Fő tartalom
Az algebra alapjai
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 5. témakör
4. lecke: Egyenletrendszer megoldásainak a száma- Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 1.
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma: gyümölcsárak 2.
- Egyenletrendszer megoldása: konzisztens vagy inkonzisztens
- Egyenletrendszer megoldása: függő vagy független
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
- Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása algebrailag
- Hány megoldása van egy egyenletrendszernek, ha van legalább kettő?
- Egyenletrendszer megoldásainak a száma – összefoglalás
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés
Egyenletrendszer megoldásai számának meghatározása grafikusan
Sal az egyenletek grafikonja alapján meghatározza, hány megoldása van a következő egyenletrendszernek: 10x - 2y = 4 és 10x - 2y = 16. Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Hogy az Arbeglák ne nehezítsék meg
az életünket, főleg ha nincsenek beszélő madaraink,
akik segítenek nekünk, képesnek kell lennünk
felismerni, amikor a dolgok egy kicsit
furcsán alakulnak az egyenletrendszerek
megoldása során. Amikor végtelen sok
megoldás van, vagy amikor egyáltalán nincs megoldás. Tekintsük át egy kicsit,
mi történhet, gondoljuk végig
a három esetet. Az első eset, amivel kezdtünk, amikor van két egyenes, amelyek csak egy helyen
metszik egymást, ekkor lényegében
egy megoldás van. Tehát ha grafikusan ábrázolnánk, egy megoldás lenne, ez itt,
egy megoldás. Ez azt jelenti, hogy a két feltétel
konzisztens, és a két feltétel
független egymástól. Nem ugyanaz a két egyenes,
konzisztens és független. Aztán a másik eset,
amikor inkonzisztensek, van közös pontjuk, de a kettő lényegében
ugyanaz az egyenes. Minden pontjuk közös. Tehát ez az egyik feltétel,
az egyik egyenlet, és a másik, ha megnézed,
ha ábrázolod, a másik pontosan ugyanaz
az egyenes. Tehát itt végtelen sok
megoldás van. Ez konzisztens,
van megoldás, de ezek az egyenletek
függők, ez egy függő egyenletrendszer. És az utolsó eset – ha két dimenzióban dolgozol –, az utolsó eset az, amikor a két egyenes
nem metszi egymást. Az egyik lehet ilyen, a másik pedig lehet ilyen. Pontosan ugyanakkora
a meredekségük, de különböző a tengelymetszetük. Tehát itt nincs megoldás,
sehol sem metszik egymást. Ezt inkonzisztens
egyenletrendszernek nevezzük. Ha végig akarnád gondolni,
mi történhet, csak gondolj ezekre az esetekre. Itt különbözők a meredekségek. Ha erre gondolsz, két különböző egyenes
különböző meredekséggel biztos, hogy pontosan egy helyen
metszi egymást. Itt ugyanakkora a meredekségük
és ugyanaz az y tengelymetszetük, tehát végtelen sok megoldás van. Itt ugyanakkora a meredekség,
de különböző az y tengelymetszet, így nem kapsz megoldást. Tehát amikor egyenletrendszert
oldasz meg, a dolgok egy kicsit
furcsán alakulnak, amikor ugyanakkora
a meredekség. És ha belegondolsz, hogy mit jelent
a(z egyenlő) meredekség – és arra biztatlak, próbáld ki ezt
különböző egyenletekkel –, az azt jelenti, hogy ha az x és y
vagy a és b, vagyis a változók ugyanazon az oldalon vannak, akkor az együtthatóik aránya
ugyanakkora. Ezt figyelembe véve,
ezt szem előtt tartva nézzük, át tudjuk-e gondolni, milyen típusú megoldásokat
találhatunk. Ezt vegyük le! Azt kérik, határozd meg, hány megoldása van
az egyenletrendszernek. 10x - 2y = 4, és 10x - 2y = 16. Az alapján, amiről az előbb beszéltünk, az x és az y az egyenleteknek
ugyanazon az oldalán van, és az együtthatók aránya
10 a -2-höz. Ugyanaz az arány, tehát valami furcsa dolog
fog itt történni. Az x-ek és y-ok ugyanolyan
kombinációja az elsőben 4-et eredményez,
a másodikban pedig 16-ot. Ez egy kicsit furcsának tűnik. Úgy is gondolkodhatunk, hogy ugyanannyi x
és ugyanannyi y van, de a jobb oldalon különböző
számokat kapunk. Tehát ha egyszerűsítenénk ezt – akár meg is nézhetnénk a segítséget,
hogy lássuk, mit írnak –, látnánk, hogy végül ugyanannyi lesz a meredekség, de különbözők lesznek
az y tengelymetszetek. Tehát mindkettőt átalakítjuk
meredekség-tengelymetszet alakba, és látod, hogy az egyik, a kék
y = 5x - 2 lesz, a zöld pedig
y = 5x - 8. Ugyanaz a meredekség, ugyanaz az arány
az x és y együtthatói között, de ezek az értékek különbözők, az y tengelymetszetek különbözők. Tehát itt nincs megoldás. Ez ez az eset itt,
ha ábrázolnád. Nincs megoldás,
ellenőrizzük! Menjünk a következő kérdésre! Nézzük meg ezt itt! Itt -5x és -1y van, itt pedig 4x és 1y. Úgy látszik, hogy az arány – ha megnézzük, az x-ek és az y-ok
mindkettőnél a bal oldalon vannak –, úgy látszik, hogy az x és y
együtthatóinak az aránya különböző. Itt 5x jut minden y-ra, vagyis -5x jut minden -y-ra, itt pedig 4x jut minden y-ra, tehát ez alapvetően különböző arány. Szóval rögtön az elején mondhatnád, hogy ezek pontosan egy helyen
fogják metszeni egymást. Ha átírnád meredekség-tengelymetszet
alakba, látnád, hogy különböző
a meredekségük. Tehát azt mondhatod,
hogy ennek egy megoldása van, és ellenőrizheted a választ. És megnézheted a megoldást,
csak megerősítésnek. Javaslom, hogy nézd meg. Tehát látod, hogy a kék – ha meredekség-tengelymetszet
alakra hozod – y = -5x +10, és ha a zöldet meredekség-tengelymetszet
alakra hozod, akkor y = -4x - 8 lesz. Tehát a meredekségek különbözők, biztos, hogy pontosan egy helyen
metszik egymást, egy megoldás lesz. Próbáljunk meg még egyet! 2x + y = -3, és ez eléggé egyértelmű, 2x + y = -3, teljesen ugyanaz a két egyenlet. Tehát ez konzisztens információ,
kétségkívül van megoldás, de végtelen sok megoldás van. Ez egy függő egyenletrendszer, végtelen sok megoldása van. Ellenőrizhetjük a választ. Csináljunk meg még egyet,
mert ez egy kicsit túl könnyű volt. Oké, ez érdekes, a két egyenlet különböző alakú. 2x + y = -4, y = -2x - 4. Vegyük ezt az első, kék egyenletet, és hozzuk meredekség-tengelymetszet alakra! Ha megcsinálnánk, azt kapnánk... ha egyszerűen kivonunk 2x-et
mindkét oldalból, azt kapjuk, hogy y = -2x - 4, ami pontosan ugyanaz,
mint ez az egyenlet. Ismét ugyanaz a két egyenlet. Végtelen sok megoldás van. Ellenőrizd a választ,
és itt láthatod a megoldást. A kéket átalakítod
meredekség-tengelymetszet alakba, és pontosan ugyanazt kapod, mint a zöld egyenlet.