről, ezekről is, hogy ugyanakkorák, de már így is tudunk eleget ahhoz, hogy kijelentsük, hogy hasonlóak. Tudjuk tehát, és itt úgy fogom színezni, hogy világos legyen, melyek az egymásnak megfelelő csúcsok. Mert az fontos lesz, hogy tudjuk, hogy melyik szögek és melyik oldalak felelnek meg egymásnak, nehogy összekeverjük az aránypárokat, szóval hogy tudjuk, mi minek felel meg. Tudjuk tehát, hogy az ABC háromszög hasonló – és itt az A csúcs az E csúcsnak felel meg, a B csúcs pedig megfelel a D csúcsnak, tehát – az EDC háromszöghöz. Na és mit jelent ez számunkra? Azt jelenti, hogy a megfelelő oldalak aránya megegyezik, valamilyen állandó értéket fognak adni. Tehát például a BC oldalnak megfelelő oldal a DC oldal lesz. Ezt úgy láthatjuk be, hogy egyszerűen, felírjuk a hasonlóságot. Ha ez fennáll, akkor a BC-nek megfelelő oldal a DC. Tehát tudjuk, hogy a BC/DC meg fog egyezni – nos, itt ki akarjuk találni, hogy mennyi is a CE, ez fontos most nekünk. Azért használom fel a BC-t és a DC-t, mert ezeknek ismerjük a hoszát. BC/DC tehát egyenlő – melyik is a CE-nek megfelelő oldal? A megfelelő oldal ez a CA oldal. Tehát BC/DC = CA/CE. Az utolsó és az első, itt is az utolsó és az első, CA/CE. BC értékét ismerjük, a BC = 5. Tudjuk DC értékét is, ez 3, és CA vagy AC értékét is, ami 4. Most tehát csak meg kell ezt oldanunk CE-re. Többféle módon is kiszámolhatjuk ezt, keresztbe szorozhatunk, ami azt jelenti, hogy mindkét oldalt megszorozzuk mindkét nevezővel. Azt kapjuk, hogy 5-ször a CE hossza, és ez egyenlő 3-szor 4, azaz 12-vel. Ebből azt kapjuk CE-re, hogy 12/5, ami ugyanaz, mint 2 egész 2/5 vagy 2,4. Ez tehát itt 2 egész 2/5 lesz, és ezzel meg is vagyunk. A hasonlóság segítségével ki tudtuk számolni ezt az oldalhosszt, annak alapján, hogy tudjuk, hogy ezeknél a megfelelő oldalak aránya megyezik. Nézzük most ezt a feladatot. Rajzolok ide egy kis elválasztó vonalat, hogy lássuk, hogy ez egy másik feladat. Ebben a feladatban a DE-t kell meghatároznunk. Ismét itt van ez a két párhuzamos egyenes, és tudjuk, hogy az egyállású szögek ugyanakkorák. Tehát tudjuk, hogy ez a szög megegyezik ezzel a szöggel, hiszen tekintheted ezt egy szelőnek. Azt is tudjuk, hogy ez a szög itt, megegyezik ezzel a szöggel, mert a szelő mentén lévő egyállású szögek. És mindkét háromszög, – legyenek ezek a CBD és CAE háromszögek – tartalmazza ezt a szöget. Még egyszer, megállhatnánk két szögnél, de itt most megmutattuk, hogy mindhárom szög ebben a két háromszögben tehát mindhárom egymásnak megfeleltethető szög ugyanakkora lesz. Ne felejtsd el, fontos meggyőződni arról, hogy jó sorrendben írjuk fel a dolgokat a hasonlósághoz. Azt tudjuk, hogy a CBD háromszög hasonló – vigyázat, nem egybevágó – a CAE háromszöghöz, ami azt jelenti, hogy a megfelelő oldalaik aránya egy állandó lesz. Tehát például tudjuk, hogy a CB/CA hányados, – írjuk is le: a CB/CA hányados megegyezik a CD/CE hányadossal. CB-ről tudjuk, hogy az 5, tudjuk, hogy mennyi a CA, de itt vigyáznunk kell, ez nem 3. CA ez a teljes szakasz itt, ez 5 meg 3, tehát összesen 8 lesz. És ismerjük CD értékét is, CD az 4. És most is beszorozhatunk, akkor itt 5 CE-t, azaz 5-ször CE-t kapunk, ami egyenlő 8-szor 4-gyel. 8・4 = 32. CE hossza egyenlő 32/5-tel. Vagy másképpen 6 egész 2/5-del. De most még nem végeztünk, mert nem a CE-t kell meghatároznunk. A feladat ennek a szakasznak, vagyis a DE-nek a meghatározása volt. Tudjuk tehát, hogy ez az egész szakasz, CE a CE = 6 egész 2/5. Ekkor a DE, amit valójában ki kell számolnunk, ez a teljes hossz, 6 egész 2/5 mínusz 4 lesz, kivonva tehát a CD szakasz hosszát. És ez így 2 egész 2/5 lesz. 6 egész 2/5 mínusz 4 egész, az 2 egész 2/5. És ezzel kész is vagyunk, DE = 2 egész 2/5.