Egyenletrendszer megoldása: konzisztens vagy inkonzisztens

Az alábbi elsőfokú egyenletrendszer konzisztens vagy inkonzisztens? Megadták, hogy x + 2y = 13, és 3x - y = -11. A kérdés megválaszolásához tudnunk kell, mit jelent az, hogy konzisztens vagy inkonzisztens. Tehát a konzisztens egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, az inkonzisztens egyenletrendszernek pedig – gondolhatod – nincs megoldása. Ha az ábrázolására gondolunk, hogy nézne ki a konzisztens egyenletrendszer grafikonja? Hadd rajzoljak egy nagyon elnagyolt ábrát! Tehát ez az x tengely, ez az y tengely. Ha van két különböző egyenes, amelyek metszik egymást, akkor ez konzisztens lenne. Itt van egy egyenes, és itt van egy másik egyenes. Világos, hogy ez az egy megoldás van, ahol a két egyenes metszi egymást, tehát ez konzisztens lenne. Akkor is konzisztens lenne az egyenletrendszer, ha ugyanaz lenne az egyenesük, mert akkor egy csomó közös pontjuk lenne, végtelen sok közös pontjuk lenne. Mondjuk, az egyik egyenes így néz ki, és a másik egyenes pontosan ugyanez az egyenes, pontosan itt van rajta. Ennek a két egyenesnek minden pontja közös, tehát ez is konzisztens lenne. Az inkonzisztens egyenletrendszernek nem lenne megoldása. Ismét megrajzolom a tengelyeket. Ennek nem lesz megoldása. Az egyetlen lehetőség arra, hogy van két egyenes két dimenzióban, és nincs megoldás, az az, hogy nincs közös pontjuk, vagyis párhuzamosak. Tehát az egyik egyenes kinézhet így, és a másik egyenesnek ugyanakkora lenne a meredeksége, de el lenne tolva, ennek más lenne az y tengelymetszete, tehát így nézne ki. Tehát így nézne ki egy inkonzisztens egyenletrendszer, az egyenesek párhuzamosak lennének. Ez itt inkonzisztens. Szóval azt csinálhatjuk, hogy nagyjából ábrázoljuk ezt a két egyenest, és megnézzük, metszik-e egymást. Egy másik módszer, hogy megnézheted a meredekségeket, és ha ugyanaz a meredekségük, és különböző az y tengelymetszetük, akkor az egy inkonzisztens egyenletrendszer lenne. De ábrázoljuk az egyeneseket! Megrajzolom az x tengelyt, és megrajzolom az y tengelyt. Ez az x és ez az y. Többféleképpen is csinálhatnánk. A legegyszerűbb módszer az, hogy keresünk két olyan pontot az egyeneseken, amelyek kielégítik az egyenletüket, ennyi elég az egyenes megadásához. Az elsőhöz készítsünk egy kis táblázatot, x és y. Ha x = 0, akkor 2y = 13, vagyis y = 13/2, ami ugyanaz, mint 6 egész 1/2. Tehát ha x = 0, akkor y = 6 1/2. Bejelölöm itt, ez a (0; 13/2) pont. Aztán nézzük, mi a helyzet, ha y = 0. Ha y = 0, akkor 2y is 0. x = 13. Tehát a (13; 0) pont lesz. Ez a (0; 6 1/2), ezért a (13; 0) körülbelül itt lenne. Csak hozzávetőlegesen csináljuk, (13; 0). Tehát ez az egyenes... ez az egyenlet ezzel az egyenessel szemléltethető. Megpróbálom a lehető legjobban megrajzolni. Valahogy így nézne ki. Most pedig foglalkozzunk ezzel! Ismét csináljunk egy kis táblázatot, x és y. Tulajdonképpen csak keresek két pontot ezen a grafikonon. Tehát ha x = 0, akkor 3-szor 0 az 0, azt kapjuk, hogy -y = -11, vagyis y = 11. Tehát ez a (0; 11) pont, talán itt van. A (0; 11) pont rajta van ezen az egyenesen. Aztán ha y = 0, akkor 3x - 0 = -11, vagyis 3x = -11. Ha elosztjuk mindkét oldalt 3-mal, azt kapjuk, hogy x = -11/3. Ez pontosan ugyanaz, mint -3 egész 2/3. Tehát ha y = 0, akkor x = -3 2/3. Talán ez itt kb. 6, úgyhogy a -3 2/3 nagyjából itt lenne. Tehát ez a (-11/3; 0) pont. Így a második egyenlet valahogy így fog kinézni. Most már világos – lehet, hogy nem lett tökéletes, ahogy szabad kézzel rajzoltam –, világos, hogy a két egyenes metszi egymást. Itt metszik egymást. És a válasz a kérdésre – még csak meg sem kell keresni azt a pontot, ahol metszik egymást, csak azt kell látni nagyon világosan, hogy a két egyenes metszi egymást. Tehát ez egy konzisztens egyenletrendszer, egy megoldása van. Akkor konzisztens, ha legalább egy megoldása van. Még egyszer: az egyenletrendszer konzisztens.