Egyenletrendszer megoldása az egyenlő együtthatók módszerével: burgonya chips

A királyságban mindenkit nagyon lenyűgözött a tehetséged, hogy segítettél a parti megtervezésében. Mindenkit, kivéve ezt az urat. Ez itt Arbegla. Ő a király legfőbb tanácsadója, és egyben vezető partiszervező. Úgy tűnik, kissé veszélyben érzi magát a tehetséged miatt, hogy megoldottad ezt az egyébként megoldhatatlan problémát – legalábbis az ő szemszögéből nézve, mert ő folyamatosan vagy túl sokat, vagy túl keveset rendel a dolgokból, például a süteményekből. Azt mondja: – Király, ez a süteményes feladat könnyű volt. Add fel neki a burgonyacsipszes problémát, mert soha nem kaptunk megfelelő mennyiségű burgonyacsipszet. Erre a király azt mondja: – Arbegla, ez jó ötlet. Megfelelő mennyiségű burgonyacsipszet kell beszereznünk. Szóval elmegy hozzád, és azt kérdezi: – Honnan találjuk ki, hogy átlagosan mennyi burgonyacsipszet kell rendelnünk? Amihez tudnunk kell, hogy egy férfi átlagosan mennyit eszik meg, és egy nő átlagosan mennyit eszik meg. Te azt mondod: – Jó, de mi van a gyerekekkel? A király azt mondja: – A mi királyságunkban a gyerekeknek megtiltjuk, hogy burgonyacsipszet egyenek. Te azt válaszolod: – Nos, ez így van rendjén. Mondd el nekem, mi történt a legutóbbi partin! Erre a király: – Talán emlékszel, a legutóbbi partin, sőt, a két legutóbbi partin 500 felnőtt volt. A legutóbbi partin 200 férfi volt és 300 nő. Összesen 1200 zacskó burgonyacsipszet ettek meg. Azt kérdezed: – És mi a helyzet az előző partival? A király azt mondja: – Ott sokkal nagyon arányban voltak nők. Csak 100 férfi volt és 400 nő. Akkor kevesebb zacskó fogyott el, 1100 csomag burgonyacsipsz fogyott el. Azt mondod: – Oké, király és Arbegla, ez elég egyszerű dolognak tűnik. Definiálok változókat, amelyek az ismeretleneket jelentik. Szóval nekifogsz, és azt mondod, rendben, legyen m egyenlő azon zacskók számával, amennyit minden egyes férfi megevett. Átlagosan gondolod, vagy lehet, hogy ebben a királyságban minden férfi teljesen egyforma, de inkább ez az egyes férfiak által megevett zacskók számának az átlaga. És legyen w egyenlő azon zacskók számával, amennyit minden egyes nő megevett. Tehát a változók ilyen definíciója mellett gondolkodjunk el azon, hogyan tudjuk kifejezni ezt az első információt, ezt a zöld információt. Gondoljunk az összes zacskónak a számára, amennyit a férfiak megettek. 200 férfi volt – kicsit feljebb görgetem –, 200 férfi volt, mindegyik m zacskót evett, m zacskó/férfi, tehát a férfiak ezen az első partin együttesen 200-szor m csomagot ettek meg. Ha m 10 zacskó/férfi lenne, akkor ez 2000 lenne, ha m 5 zacskó/férfi lenne, akkor ez 1000 lenne. Nem tudjuk, mennyi az m, de 200m-et ettek meg összesen a férfiak. Ugyanez a logika – a nők összesen megettek... 300 nő szorozva azon zacskók számával, amennyit minden egyes nő megevett. Így ha összeadod, hogy mennyit ettek meg a férfiak és a nők összesen, akkor 1200 zacskót kapsz. Tehát ezt az információt így írtuk fel algebrailag, ha ezeket a változókat vezettük be. Csináljuk meg ugyanezt a megadott információnak ezzel a második részével is! Gondoljuk át, hogyan tudjuk ezt algebrailag kifejezni. Ugyanaz a logika: mennyit ettek meg összesen ezen a partin a férfiak? 100 férfi volt, szorozva m zacskó/férfi. Feltételezzük, hogy m ugyanannyi a partik során, hogy a férfiak átlagosan mindig ugyanannyi zacskóval esznek. És mennyit ettek a nők a második partin? 400 nő volt, és átlagosan w zacskóval ettek, tehát összesen 400w az a szám, amennyit a nők megettek. Összeadjuk ezt a kettőt, és megkapjuk, hogy összesen mennyit ettek meg a felnőttek. Tehát ez 1100 zacskó lesz. Most már úgy tűnik, nagyon hasonló (az előzőekhez). Van egy két egyenletből álló egyenletrendszer két ismeretlennel, és megpróbálod a lehető legjobban megoldani. De megoldás közben meglátsz valami érdekeset. Legutóbb nagyon könnyű volt, az 'a' azt hiszem, 500 volt itt, a felnőtteké, és volt egy másik 500 is. Úgy látszott, hogy nagyon könnyű kiküszöbölni az egyik változót. Itt ez egy kicsit bonyolultabbnak tűnik. Amikkel megszorozzuk az m-et, különbözők, és a w együtthatói is különbözők. Esetleg megváltoztathatnánk valamelyik egyenletet, hogy egy kicsit könnyebb legyen az összeadás a másik egyenlettel. Mi lenne például, ha venném ezt a kék egyenletet, és megszoroznám -2-vel? Mondhatnád, hogy de Sal, miért -2-vel szorozzuk meg? Nos, ha megszoroznánk -2-vel, akkor ebből a 100m-ből -200m lenne, és ha ez -200m lenne, akkor a +200m-mel kiejtenék egymást, ha összeadnánk a kettőt. Nézzük, mi történik! Szorozzuk meg ezt a kék egyenletet -2-vel. Megszorozzuk -2-vel. Kicsit elgörgetem balra. Tehát mi történik? Emlékszel, ha szorzunk egy egyenletet egy kifejezéssel, nem csinálhatjuk az egyenletnek csak az egyik oldalával, meg kell csinálnunk az egész egyenlettel, hogy az egyenlőség igaz maradjon. Szóval -2 szorozva 100m-mel, az -200m, -2 szorozva 400w-vel – ez itt pozitív, tehát -800w lesz –, és -2-ször – megcsináltuk a bal oldalon, de meg kell csinálni a jobb oldalon is –, -2-ször 1100 az -2200. Csak hogy érthető legyen: ez az egyenlet, amit most ide leírtam, lényegében ugyanaz az információ, csak átalakítottuk, csak módosítottuk ezt az egyenletet, megszoroztuk mindkét oldalát -2-vel. De ez ugyanaz a feltétel. Ez azért érdekes, mert most leírhatjuk ezt a sárga egyenletet. Leírom ide ezt az elsőt, 200m + 300w = 1200. Az egyetlen oka annak, hogy -2-vel szoroztam az, hogy ha összeadnám ezt a két dolgot, akkor talán meg tudnék szabadulni ettől a változótól. Csináljuk meg! Adjuk össze a bal oldalakat, és adjuk össze a jobb oldalakat. Ezt tekinthetjük úgy, hogy kiindulunk ebből a kék egyenletből, és hozzáadjuk ezt a mennyiséget, a sárga egyenlet bal oldalát a kék bal oldalához, és aztán az 1200 pontosan ugyanaz a dolog, ezt hozzáadjuk a jobb oldalhoz. Tudjuk, hogy ez egyenlő ezzel. Tehát ezt hozzáadhatjuk a bal oldalhoz, ezt pedig a jobb oldalhoz. Nézzük, mi történik! Tehát a jó dolog az, csak azért szoroztuk meg -2-vel, mert így ez a két betű kiesik. Összeadod ezt a kettőt, és 0m-et kapsz, vagyis 0-t. Van még -800w + 300w, ez -500w. Aztán a jobb oldalon -2200 + 1200 van, tehát ez -1000. Most már elég egyszerű, egy egyenlet, egy ismeretlen, elég egyszerű egyenlet. Elosztjuk mindkét oldalt a w együtthatójával, amivel a w meg van szorozva. Tehát elosztjuk -500-zal a bal oldalt, elosztjuk -500-zal a jobb oldalt. Az marad, hogy w = 2. A nők átlagosan két csomag burgonyacsipszet ettek meg ezeken a partikon. Feltételezzük, hogy ez állandó a partik során. Gondolkodjunk el azon, hogyan tudnánk ezután kiszámolni, hogy a férfiak átlagosan hány zacskóval ettek meg. Nos, ahhoz, hogy ezt megtegyük, egyszerűen menjünk vissza valamelyik egyenlethez ezek közül. Az előző videókban az első egyenlethez mentem vissza. Megmutatom, hogy a második egyenlet is megfelel. Bármelyik megfelel. Tehát helyettesítsünk vissza a második egyenletbe. Választhatod ezt a változatot, vagy ezt is, én az eredetit választom. Tehát 100m – ezt próbáljuk kiszámolni – plusz 400-szor – már tudjuk, hogy w = 2 –, 400-szor 2 egyenlő 1100. 100m + 800 = 1100. Most pedig az m kiszámításához kivonhatunk mindkét oldalból 800-at. Az maradt, hogy 100m = 300. Most osszuk el mindkét oldalt 100-zal. Azt kapjuk, hogy m – az a szám, amennyi zacskó csipszet átlagosan megesznek a férfiak – egyenlő 3. Megoldottad Arbegla feladatát – amiről ő azt gondolta, hogy nehéz feladat –, az algebra varázslatos, titokzatos erejét alkalmazva. Meg tudod mondani a királynak a parti tervezése közben, hogy a férfiak átlagosan 3 zacskó burgonyacsipszet fognak megenni, és a nők átlagosan 2 zacskó burgonyacsipszet fognak megenni.