Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 1.

A király tanácsadója, Arbegla figyeli az egész beszélgetést közted, a király és a madár között. És kezd egy kicsit féltékeny lenni, mert ő lenne a királyság bölcse, a király legközelebbi tanácsadója. Úgyhogy előrelép, és azt mondja: – Jó, ha te és ez a madár olyan okosak vagytok, mi lenne, ha megfejtenétek a gyümölcsárak rejtélyét? A király azt mondja: – Igen, ez egy olyan dolog, amire nem tudtunk rájönni. A gyümölcsárak. Arbegla, mondd el nekik a gyümölcsár rejtélyt! Arbegla azt mondja: – Nos, szeretnénk nyomon követni, mennyibe kerülnek a gyümölcsök, de elfelejtettük feljegyezni, hogy mennyi az áruk, amikor elmentünk a piacra. Azt viszont tudjuk, hogy összesen mennyit költöttünk, és tudjuk, hogy mennyit vettünk. Tudjuk, hogy amikor egy héttel ezelőtt elmentünk a piacra, két font almát vettünk (1 font kb. 0,45 kg), két font almát vettünk és egy font banánt, egy font banánt, azt hiszem. Ez akkor összesen 3 dollárba került, 3 dollár volt, 3 dollár volt összesen. És amikor előtte elmentünk, az előző alkalommal, 6 font banánt vettünk, vagyis 6 font almát akartam mondani, 6 font almát és 3 font, 3 font banánt. És akkor ez összesen 15 dollárba került. Tehát mennyibe kerül az alma és a banán? Ránézel a madárra, a madár rád néz, és belesúg a király fülébe. A király így szól: – Azt mondja a madár, hogy kezdjük a változók értelmezésével, kezdjük el kifejezni ezt a dolgot algebrailag. Tehát ezt fogod csinálni. Azt akarjuk kiszámolni, hogy mennyibe kerül az alma és a banán. Fontonként. Tehát bevezetünk néhány változót. Legyen 'a' az alma ára fontonként, per font. És legyen b a banán ára, banán, banán per font. Hogyan értelmezhetnénk ezt az első információt itt? Két font alma és egy font banán 3 dollárba kerül. Mennyibe kerül az alma? 2 font szorozva egy font árával, szorozva 'a'-val, ez lesz az alma ára összesen ebben az esetben. És mennyibe kerül a banán? 1 font szorozva egy font árával, tehát ez csak b lesz, ez a banán ára összesen, mert tudjuk, hogy 1 font banánt vettünk. Az alma és a banán együtt tehát 2a + b lesz, és tudjuk, hogy ez összesen 3 dollárba kerül. Csináljuk meg ugyanezt a másik alkalomra, amikor elmentünk a piacra! 6 font alma, az ára összesen 6 font szorozva 'a' dollár per font, és a banán ára – nos, 3 font banánt vettünk, és egy font ára b, tehát az alma és a banán ára összesen ebben az esetben 15 lesz, 15 dollár lesz. Gondolkodjunk el azon, hogyan akarjuk ezt megoldani. Használhatjuk az egyenlő együtthatók módszerét, használhatjuk a behelyettesítést, bárhogy is akarjuk, grafikusan is csinálhatjuk. Próbáljuk meg először kiküszöböléssel! Először azt csinálom, hogy mondjuk, ki akarom küszöbölni az 'a' változót. Itt 2a van, itt pedig 6a van, tehát ha ezt az egész egyenletet megszorzom -3-mal, akkor ebből a 2a-ból -6a lesz, utána ez meg ez kiejtik egymást. Csináljuk meg! Megszorzom az egész egyenletet -3-mal, szorozva -3-mal, tehát -3-szor 2a az -6a, -3-szor b az -3b, és -3-szor 3 az -9. Most pedig összeadhatjuk a két egyenletet, vagyis ennek a bal oldalát hozzáadjuk ennek a bal oldalához, ennek az egyenletnek a jobb oldalát pedig hozzáadjuk ennek a jobb oldalához. Lényegében ugyanazt adjuk hozzá ennek az egyenletnek a két oldalához, mert tudjuk, hogy ez egyenlő ezzel. Csináljuk meg! Tehát a bal oldalon a 6a és a -6a kiejtik egymást. De valami más érdekes is történik: ez a 3b és a -3b is kiejtik egymást, vagyis a bal oldalon 0 marad. És a jobb oldalon mi lesz? 15 - 9 = 6. Tehát ezt a furcsa állítást kaptuk. Minden változó kiesett, és ez a furcsa, értelmetlen állítás maradt, hogy 0 = 6, amiről tudjuk, hogy biztosan nem így van. Szóval mi történik itt? Azt kérded, mi történik, aztán ránézel a madárra, mert a madár tűnik a leghozzáértőbb személynek a szobában, vagy legalábbis a leghozzáértőbb gerincesnek a szobában. A madár belesúg a király fülébe, és a király így szól: – Azt mondja, nincs megoldás, megpróbálhatnád ábrázolni grafikusan, hogy legalább lássuk, miért nincs. Te azt mondod: – Úgy tűnik, a madár tudja, mit beszél. Megpróbálom ábrázolni ezt a két egyenletet, hogy lássam, mi történik. Tehát azt csinálod, hogy veszed ezeket az egyenleteket, és amikor ábrázolod ezeket, átalakítod y tengelymetszet, vagyis meredekség-tengelymetszet alakba. Tehát ezt csinálod, és azt mondod: – Mindkettőből kifejezem a b-t. Amikor ebből az első egyenletből ki akarod fejezni a b-t, csak kivonsz mindkét oldalból 2a-t. Ha az első egyenletben mindkét oldalból kivonsz 2a-t, azt kapod, hogy b = -2a + 3. Most fejezzük ki a második egyenletből is a b-t! Először érdemes kivonni mindkét oldalból 6a-t. Így azt kapod... Itt fogom csinálni. Azt kapod, hogy 3b = -6a + 15. Utána eloszthatod mindkét oldalt 3-mal, és azt kapod, hogy b = -2a + 5. Tehát a második egyenlet – visszatérek a másik zöld árnyalathoz – b = -2a + 5. Még nem is ábrázoltuk, de látszik, hogy valami érdekes dolog történik. Mindkettőnek pontosan ugyanannyi a meredeksége – ha kifejezed b-t –, de különbözőnek tűnik – hívjuk így – a b tengelymetszet. Ábrázoljuk, és nézzük, mi történik! Megrajzolom a tengelyeket, hívjuk ezt b tengelynek, ez pedig az 'a' tengely. Az első egyenlet b tengelymetszete +3 – nézzük, 1, 2, 3, 4, 5 –, az első b tengelymetszete +3, és a meredeksége -2, tehát lefele mész, vagyis jobbra mész egyet, és lefelé kettőt. Jobbra egyet, lefelé kettőt. Tehát valahogy így néz ki az egyenes – igyekszem minden tőlem telhetőt megtenni, hogy egyenesre rajzoljam –, tehát valahogy így néz ki. Most megrajzolom ezt a zöldet is. A zöld egyenes b tengelymetszete 5, szóval itt van. A meredeksége ugyanannyi, a meredeksége -2, tehát valahogy így néz ki. És rögtön látod, hogy a madárnak igaza volt. Nincs megoldás, mert ez a két feltétel olyan egyenesekkel szemléltethető, amelyek nem metszik egymást. Az egyenesek tehát nem metszik egymást. Így a madárnak igaza volt, nincs megoldás, nincs olyan 'a' és b, amellyel ez az állítás igaz lenne. Vagyis 0 = 6 jön ki, ez nem lehetséges, a kettő között nincs átfedés. És valami elkezd motoszkálni az agyadban. Rájössz, hogy Arbegla megpróbált becsapni téged. Azt mondod: – Arbegla, te egymásnak ellentmondó információkat adtál meg! Ez egy inkonzisztens (ellentmondó) egyenletrendszer! Inkonzisztens. Ezt a szót történetesen akkor használjuk, ha olyan egyenletrendszerről van szó, amelynek nincs megoldása, aminek az egyenesei nem metszik egymást. Ezért ez az információ helytelen. Nem tudjuk, hogy az alma vagy a banán... vagy hazudsz, ami lehetséges, vagy rosszul számoltál, vagy esetleg tényleg megváltozott az alma vagy a banán ára a piacon a két vásárlás között. Ekkor a madár belesúg a király fülébe, és azt mondja: – Ó, ez a fickó nem is olyan rossz ebben az algebra dologban!