Egyenletrendszer megoldása az egyenlő együtthatók módszerével: x-4y=-18 és -x+3y=11

Van egy egyenletrendszer, ami két elsőfokú egyenletből áll. Az első egyenlet: x - 4y = -18, a második egyenlet: -x + 3y = 11. Azt fogjuk csinálni, hogy megkeressük azt az (x; y) számpárt, amely mindkét egyenletet kielégíti. Ezt jelenti valójában az egyenletrendszer megoldása. Amint azt már láthattad, egy csomó olyan (x; y) számpár van, amelyek kielégítik az első egyenletet. Ha ábrázolnád ezeket, akkor egy egyenest alkotnának. És egy csomó másik olyan (x; y) számpár van, amelyek kielégítik ezt a másik egyenletet, a második egyenletet. Ha ábrázolnád ezeket, akkor egy egyenest alkotnának. Így ha megtalálod azt az (x; y) számpárt, amelyik mindkettőt kielégíti, az lesz az egyenesek metszéspontja. Kezdjünk hozzá! Voltaképpen csak újra leírom az első egyenletet ide, tehát leírom, hogy x - 4y = -18. Láttuk már az algebrában, hogy amíg ugyanazt csináljuk az egyenlet mindkét oldalán, addig fenn tudjuk tartani az egyenlőséget. Mi lenne, ha hozzáadnánk... – az a célunk, hogy kiküszöböljük az egyik ismeretlent, hogy egy egyenletünk legyen egy ismeretlennel. Tehát mi lenne, ha hozzáadnánk ezt a (-x + 3y)-t a bal oldalhoz? (-x + 3y)-t. Elég jónak tűnik, mert az x és a -x kiejtik egymást, és az marad, hogy -4y + 3y, ez pedig csak -y lesz. Tehát azzal, hogy ennek az alsó egyenletnek a bal oldalát hozzáadtuk a felső egyenlet bal oldalához, ki tudtuk küszöbölni az x-et. Volt egy x és volt egy -x, ez nagyon jó volt nekünk. Mit csináljunk a jobb oldalon? Már mondtuk, hogy ugyanazt kell hozzáadni az egyenlet mindkét oldalához. Hajlamosak vagyunk azt mondani, hogy ha hozzá kell adni ugyanazt mindkét oldalhoz, akkor lehet, hogy hozzá kell adni (-x + 3y)-t ehhez az oldalhoz is. De ez nem sokat segít, mert akkor -18 - x + 3y lesz, idekerülne egy x az egyenlet jobb oldalára. De mi lenne, ha hozzáadnánk valamit, ami megegyezik (-x + 3y)-nal, de nem kerül ide az x változó? Nos, tudjuk, hogy a 11 megegyezik (-x + 3y)-nal. Honnan tudjuk ezt? Ezt mondja ez a második egyenlet. Tehát még egyszer, összesen annyit csinálok, hogy hozzáadom ugyanazt a dolgot a felső egyenlet mindkét oldalához. A bal oldalon ezt úgy fejezem ki, hogy (-x + 3y), de a második egyenlet azt mondja, hogy -x +3y = 11, ezt mutatja ez a második feltétel. Ezért adjunk hozzá 11-et a jobb oldalhoz, ami – még egyszer, tudom, hogy folyamatosan ismétlem –, ami ugyanaz a dolog, mint a -x + 3y. Tehát -18 + 11, ami -7. Mivel ugyanazt adtuk hozzá mindkét oldalhoz, az egyenlőség továbbra is fennáll. Azt kaptuk, hogy -y = -7. Vagy osszuk el mindkét oldalt -1-gyel, vagyis szorozzuk meg mindkét oldalt -1-gyel, tehát szorozzuk meg mindkét oldalt -1-gyel, és azt kapjuk, hogy y = 7. Így megvan az y koordinátája annak az (x; y) számpárnak, amelyik kielégíti mindkét egyenletet. Hogy keressük meg az x-et? Egyszerűen csak behelyettesíthetjük ezt az y = 7-et valamelyik egyenletbe. Ha y = 7, akkor ugyanazt az x-et kell kapnunk, függetlenül attól, hogy melyik egyenletet használjuk. Használjuk a felső egyenletet! Tudjuk, hogy ez az x mínusz 4-szer... – ahelyett, hogy y-t írnék, 4-szer 7-et írok, mert azt fogjuk kiszámolni, hogy mennyi az x, ha y = 7 – ez egyenlő lesz -18-cal. Nézzük: -4-szer... vagyis 4-szer 7 az 28. Lássuk, egyszerűen ki tudom számolni x-et. Hozzáadhatok mindkét oldalhoz 28-at, adjunk hozzá mindkét oldalhoz 28-at. A bal oldalon -28 plusz 28, ezek kiejtik egymást, csak egy x maradt. A jobb oldalon azt kapom, hogy -18 +28, ami 10. Tehát megvan, megvan az az (x; y) számpár, amelyik mindkettőt kielégíti. x = 10, y = 7. Leírhatom ide, leírhatom koordinátákkal is, írhatom úgy is, hogy (10; 7). Figyeld meg, mit csináltam, és arra biztatlak, hogy helyettesítsd be az y = 7-et ide. Úgy is azt kapnád, hogy x = 10. Akárhogy is, x = 10 jön ki. Hogy lássuk, mi történik itt, ábrázoljuk ezt nagyon gyorsan. Rajzoljunk koordináta tengelyeket! Hoppá, ennél egyenesebb vonalat szerettem volna rajzolni. Rendben, itt van, legyen ez az y tengely, és ez az x tengely. És aztán, nézzük, a felső egyenlet valahogy így fog kinézni, ez valahogy így fog kinézni, ez az alsó egyenlet pedig valahogy így fog kinézni. Egy kicsit szebbet rajzolok ennél. Valahogy így fog kinézni. Rajzoljuk meg ezt itt alul, így látod a metszéspontot. Itt van a metszéspont, ez az (x; y) számpár, ami kielégíti mindkét egyenletet. És ahogy az imént láttuk, itt x = 10 és y = 7. Még egyszer: ezt a fehér egyenest az összes olyan (x; y) számpár alkotja, amelyek kielégítik a felső egyenletet. Ezt a narancssárga egyenest az összes olyan (x; y) számpár alkotja, amelyek kielégítik a narancssárga egyenletet. És ahol metszik egymást, ez a pont mindkét egyenesen rajta van, kielégíti mindkét egyenletet. Ismétlem, vedd az x = 10-et és az y = 7-et, helyettesítsd vissza bármelyik egyenletbe, és látni fogod, hogy jó lett.