Ha ezt az üzenetet látod, az annak a jele, hogy külső anyagok nem töltődnek be hibátlanul a honlapunkra.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Fő tartalom

Nehezebb, arányokra vonatkozó feladatok megoldása

Megoldjuk az (x-9)/12=2/3 egyenletet. Készítette: Sal Khan.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Tudjuk, hogy az (x - 9)/12 hányados megegyezik 2/3-dal. Szeretnénk meghatározni azt az x-et, amely kielégíti ezt az egyenletet. Sokféle módon meg tudjuk ezt oldani. A legtöbben, amint ilyen aránypárt látnak, keresztbe szorzást végeznének. Azt mondanák, hogy a 3 és az x-9 szorzata egyenlő a 2 és a 12 szorzatával. Ez teljesen rendben is van. Fel is írom. 3 szorozva x - 9-cel egyenlő 2 szorozva 12-vel. Tehát egyenlő kétszer 12-vel. Felbontjuk a zárójelet. 3x - 27 = 24 Hozzáadunk mindkét oldalhoz 27-et. Ezt is leírom. Hozzáadok mindkét oldalhoz 27-et. Marad a 3x = 51. Így az x egyenlő 17-tel. Ellenőrizhetjük is. 19-ből 9, az 8. 8/12 pedig ugyanaz, mint a 2/3. Vagyis ez a jó megoldás. Egy másik módszer: ahelyett, hogy egyből keresztbe szorzunk, először megszabadulunk a nevezőben lévő 12-től. Szorozzuk meg mindkét oldalt 12-vel! Ha mindkét oldalt megszorzod 12-vel, a bal oldalon marad x - 9, a jobb oldalon pedig 2/3 szorozva 12-vel. 2/3 szorozva 12-vel, az 8. Elvégezhetjük a szorzást is. 2/3 szorozva 12/1-del. Egyszerűsíthetünk 3-mal. 12 osztva hárommal, az egyenlő 4-gyel, 3 osztva hárommal, az 1. A vége 2 szorozva 4-gyel, ami 8. Hozzáadunk 9-et mindkét oldalhoz. Az a legjobb az algebrában, hogy amíg logikailag helyes, amit csinálsz, a jó megoldáshoz fogsz eljutni. Nem csak egy jó módszer van. Itt megint eljutunk a végeredményhez: x = 17 De azt is megteheted, hogy mindkét oldalt megszorzod 12-vel, majd 3-mal, ami gyakorlatilag ugyanaz, mintha keresztbe szoroznál. Nézzünk egy másikat! Egy újabb aránypár, és ezúttal x a nevezőben van. Ahogy az előzőnél is, itt is megoldhatjuk keresztbe szorzással. És hogy lásd, hogy a keresztbe szorzásnak mi az alapja, nem valami varázslat, ugyanolyan logikus algebrai megoldás, ugyanazt csinálod az egyenlet mindkét oldalával, csak azt kell megértened, hogy mindkét oldalt mindkét nevezővel szorozzuk. Itt van a 8 a bal oldalon. Ha el akarjuk tüntetni ezt a bal oldali nevezőből, megszorozhatjuk 8-cal a bal oldalt. Hogy az egyenlőség továbbra is fennálljon, nem tehetek semmit csak az egyik oldallal, mindkét oldalon végre kell hajtanom. Ugyanígy, ha el akarom tüntetni az x + 1-et a nevezőből, megszorozhatom x + 1-gyel. De mindkét oldalt meg kell szoroznom, hogy megmaradjon az egyenlőség. Ha megfigyeled, amit csináltam, az pontosan megfelel a keresztbe szorzásnak. Mert nyolccal egyszerűsíthetünk, illetve itt az x + 1-gyel is. Így marad az x + 1, x + 1 szorozva 7-tel. Felírhatom úgy is, hogy 7(x + 1) egyenlő 5 szorozva 8-cal. Figyeld meg, hogy pontosan ugyanaz, mintha keresztbe szorzást végeztünk volna. A keresztbe szorzás csupán a rövidebb út ahhoz, hogy mindkét nevezővel megszorozd mindkét oldalt. 7 szorozva x + 1-gyel egyenlő 5 szorozva 8-cal. Most megoldhatjuk algebrai úton. Felbontjuk a zárójelet, így lesz 7x + 7, ami egyenlő 40-nel. Végül kivonunk 7-et mindkét oldalból. Végezzük is el a kivonást! Így lesz 7x = 33. Ha elosztjuk mindkét oldalt 7-tel, akkor x = 33/7. Ha vegyes törtként szeretnénk felírni, akkor ez ugyanaz, mint... pontosan 4 5/7. Kész is vagyunk.