Egyenletrendszerek grafikus megoldása: pontos és közelítő megoldás

A következő két egyenlet egyenletrendszert alkot. Ez az egyik egyenlet, x-et és y-t tartalmaz, tehát meghatároz egy egyenest. Aztán van egy másik egyenlet, ami x-et és y-t tartalmaz, tehát ez meghatároz egy másik egyenest. Az a feladat, hogy ábrázold az egyenletrendszert, és keresd meg a megoldást. Tehát ábrázolással próbáljuk megkeresni. Ábrázoljuk az elsőt! Ennek az egyenesnek a grafikonja... – van egy kis eszközöm az ábrázoláshoz. Ha találunk két pontot – körbe tudom mozgatni ezeket a pontokat –, akkor ezek meghatározzák az egyenesünket. Kiválasztok két x értéket, kiszámolom a hozzájuk tartozó y értékeket, aztán ábrázolom az egyenest. Lássuk, hogy tudnám ezt megcsinálni! Nézzünk egy egyszerű esetet: mi történik, ha x = 0. Nos, ha x = 0, akkor amit beszíneztem, eltűnik, és az marad, hogy -3y = 9. Tehát -3y = 9, y mínusz 3 lesz. Ha x = 0, akkor y = -3. Hadd ábrázoljam ezt! Ha x = 0... x = 0, y = -3. Egy másik könnyű pont... ahelyett, hogy egy másik x értéket próbálnánk ki, gondolkodjunk el azon, hogy ha y = 0. Mivel ezek az egyenletek általános alakban vannak, így egyszerű kipróbálni. Nos, mik az x és y tengelymetszetek? Ha y = 0, ez a tag eltűnik, és azt kapjuk, hogy -x = 9, vagyis x = -9. Tehát ha y = 0, akkor x = -9, vagy ha x = -9, akkor y = 0. Tehát ábrázoltam ezt az első egyenletet. Most pedig csináljuk meg a másodikat! Ugyanazt fogom csinálni. Mi történik, ha x = 0? Ha x = 0 – ez lesz az y tengelymetszet –, ha x = 0, akkor -6y = -6, y-nak egyenlőnek kell lennie 1-gyel. Tehát amikor x = 0, akkor y = 1. Vegyünk még egy pontot! Ha y = 0, ha ez a tag 0 – ha y nulla, akkor ezt az egész tagot nullává teszi –, akkor 6x = -6, vagyis x = -1. Tehát ha y = 0, akkor x = -1, vagy ha x = -1, akkor y = 0. És így megrajzoltam a két egyenest. Az egyenletrendszer megoldása az az x és y érték, amelyek kielégítik mindkét egyenletet, és ha kielégítik mindkét egyenletet, ez azt jelenti, hogy mindkét egyenesre illeszkednek. Ha mindkét egyenesen rajta vannak, akkor ez a metszéspont lesz. Látom a metszéspontot itt, elég jól látszik, hogy ez az x = -3, y = -2 pont. Hadd írjam le! (-3; -2). Akkor ellenőrizhetem a választ: jó lett. Csináljunk meg egy másikat ezek közül! Talán egy más típusút. Szóval itt ez áll: Az alábbi grafikonon egy elsőfokú egyenletrendszer látható. Becsüld meg az egyenletrendszer megoldását! Rendben, tehát csak meg kell néznem alaposan, és át kell gondolnom, hol van ez a pont. Gondolkodjunk először az x értékről! x érték, kb. itt van, ha az x-et nézzük. Úgy tűnik... szóval ez a -1, ez a -2, a -1,5 itt lesz. Egy kicsit balra van a -1,5-től, tehát ez még negatívabb, -1,6-nek mondanám. Közelítőleg -1,6. Remélhetőleg van egy kis mozgástér, amikor ellenőrzi a választ. Mi a helyzet az y értékkel? Ha megnézem ezt az y értéket, úgy tűnik, hogy egy kicsit kisebb, mint másfél. A másfél az 1 és a 2 között középen lenne, ez úgy látszik, egy kicsit kisebb, mint az 1 és 2 között középen levő szám, szóval 1,4-et mondanék, plusz 1,4. Ellenőrizzük a választ, nézzük, hogy állunk. Igen, jó lett. Csináljunk meg még egyet a biztonság kedvéért! Tehát ez egy másik egyenletrendszer. Most éppen meredekség-tengelymetszet alakban írták fel az egyenleteket. Nézzük: y = -7x + 3. Ha x = 0 – ez az y tengelymetszet –, akkor y = 3. Tehát ha x = 0, akkor y = 3. És látjuk, hogy a meredekség -7. Ha x-et növeljük 1-gyel, y-t csökkentjük 7-tel. Ha x-et növeljük 1-gyel, y-t csökkentjük 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7-tel. Ha x 0-tól elmegy 1-ig, akkor y 3-től -4-ig ment, lement 7-tel. Ez tehát az első. Most pedig a másodikat! Az y tengelymetszet: ha x = 0, akkor y = -3. Hadd ábrázoljam! Ha x nulla, akkor y = -3. A meredeksége -1: amikor x nő 1-gyel, y csökken 1-gyel. Itt a meredekség -1, amikor x nő 1-gyel, y csökken 1-gyel. És itt van, itt van a metszéspont. Megvan az x, y számpár, ami mindkét egyenletet kielégíti. Ez a metszéspont. Mindkét egyenesen rajta van, éppen ezért ez a metszéspont. Ez az x = 1, y = -4 pont. Ellenőrizhetem a választ – és jól csináltuk.