If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Az egyenlő együtthatók módszere – összefoglalás (egyenletrendszerek)

Az egyenlő együtthatók módszere egy eljárás az elsőfokú egyenletrendszerek megoldására. Ez a tananyag összefoglalja az eljárást példákkal, és arra is lehetőséget ad, hogy önállóan kipróbáld a módszert.

Mi az egyenlő együtthatók módszere?

Az egyenlő együtthatók módszere elsőfokú egyenletrendszerek megoldására használható. Nézzünk néhány példát!

1. példa

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert!
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Figyeljük meg, hogy az első egyenletben az egyik tag 7, x, a második egyenletben pedig minus, 7, x. E tagok összege nulla, azaz kiesnek, ha a két egyenletet összeadjuk. Így megszabadulunk az x-et tartalmazó tagoktól:
2y+7x=5+ 5y7x=127y+0=7\begin{aligned} 2y+\redD{7x} &= -5 \\ +~5y\redD{-7x}&=12\\ \hline\\ 7y+0 &=7 \end{aligned}
Kiszámítjuk y értékét a következőképpen:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Visszahelyettesítve az első egyenletbe, kiszámoljuk a másik változó értékét:
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
Az egyenletrendszer megoldása: x, equals, start color #11accd, minus, 1, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 1, end color #e07d10.
A kapott értékeket az eredeti egyenletekbe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük. Próbáljuk ki a második egyenlettel!
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Igen, a megoldás helyes.
Ha nem vagy biztos abban, hogyan működik ez a módszer, nézd meg ezt a bevezető videót a részletekért!

2. példa

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert!
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Beszorozhatjuk az első egyenletet minus, 4-gyel, így ekvivalens egyenletet kapunk, amelynek egyik tagja start color #7854ab, minus, 16, x, end color #7854ab lesz. Az új (ám ekvivalens!) egyenletrendszerünk így néz ki:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Az egyenleteket összeadva kiejtjük az x-es tagokat, így a következőt kapjuk:
36y16x+80=0+ 7y+16x80=029y+00=0\begin{aligned} 36y-\redD{16x} +80&=0 \\ {+}~-7y+\redD{16x}-80&=0\\ \hline\\ 29y+0 -0&=0 \end{aligned}
Kiszámítjuk y értékét a következőképpen:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Visszahelyettesítve az első egyenletbe, kiszámoljuk a másik változó értékét:
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
Az egyenletrendszer megoldása: x, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 0, end color #e07d10.
Szeretnél egy bonyolultabb feladatot látni az egyenlő együtthatók módszerére? Nézd meg ezt a videót!

Gyakorlás

1 . feladat
Oldd meg a következő egyenletrendszert!
3x+8y=152x8y=10\begin{aligned} 3x+8y &= 15\\\\ 2x-8y &= 10 \end{aligned}
x, equals
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Szeretnél még gyakorolni? Nézd meg ezeket a feladatokat!