Nehezebb arányok megoldása

Tudjuk, hogy az (x - 9)/12 arány megegyezik 2/3-dal. Szeretnénk kifejezni azt az x-et, amely kielégíti ezt az egyenlőséget. Rengeteg módon tudjuk ezt megoldani. A legtöbben, amint ilyen arányszámokat látnak, keresztbe szorzást végeznének. Azt mondanák, hogy 3 és az x-9 szorzata egyenlő a 2 és a 12 szorzatával. Ez teljesen rendben is van. Fel is írom. 3 szorozva x - 9-cel egyenlő 2 szorozva 12-vel. Tehát egyenlő kétszer 12-vel. Felbontjuk a zárójelet. 3x - 27 = 24 Hozzáadunk mindkét oldalhoz 27-et. Fel is írom. Hozzáadok mindkét oldalhoz 27-et. Marad a 3x = 51 Így az x egyenlő 17-tel. Le is ellenőrizhetjük. 19-ből 9, az 8. 8/12 pedig ugyanaz, mint a 2/3. Vagyis ez a jó megoldás. Egy másik módszer: ahelyett, hogy egyből keresztbe szorzunk, először megszabadulunk a nevezőben lévő 12-től. Szorozzuk meg mindkét oldalt 12-vel! Ha mindkét oldalt megszorzod 12-vel, a bal oldalon marad x - 9, a jobb oldalon pedig 2/3 szorozva 12-vel. 2/3 szorozva 12-vel, az 8. Elvégezhetjük a szorzást is. 2/3 szorozva 12/1-gyel. 12 osztva hárommal, az egyenlő 4-gyel. 3 osztva hárommal, az 1. A vége 2 szorozva 4-gyel, ami 8. Hozzáadunk 9-et mindkét oldalhoz. Az a legjobb az algebrában, hogy amíg logikailag helyes, amit csinálsz, a jó megoldáshoz fogsz eljutni. Nem csak egy jó módszer van. Itt megint eljutunk a végeredményhez: x = 17 De azt is megteheted, hogy mindkét oldalt megszorzod 12-vel, majd 3-mal, ami gyakorlatilag ugyanaz, mintha keresztbe szoroznál. Nézzünk egy másikat! Egy újabb aránypár, és ezúttal x a nevezőben van. Ahogy az előzőnél is, itt is megoldhatjuk keresztbe szorzással. És hogy lásd, hogy a keresztbe szorzásnak mi az alapja, nem valami varázslat, ugyanúgy logikus algebrai megoldás, ugyanazt csinálod az egyenlet mindkét oldalával, ahhoz csak azt kell megértened, hogy mindkét oldalt mindkét nevezővel szorozzuk. Itt van a 8 a bal oldalon. Ha el akarjuk tüntetni ezt a bal oldali nevezőből, megszorozhatjuk 8-cal a bal oldalt. Hogy az egyenlőség továbbra is fennálljon, nem tehetek semmit csak az egyik oldallal, mindkét oldalon végre kell hajtanom. Ugyanúgy, ahogy... ha el akarom tüntetni az x + 1-et a nevezőből, megszorozhatom x + 1-gyel. De mindkét oldalt meg kell szorozzam, hogy fennálljon az egyenlőség. Ha megfigyeled, amit csináltam, az pontosan megfelel a keresztbe szorzásnak. Mert a nyolcasokkal egyszerűsíthetünk, illetve az x + 1-gyel is. Így marad az x + 1, x + 1 szorozva 7-tel. Felírhatom úgy is, hogy 7(x + 1) egyenlő 5 szorozva 8-cal. Figyeld meg, hogy pontosan ugyanaz, mintha keresztbe szorzást végeztél volna. A keresztbe szorzás csupán a rövidebb út ahhoz, hogy mindkét nevezővel megszorozd mindkét oldalt. 7 szorozva x + 1-gyel egyenlő 5 szorozva 8-cal. Most megoldhatjuk algebrai úton. Felbontjuk a zárójelet, így lesz 7x + 7, ami egyenlő 40-nel. Végül kivonunk 7-et mindkét oldalból. Végezzük is el a kivonást! Így lesz 7x = 33. Ha elosztjuk mindkét oldalt 7-tel, akkor x = 33/7. Ha vegyes törtként szeretnénk felírni, akkor ez ugyanaz, mint... pontosan ugyanaz, mint 4 5/7. Kész is vagyunk.