Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 2.

Arbegla kezd dühös lenni, és szégyenkezik amiatt, ahogy te és a madár beállítottátok a király előtt, és kiviharzik a szobából. Aztán néhány másodperc múlva visszarohan. Azt mondja: – Az én hibám, elnézést kérek. Rájöttem már, mi volt a hiba. Azt hiszem, volt egy apró gépelési hiba vagy elírás. Az első héten, amikor elmentek a piacra, és két font almát és egy font banánt vettek, akkor az nem 3 dollárba került, hanem 5 dollárba került. Most már biztosan – figyelembe véve, hogy milyen okosnak tűntök, te és ez a madár –, most már biztosan ki tudjátok számolni, mennyibe kerül egy font alma, és mennyibe kerül egy font banán. Elgondolkodsz egy kicsit: vajon most lesz megoldás? Csináljuk meg lépésről lépésre, pontosan ugyanazokat a változókat használva! Azt mondod, hogy ha 'a' az alma ára fontonként, és b a banán ára, akkor az első feltétel szerint 2 font alma ára 2a lesz, mert 'a' dollárba kerül fontonként, és egy font banán ára b dollár lesz, mert 1 font szorozva b dollár per fonttal, ez most 5 dollárba kerül, ez a helyesbített szám. Láttuk, hogy az utolsó esetben – ez az információ nem változott – 6 font alma ára 6a, 6 font szorozva 'a' dollár/fonttal, és 3 font banán ára 3b, 3 font szorozva b dollár/fonttal. Az alma és a banán ára összesen ebben az esetben 15 dollár. Azt mondod, hogy ismét kiküszöböléssel próbálod megoldani, és ismét az 'a'-t küszöbölöd ki. Itt 2a van, itt 6a van, ha megszorzom a 2a-t -3-mal, akkor ez -6a lesz, és akkor talán ez az egész kiesik. Tehát ezt csinálod. Megszorzod az egész egyenletet. Nem lehet csak egy tagot szorozni, meg kell szorozni az egész egyenletet -3-mal, ha azt szeretnéd, hogy az egyenlet továbbra is fennálljon. Tehát szorzunk -3-mal. 2a szorozva -3-mal az -6a, b szorozva -3-mal az -3b, és 5 szorozva -3-mal az -15. És most úgy néz ki, hogy valami furcsa dolog fog történni, mert amikor hozzáadod ennek a kék vagy lilás egyenletnek a bal oldalát a zöld bal oldalához, akkor 0-t kapsz. Ezek itt mind kiesnek. És a jobb oldalon 15 mínusz 15, ez is nulla. Azt kapod, hogy 0 = 0, ami egy kicsit jobbnak tűnik, mint amit legutóbb kaptál, akkor azt kaptuk, hogy 0 = 6, De a 0 = 0 valójában nem mond semmit 'a'-ról és b-ről. Ez igaz, ez teljes mértékben igaz, hogy 0 = 0, de nem ad semmi információt 'a'-ról és b-ről. Ekkor a madár belesúg a király fülébe, és a király így szól: – Azt mondja a madár, hogy ábrázolnod kellene, hogy rájöjj, mi történik valójában. Már megtanultad, hogy érdemes hallgatni a madárra, ezért megpróbálod ábrázolni ezt a két feltételt. Csináljuk meg ugyanúgy! Lesz egy b tengely, ez a b tengely, és lesz egy 'a' tengely. Bejelölök néhány számot – 1, 2, 3, 4, 5, és 1, 2, 3, 4, 5. Ha az első egyenletben mindkét oldalból kivonunk 2a-t – meredekség-tengelymetszet alakra hozom –, azt kapjuk, hogy b = -2a + 5. Annyit csináltam, hogy kivontam 2a-t mindkét oldalból. És ha ezt ábrázoljuk, akkor a b tengelymetszet az 'a' = 0, b = 5 pont lesz, tehát ez itt. A meredekség -2, ha az 'a'-t növeled 1-gyel – tehát ha 0-ról 1-re nő –, akkor a b lemegy 2-vel, lemegy 2-vel. Tehát az első, a fehér egyenlet így néz ki, ha ábrázoljuk a megoldáshalmazt. Ezek mind olyan banán és alma árak, amelyek megfelelnek ennek a feltételnek. Ábrázoljuk ezt a második egyenletet is! Ha kivonunk mindkét oldalból 6a-t, azt kapjuk, hogy 3b = -6a + 15. Most eloszthatjuk mindkét oldalt 3-mal, mindent osztunk 3-mal. Az marad, hogy b = -2a +5. Ez érdekes, ez nagyon hasonlónak tűnik, vagyis pontosan ugyanaz. A b-tengelymetszet 5, a meredekség -2, tehát ez ugyanaz az egyenes. Tehát ez a két feltétel lényegében ugyanaz. Kicsit zavartan kezded el nézni, és azt mondod: – Oké, látom, miért kaptunk 0 = 0-t. Ennek végtelen sok megoldása van. Kiválasztasz egy tetszőleges 'a'-t, veszed a hozzá tartozó b-t, és minden egyes ilyen számpár megoldása lehet mindkét egyenletnek. Tehát végtelen sok megoldás van. De elgondolkodsz, miért történik ez? Akkor a madár ismét belesúg a király fülébe, és a király így szól: – A madár azt mondja, ez azért van, mert mindkét alkalommal, amikor a piacra mentek, ugyanakkora volt az aránya a vásárolt almának és banánnak. A zöld út alkalmával, szemben a fehérrel, háromszor annyi almát vettek, és háromszor annyi banánt vettek, és ez háromszor annyiba került. Tehát bármilyen helyzetben, bármilyen alma és banán árak mellett, ha pontosan háromszor annyi almát veszel, és háromszor annyi banánt veszel, az ár háromszoros lesz, ez bármilyen ár esetén igaz. Ez tulajdonképpen konzisztens. Nem mondhatjuk, hogy Arbegla hazudik nekünk, de nem ad elég információt. Ezt konzisztens (ellentmondásmentes) egyenletrendszernek hívjuk, ez konzisztens információ. Hadd írjam le! Konzisztens. Ez konzisztens, 0 = 0. Itt nincs semmiféle ármánykodás, de nincs elég információ. Ez az egyenletrendszer függő, és végtelen sok megoldása van. Ennek az egyenesnek minden pontja egy megoldást jelent. Azt mondod Arbeglának: – Ha valóban azt szeretnéd, hogy kiszámoljuk ezt, több információt kell adnod, és lehetőleg más legyen a vásárolt alma és banán aránya.