Miért vonhatjuk ki egyik egyenletet a másikból az egyenletrendszer megoldása során?

Ez egy nagyon-nagyon érdekes feladat. A mérleg bal oldalán kétféle ismeretlen tömegű test van. Az egyik tömeg x, tudjuk, hogy ezek azonos tömegűek, azonosnak nevezzük ezeket, mindegyiknek a tömege x. De van ez a másik, a kék, ennek y a tömege, ami nem feltétlenül egyenlő az x tömeggel. Kettő x van és egy y. Úgy látszik, vagyis egyértelműen az a helyzet, hogy a teljes tömegüket kiegyensúlyozza itt ez a 8 kg. Mindegyik kocka 1 kg-os, és kiegyensúlyozza a másik oldalt. Az első kérdésem az, hogy ki tudod-e ezt fejezni matematikailag? Ki tudod-e fejezni ezt, amit itt látunk, hogy ez a teljes tömeg egyensúlyban van ezzel a teljes tömeggel? Ki tudod-e fejezni matematikailag? Gondolkodjunk el a teljes tömegről ezen az oldalon! Két x tömegű test van, ezek tömege 2x lesz, és van még egy y tömegű test, tehát lesz még egy y, így az összes tömeg a bal oldalon – egy kicsit közelebb írom a közepéhez, így nem lesz túlságosan szétszórva –, a bal oldalon 2x + y van, ez a teljes tömeg. A teljes tömeg a bal oldalon 2x + y, a teljes tömeg a jobb oldalon 8. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ez egyenlő 8-cal. Mivel látjuk, hogy a mérleg egyensúlyban van, ennek a teljes tömegnek egyenlőnek kell lennie ezzel a teljes tömeggel. Tehát ide írhatunk egy egyenlőségjelet. Most az a kérdésem, hogy ebből az információból ki tudjuk-e számolni az x vagy az y tömeget? Tudunk-e bármit is tenni? Nos, az egyszerű válasz az, hogy csupán ezzel az információval nem sokra megyünk. Mondhatnád, hogy vegyünk el y-t mindkét oldalból. Elvehetnéd ezt az y-t, de ha elveszed ezt az y-t, akkor el kellene venned y-t erről az oldalról is. Viszont nem tudod, mennyi az y. Ha algebrailag gondolkodunk, akkor innen eltűnhet az y. Kivonunk y-t, ebből az oldalból is kivonunk y-t, tehát nem fog eltűnni az y. Az x-szel is ugyanez a helyzet, valójában nincs elég információnk. y attól függ, mennyi az x, és x attól függ, mennyi az y. Szerencsére azonban van még néhány ilyen kockánk. Azt csinálom, hogy veszek egy x tömegű kockát, és iderakom, és veszek egy y tömegű kockát is, és azt is ideteszem. És addig adogatom hozzá ezeket, amíg ki nem egyensúlyozzák egymást. Tehát egymás után rakom rá ezeket. Nyilvánvaló, hogy ha csak ezeket rakom rá, ez lemegy, mert ezen az oldalon nincs semmi. De addig rakosgatom rá ezeket a kockákat, amíg ki nem egyenlítődik. És azt tapasztalom, hogy a mérleg akkor kerül egyensúlyba, amikor 5 kg van a jobb oldalon. Ismét megkérdezem, ezt az információt, hogy a bal oldalon x és y van, és a jobb oldalon 5 kg van, és egyensúlyban vannak, ezt hogyan fejezhetjük ki matematikailag? A teljes tömeg a bal oldalon x + y, és az összes tömeg... – hadd írjam ezt is kicsit közelebb a közepéhez –, a bal oldalon x + y van, a jobb oldalon pedig 5 kg. 5 kg van a jobb oldalon. És tudjuk, hogy így a mérleg egyensúlyban van. Tehát ezeknek a teljes tömegeknek egyenlőknek kell lenniük egymással. Ez az információ önmagában... – ismétlem, nem tudunk semmit csinálni. Nem tudom, mennyi az x és y. Lehet, hogy y = 4 és x = 1, vagy lehet, hogy x = 4 és y = 1, ki tudja, mekkorák. Az az érdekes, hogy használhatjuk mindkét információt az x és y kiszámolásához. Adok néhány másodpercet, hogy elgondolkodj azon, hogyan közelítsük meg ezt a helyzetet. Gondolj csak bele, tudjuk, hogy x + y = 5. Tehát ha elvennénk egy x-et és egy y-t innen, az egyenlet bal oldaláról, akkor mit kellene elvennünk a jobb oldalról, vagyis ha tudjuk, hogy elveszünk x-et és y-t a mérleg bal oldaláról, mit kellene elvenni a mérleg jobb oldaláról ahhoz, hogy ugyanazt a tömeget vegyük el? Ha elveszünk x-et és y-t a bal oldalról, és tudjuk, hogy ez az x + y = 5 kg, akkor egyszerűen el kell venni 5 kg-ot a jobb oldalról. Gondoljuk végig, hogy ez mit eredményezne! Akkor itt csak egy x maradna, itt pedig néhány kocka, és akkor tudnám, mennyi az x. Nézzük, hogyan fejezhetjük ezt ki algebrailag! Lényegében azt mondjuk, hogy elveszünk egy x-et és y-t a bal oldalról. Ha elveszek egy x-et és y-t a bal oldalról, akkor kivonok egy x-et és kivonok egy y-t – inkább így gondolkodok –, kivonok (x + y)-t a bal oldalból. De mit fogok csinálni a jobb oldalon? Tudjuk, hogy egy x és egy y tömege 5, tehát kivonhatok 5-öt a jobb oldalból. Ezt csak azért tudom megtenni, mert a második mérlegnél kaptuk ezt az információt. Tehát elvehetek 5-öt, így ez egyenlő lesz azzal, hogy elveszek 5-öt. Elvenni (x + y)-t az ugyanaz, mint elvenni 5-öt. Ezt tudjuk, mert x + y = 5 kg. És ha elveszünk (x + y)-t a bal oldalból, akkor mi marad? Ez ugyanaz lesz, mint... – hadd írjam át ezt a részt! Ez, hogy kivonok (x + y)-t, ha felbontom a zárójelet, ugyanaz, mint az, hogy kivonok x-et és kivonok y-t. A bal oldalon 2x volt, elvettünk egy x-et, egy x maradt, egy y volt, és elvettünk egy y-t, tehát y nem maradt. Látjuk az ábrán, csak egy x maradt. És mi van a jobb oldalon? Itt 8 volt, és tudjuk, hogy x + y = 5, tehát elvettünk 5-öt. Így a mérleg egyensúlyban marad, és 8 - 5 = 3. 8 - 5 = 3. Mindössze ennek a plusz információnak a felhasználásával ki tudtuk számolni, hogy x = 3. Még egy utolsó kérdés. Ki tudtuk számolni az x-et, ki tudod számolni az y-t is? Igen, visszamehetünk valamelyik mérleghez, talán egyszerűbb lenne ehhez. Tudjuk, hogy az x tömeg plusz az y tömeg egyenlő 5-tel. Azt is tudjuk, hogy most az x = 3. Tudjuk, hogy most ez 3 kg. Írhatjuk ezt úgy, hogy 3 + y = 5. Elvehetünk 3-at mindkét oldalból. Ha elveszek hármat a bal oldalról, el kell vennem 3-at a jobb oldalról is, hogy a mérleg egyensúlyban maradjon. Az marad, hogy az y tömeget 2 kg egyensúlyozza ki, vagyis y = 2. Ez megfelel annak, hogy kivonok 3-at az egyenlet mindkét oldalából. A bal oldalon csak y marad, a jobb oldalon pedig 2. Tehát x = 3 kg és y = 2 kg. Arra biztatlak, hogy ellenőrizd, hogy jó lett-e. Számold ki, hogy mennyi az összes tömeg a bal oldalon és a jobb oldalon, vagyis ellenőrizd, hogy ez az összes tömeg itt az elején tényleg 8 kg volt-e. Látni fogod, hogy ez a 2x az 6 kg, plusz az y 2 kg, ez kiegyensúlyozza a 8 kg-ot, és 3 + 2 = 5.