Számítások hasonló háromszögekben: amikor egy oldal mindkét háromszögben szerepel

Ebben a feladatban BC hosszát kell meghatároznunk. Van itt néhány háromszög, egy pár oldalhossz és néhány derékszög, talán alkalmazni tudjuk a hasonlóságot bizonyos háromszögek között. Valójában három különböző háromszöget láthatunk itt, ezt a háromszöget, illetve ezt, és ezt a nagyobb háromszöget. Ha fel tudjuk írni a hasonlóságot, esetleg felhasználhatjuk valahogy az oldalak arányát ahhoz, hogy kiszámoljuk a BC hosszát. Amikor ránézünk, látjuk, hogy ez itt egy derékszögű háromszög, a BDC háromszögnek van egy derékszöge, az ABC háromszögben is van egy derékszög, tehát ha meg tudjuk mutatni, hogy van egy másik egymásnak megfeleltethető szögpár, amelyek ugyanakkorák, akkor megállapíthatjuk, hogy a háromszögek hasonlóak. Mindkét háromszög, a BDC és az ABC is tartalmazza ezt a szöget. Márpedig ha mindkettőben szerepel ez a szög, akkor egyértelmű, hogy van két közös szögük. Tehát mindketten tartalmazzák ezt a szöget itt. Egy másik színt fogok használni, hogy megkülönböztessem ezektől a derékszögektől. Mindketten tartalmazzák ezt a szöget. És ugye tudjuk, hogy ha két háromszögben van legalább két azonos nagyságú szög, akkor a háromszögek hasonlóak. Tudjuk tehát, hogy az ABC háromszög, ahol a nem jelölt szögtől indultunk és a sárga derékszög felé haladtunk, majd a narancsszínű szöghöz értünk, ezért így írom fel: a nem jelölt szögtől indultunk és a sárga derékszög felé haladtunk, majd a narancsszínű szöghöz értünk, ABC. És ezt most óvatosan kell csinálnunk, mivel ugyanazoknak a pontoknak, vagy csúcsoknak nem feltétlenül ugyanaz lesz a szerepük a két háromszögben. Biztosak akarunk lenni abban, hogy jól értelmezzük a hasonlóságot, a fehér csúcsból a 90 fokos szög csúcsához, és onnan a narancssárga csúcshoz megyünk. Ez hasonló lesz a következő háromszöghöz: melyik is az, amelyik nem a derékszög, – ugye, ezt a kisebb háromszöget vizsgáljuk most – tehát melyik az, amelyik nem is a derékszög, és nem is a narancsszínű szög? Nos, ez a B csúcs lesz. A B csúcsé a derékszög a nagyobb háromszög esetén, de most csak erre a kis szögre gondolunk. Kiindulunk tehát a B csúcstól, aztán haladunk a derékszög felé, a derékszög most a D csúcsban van. Aztán megyünk a narancsszínű C csúcshoz. Megmutattuk tehát, hogy ezek hasonlóak. És most, hogy tudjuk, hogy ezek hasonlók, megkísérelhetjük felírni az oldalak közti arányokat. Gondolkodjunk csak! Ismerjük az AC hosszát, AC = 8, 6 + 2. Tehát tudjuk, hogy AC – melyik is a neki megfeleltethető oldal ebben a háromszögben? Nézzük csak meg a betűket! A és C megfeleltethető BC-nek. Az első és a harmadik és itt is az első és a harmadik. AC megfeleltethető BC-nek. És ez ugye érdekes, mert máris bevonjuk a BC-t. Na és ez minek fog megfelelni? Ha ugyanis most BC-t a nagyobb háromszögben vizsgáljuk, akkor BC melyik oldalnak fog megfelelni a kisebb háromszögben? Ez a DC-nek fog megfelelni. És ez így pont jó, mert AC hosszát ismerjük, és DC hosszát is. Így tehát meg tudjuk oldani az egyenletet BC-re. De előbb még egy lépést szeretnék mutatni, mit is csináltunk itt valójában, hiszen a BC-nek kettős szerepe van. Az első állításunkban, amikor a BC-t vizsgáltuk, BC a kisebb háromszögben a nagyobb háromszög AC oldalának felelt meg. A második állításban pedig a nagyobb háromszögünk oldalaként a BC a kisebb háromszög DC oldalának feleltethető meg. Ez itt a nagyobb háromszögre, ez pedig a kisebb háromszögre vonatkozik, a megfelelő oldalaikra. És ez egy jópofa dolog, mert a BC itt kettős szerepet játszik a két háromszögben. Mindenesetre most már elég információnk van BC kiszámolásához. Tudjuk, hogy AC = 8, hiszen 6 + 2 = 8, és tudjuk, hogy DC = 2, hiszen ez meg volt adva. Most már beszorozhatunk, nyolcszor kettő, az 16, ez lesz egyenlő BC-szer BC-vel, ami BC a négyzeten. BC tehát egyenlő négyzetgyök 16-tal, ami 4. BC tehát egyenlő 4-gyel, és ezzel meg is vagyunk. A legnehezebb ebben a feladatban, hogy megértsük BC kettős szerepét, és figyeljünk erre a két különböző szerepre. És hogy ezt még jobban megvilágítsam, lerajzolom külön is ezt a két háromszöget. Ha tehát az ABC háromszöget külön rajzolom, akkor az ABC háromszögem így nézne ki. Ez derékszög, ez itt a narancsszínű szögünk, ismerjük ennek az oldalnak a hosszát, ez 8. És tudjuk, hogy ennek az oldalnak a hossza, ahogy az iménti feladatban kiszámoltuk, 4. És ha most le akarnánk rajzolni BDC-t, akkor így rajzolnánk, akkor a BDC háromszög így nézne ki. Ez tehát BDC. Ezt most már egy kicsit könnyebb elképzelni. Ez itt a derékszög, ez pedig a narancsszínű szög. Ez itt négy, ez pedig kettő. És azért rajzoltam így, hogy megmutassam, hogy ezt a háromszöget tükröznöd kell, majd pedig el kell forgatnod, hogy ugyanarra nézzen. És akkor máris jobban fogod látni. De ha ez így még zavaró neked, arra bíztatlak, hogy próbáld meg tükrözni és elforgatni a BDC-t úgy, hogy hasonlónak nézzen ki az ABC-hez. És ekkor ez az arány remélhetőleg sokkal több értelmet nyer majd.