Egyenletrendszer: a manó és a bankjegyek 1. rész

Valamilyen furcsa meseországban jársz, és próbálsz eljutni a kastélyhoz, ide fel, hogy megmentsd a királylányt vagy a királyfit, vagy bárkit is próbálsz megmenteni. De ahhoz, hogy eljuss ide, át kell kelned ezen a folyón. Nem tudod átúszni, mert ez egy nagyon haragos folyó. Tehát ezen a hídon kell átmenned. Ahogy közeledsz a hídhoz, megjelenik ez az undok manó. Ez itt az undok manó. Azt mondja: – Én egy nagylelkű manó vagyok, csak 5 dollárt kell fizetned. És amikor egy kicsit jobban körülnézel, látod, hogy valóban van ott egy tábla, amire ki van írva, hogy 5 dollár hídpénzért lehet átkelni. Azonban sajnos semennyi pénz sincs a zsebedben. A manó pedig azt mondja, hogy jó, akkor nem mehetsz át. Te pedig azt mondod, hogy de nekem tényleg el kell jutnom abba a kastélyba. És akkor a manó azt mondja: – Egy kicsit megsajnáltalak. Ahelyett, hogy fizetsz 5 dollárt, feladok neked egy találós kérdést. A találós kérdés a következő: – és most mint a manó beszélek – Én egy gazdag manó vagyok, mert 5 dollárt kapok mindenkitől, aki átmegy a hídon. Csak 5 és 10 dolláros bankjegyeket fogadok el. (Ez egy kicsit talányos, hogy miért fogadják el az amerikai valutát ebben a meseországban, de vegyük ezt most adottnak.) Tehát csak 5 és 10 dollárosokat fogadok el. (Én vagyok a manó.) Természetesen ha 10 dollárost adsz, visszaadok 5 dollárt. És tudom – mert naponta megszámolom a pénzemet, takarékos manó vagyok –, tudom, hogy összesen 900 bankjegyem van. Hadd írjam le! Összesen 900 bankjegyem van, összesen 900 darab 5 és 10 dollárosom. És azt mondja: – Mivel nagyon segítőkész vagyok, adok neked még egy információt. Azt mondja: – Ha összeadnád az összes pénzem értékét, ami mind 5 és 10 dollárosokban van, az összes 5 és 10 dollárosom értékét – én, mint manó beszélek a bankjegyekről –, akkor 5500 dollárt kapnál. Ez egy gazdag manó, 5500 dollár. Tehát a találós kérdés az, hogy pontosan... És ha rossz választ adsz, és ha nem tudod megoldani 10 perc alatt, egyszerűen csak bele fog dobni a folyóba, vagy valami szörnyűséget csinál veled. Azt mondja: – Pontosan hány 5 és 10 dollárosom van nekem, a manónak? Tehát az első dolog, amit végig kell gondolni, hogy egyáltalán megoldható-e ez a feladat? Mert ha megoldhatatlan, akkor valószínűleg el kellene futnod, amilyen gyorsan csak tudsz, az ellenkező irányba. Szóval most megmondom neked: igen, ez egy megoldható feladat. Kezdjünk el egy kicsit algebrailag gondolkodni, és ehhez vezessünk be pár változót! Olyan változókat vezetek be, amelyeket valóban megpróbálunk kiszámítani. Megpróbáljuk kiszámítani az 5 dolláros bankjegyek számát és a 10 dolláros bankjegyek számát. Tehát definiáljunk néhány változót! Azt mondom, f mint five (öt) f legyen egyenlő az 5 dolláros bankjegyeink számával. És ugyanezt az elvet használom, t legyen egyenlő a 10 dolláros bankjegyeink számával. Nos, ezen információk birtokában... – nem tudom biztosan, hogy kinek a nevében beszélek, de mondjuk, még mindig manóként beszélek. Én egy nagyon segítőkész manó vagyok, adok neked ötleteket. Ha adottak ezek az információk, és bevezettük ezeket a változókat, ki tudom fejezni a találós kérdés adatait matematikailag? Fókuszáljunk az első információra! Ki tudom fejezni ezt az információt, hogy összesen 900 darab az 5 és 10 dollárosok száma, ki tudom fejezni ezt matematikailag, hogy összesen 900 darab 5 és 10 dollárosom van? Nos, mennyi is lesz az összes bankjegy? Ez az 5 dollárosaink száma, ami f, az 5 dollárosaink száma f, és aztán a 10 dollárosaink száma, ami t. Az összes 5 dollárosnak a száma plusz az összes 10 dollárosnak a száma, ez lesz a bankjegyek száma összesen, tehát ez egyenlő lesz 900-zal. Szóval ez az állítás, ez az első információ a találós kérdésünkben matematikailag így írható fel, ha a változókat így értelmezzük. Csak azért mondtam f-et, mert f, mint 5 (angolul five) és t, mint 10 (ten). Most nézzük a második információt! Ki tudjuk ezt fejezni matematikailag, ha a változóknak, amiket létrehoztunk, ez a definíciója? Gondolkodjunk külön az 5 dollárosok értékéről, és külön a 10 dollárosok értékéről! Mennyi az értéke az összes 5 dollárosnak? Nos, minden 5 dolláros bankjegy értéke 5 dollár, tehát 5-szöröse lesz az 5 dollárosaink számának. Vagyis ha 1 darab 5 dollárosom van, akkor 5 dollár lesz, ha 100 darab 5 dollárosom van, akkor 500 dollár lesz. Akármennyi 5 dollárosom van, csak megszorzom azt a számot 5-tel. Ez az 5 dolláros bankjegyek értéke. Hadd írjam le! Az 5 dollárosok értéke. Most ugyanez a logika. Mennyi a 10 dolláros bankjegyek értéke? Nos, a 10 dollárosok értéke egyszerűen a 10-szerese lesz annak, ahány bankjegyünk van. A 10 dollárosok értéke. Tehát mennyi lesz az összes bankjegyem értéke? Nos, az 5 dollárosok értéke plusz a 10 dollárosok értéke. És megmondta, hogy mennyi az összes érték, 5500 dollár. Vagyis ha összeadom ezt a két dolgot, akkor az összeg 5500 dollár lesz. Tehát ezt a második állítást matematikailag ezzel a második egyenlettel tudjuk kifejezni. És tulajdonképpen két egyenletünk van. Mindkettő kétismeretlenes. Ha csak az egyiket használjuk, nem igazán tudjuk kiszámítani, hogy mennyi az f és a t. Egy csomó különböző kombinációt ki tudsz választani, amelyeknek az összege 900. És ki tudsz választani egy csomó kombinációt, amelyekkel ha elvégzed az összes számítást, 5500 dollárt kapsz. Tehát egymástól függetlenül ezekből az egyenletekből nem tudod meg, hogy mennyi az f és a t. De a következő néhány videóban látni fogjuk, hogy ha mindkét információt felhasználod – ha azt mondod, itt van ez az f és a t, amelyek mindkét egyenletet kielégítik –, akkor meg tudod határozni a megoldást. Ezt egyenletrendszernek hívják. Hadd írjam le: egyenletrendszer.