Kidolgozott megoldás: arányok megoldása

Meg kell oldanunk ezt a feladatot. 8/36 egyenlő 10/valamennyivel, vagy a 8/36 hányados egyenlő a 10/valamennyi hányadossal. Egy csomó különböző módszer van a megoldásra, mindegyiket meg fogom vizsgálni, vagy legalábbis egy jó párat közülük. Egyik módszer, hogy ennek a két hányadosnak egyenlőnek kell lennie, vagyis igazából megegyező értékű törtek. Tehát bármi történik a számlálóval, ugyanannak kell történnie a nevezővel is. Mennyivel kell megszoroznunk a 8-at, hogy 10-et kapjunk? Nos, megszorozhatod a 8-at a 10/8-dal, egyértelműen 10 lesz az eredmény. Tehát 10/8-dal szorzunk itt. Másképp is írhatjuk a 10/8-ot, 10/8 ugyanannyi, mint 5/4. Tehát 5/4-del szorzunk, hogy eljussunk a 10-hez, a 8-tól a 10-hez. De ha ezt csináltuk a számlálóval, azért, hogy a tört megegyező értékű maradjon, ugyanazt kell csinálni a nevezővel is. Meg kell szorozni, meg kell szorozni 5/4-del. Mondhatjuk, hogy ez az n, amit épp most számoltunk ki, ez az n egyenlő lesz a 36-szor 5/4-del. Vagy mondhatod, hogy ez egyenlő lesz 36-szor 5 osztva 4-gyel. És most a 36-ot elosztjuk 4-gyel, azt tudjuk, hogy mennyi, eloszthatjuk a számlálót és a nevezőt is 4-gyel. Ha elosztod a számlálót 4-gyel, 9-et kapsz, ha elosztod a nevezőt 4-gyel, az 1 lesz, eredményül 45-öt kapsz. Tehát ez az egyik módszer. 8/36 egyenlő 10/45-del. Egy másik módszer, hogy mennyivel kell megszoroznunk a 8-at, hogy megkapjuk a nevezőt. Hányszor nagyobb a nevező, a 36, mint a nyolc? Ehhez csak osszuk el a 36-ot 8-cal. Tehát 36/8 ugyanannyi lesz – egyszerűsíthetünk azzal, hogy elosztjuk a számlálót és a nevezőt is 4-gyel, ez a legnagyobb közös osztó –, ez ugyanannyi, mint 9/2. Tehát ha megszorzod a számlálót 9/2-del, megkapod a nevezőt. Tehát 9/2-del szorzunk, hogy megkapjuk a nevezőt itt. Viszont akkor ugyanezt kell tennünk itt is. Ha a 36 9/2-szer 8 – hadd írjam ezt le –, 8-szor 9/2 egyenlő 36. Így jutunk el a számlálótól a nevezőig. Ahhoz hogy kitaláljuk, hogy mi itt a számláló – ha azt akarjuk, hogy ugyanaz a tört legyen –, ismét szoroznunk kell 9/2-del. Így azt kapjuk, hogy 10-szer 9/2 egyenlő lesz n-nel, ami egyenlő ezzel a nevezővel. Tehát ez ugyanaz, mint ha azt mondjuk, hogy 10-szer 9/2. Ha elosztjuk a számlálót és a nevezőt 2-vel, 5/1-et kapunk, az eredmény 45. Tehát 45 egyenlő n-nel. Most is ugyanazt kaptuk, egy teljesen helyes módszerrel. Néha, amikor ilyen arányosságot látsz, néha azt szokták mondani, hogy keresztbe szorozhatsz, és tényleg szorozhatsz keresztbe. Megmutatom, hogyan kell csinálni. Néha gyorsan meg lehet csinálni így. De nem szeretem akkor tanítani, amikor először találkozol hányadosokkal, mivel ez igazából csak egy mechanikus művelet. Nem igazán érted, hogy mit csinálsz, pedig ez egy kis algebrán alapul. Meg fogom mutatni az algebrai módszert is. De ha nem érted, vagy nem látsz benne sok értelmet ebben a pillanatban, ne aggódj miatta. Tehát 8/36 egyenlő 10/n. Ha keresztbe szorzol, akkor azt mondod, hogy ez a számláló szorozva ezzel a nevezővel egyenlő lesz, tehát 8-szor n egyenlő lesz ez a nevező itt – hadd használjak egy másik színt –, ez a nevező itt szorozva ezzel a számlálóval itt. Ezt jelenti a keresztbe szorzás. Tehát ez egyenlő lesz 36-szor 10-zel. Vagy mondhatod – hadd csináljam most ezt egy semleges színnel –, mondhatod, hogy 8n egyenlő 360-nal. Mondhatod, hogy 8-szor valamennyi egyenlő 360-nal, vagy hogy kitaláld, hogy minek az ennyiszerese, a 360-at elosztod 8-cal. Ez itt egy kis algebra: az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 8-cal, és azt kapjuk, hogy n egyenlő 360 osztva 8-cal. Ezt meg tudod csinálni anélkül is, hogy szigorú algebra szabályokon gondolkodnál. Mondhatod, hogy 8-szor valamennyi egyenlő 360-nal. Vagyis 8-szor 360/8. Ha azt írom, hogy 8-szor '?' egyenlő 360, a '?' egyértelműen 360/8. Ha szorzok, ezek kiesnek, ez a tényező és az a tényező is kiesik, és ez egyértelműen 360, ezért ez 360/8. De most igazából ezt el akarjuk osztani, hogy megkapjuk a helyes megoldást, vagyis az egyszerűsített megoldást. A 360-ban a 8, 36-ban a 8 megvan négyszer, 4-szer 8 az 32, a maradék 4, lehozzuk a 0-t, 40-ben a 8 megvan 5-ször, 5-ször 8 az 40, nincs maradék, és kész. Még egyszer, az n egyenlő 45-tel. Az utolsó dolog, amit megmutatok, tartalmaz egy kis algebrát. Ha az előző módszerek bármelyike működött, az jó. Amikor nézed ezt a videót, nem várja el senki tőled, hogy ismerd az algebrát. De meg akarom mutatni neked az algebrai módszert, csak hogy megmutassam, hogy ez a keresztbe szorzás nem valami varázslat, hanem az algebra használatával ugyanazt az eredményt fogjuk megkapni. De ne nézd meg ezt a részt, ha érthetetlennek találod. Írjuk le ismét a hányadosunkat, 8/36 egyenlő 10/n, és az n-et akarjuk kiszámítani. A legegyszerűbb mód talán az n meghatározására, ha megszorozzuk mindkettőt – ez a dolog a bal oldalon egyenlő ezzel a dologgal a jobb oldalon, így mindkét oldalt megszorozhatjuk ugyanazzal a dologgal, és akkor még mindig igaz az egyenlőség –, tehát mindkettőt megszorozhatjuk n-nel. A jobb oldalon az n kiesik. A bal oldalon az lesz, hogy 8/36-szor n egyenlő 10-zel. Ha ki akarjuk számolni az n-t, akkor szoroznunk kell. Ha csak egy n-t akarunk itt, akkor meg szeretnénk szorozni ezt az oldalt 36.. – más színnel csinálom – meg szeretnénk szorozni ezt az oldalt 36/8-dal, mivel ha ezeket a számokat szorzással kiejtjük, egyet kapunk, és csak egy n lesz. De mivel ezt csináljuk a bal oldallal, ugyanezt meg kell csinálnunk a jobb oldallal is, tehát szorzunk 36/8-dal. Ezek kiejtik egymást, és az marad, hogy n egyenlő 10-szer 36, ami 360, osztva 8-cal. Figyeld meg, hogy pontosan ugyanazt az értéket kaptuk, amit a keresztbe szorzással, és a keresztbe szorzással tulajdonképpen 2 lépést csinálunk. Itt csinálunk egy plusz lépést. Mindkét oldalt megszorozzuk n-nel, hogy megkapjuk a 8n-t. Aztán megszorozzuk mindkét oldalt 36-tal, hogy megkapjuk a 36-ot mindkét oldalon. És ezt az értéket kapjuk itt. De a végén, amikor egyszerűsítünk, ugyanaz lesz a megoldás. Tehát ezek különféle módszerek arra, hogy kiszámoljuk ezt a számot a hányadosból. Valószínűleg a legkézenfekvőbb módszer, vagy a legkönnyebb módszer arra, hogy fejben csináld az, hogy megnézed, mivel kell megszoroznod a számlálót, és aztán ugyanazt csinálod a nevezővel is, vagy talán a keresztbe szorzás.