Fő tartalom

Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 4. témakör

3. lecke: Egyenletrendszerek megoldása a behelyettesítő módszerrel

A behelyettesítő módszer – összefoglalás (egyenletrendszerek)

A behelyettesítő módszer egy eljárás az egyenletrendszer megoldására. Ez a tananyag sok példán keresztül tekinti át a módszert, és tartalmaz néhány feladatot, amelyeket megpróbálhatsz önállóan megoldani.

Mi a behelyettesítő módszer?

A behelyettesítő módszert elsőfokú egyenletrendszerek megoldására alkalmazhatjuk. Nézzünk néhány példát!

1. példa

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert!

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ x & = - y + 3 \end{aligned}

A második egyenletet úgy kaptuk, hogy már kifejezték

x

-et, így az első egyenletbe

x

helyére behelyettesíthetjük a

- y + 3

-at.

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- y + 3) + y & = - 3 \\ - 3 y + 9 + y & = - 3 \\ - 2 y & = - 12 \\ y & = 6 \end{aligned}

A kapott értéket az eredeti egyenletek egyikébe visszahelyettesítjük, mondjuk az

x = - y + 3

-ba, és kiszámítjuk a másik változó értékét:

\begin{aligned} x & = - y + 3 \\ x & = - (6) + 3 \\ x & = - 3 \end{aligned}

Az egyenletrendszer megoldása:

x = - 3

y = 6

A kapott értékeket az eredeti egyenletekbe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük. Próbáljuk meg a

3 x + y = - 3

-mal!

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- 3) + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 9 + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}

Igen, a megoldás helyes.

2. példa

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert!

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ - 2 x + y & = 9 \end{aligned}

A behelyettesítő módszer alkalmazásakor ki kell fejeznünk

x

-et vagy

y

-t valamelyik egyenletből. Fejezzük ki

y

-t a második egyenletből!

\begin{aligned} - 2 x + y & = 9 \\ y & = 2 x + 9 \end{aligned}

Most az egyenletrendszerünk első egyenletében

y

helyére behelyettesíthetünk

2 x + 9

-et:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ 7 x + 10 (2 x + 9) & = 36 \\ 7 x + 20 x + 90 & = 36 \\ 27 x + 90 & = 36 \\ 3 x + 10 & = 4 \\ 3 x & = - 6 \\ x & = - 2 \end{aligned}

A kapott értéket visszahelyettesítjük az

y = 2 x + 9

egyenletbe, és kiszámítjuk a másik változó értékét:

\begin{aligned} y & = 2 x + 9 \\ y & = 2 (- 2) + 9 \\ y & = - 4 + 9 \\ y & = 5 \end{aligned}

Az egyenletrendszer megoldása:

x = - 2

y = 5

Szeretnél többet megtudni a behelyettesítő módszerről? Nézd meg ezt a videót!

Gyakorlás

1 . feladat

Oldd meg a következő egyenletrendszert!

\begin{aligned} - 5 x + 4 y & = 3 \\ x & = 2 y - 15 \end{aligned}

x =

y =

Még több gyakorló feladatért kattints ide!

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.