Egyenletmegoldás osztással

Adott a következő egyenlet: 7x = 14. Mielőtt megpróbáljuk megoldani ezt az egyenletet, szeretném, ha elgondolkodnánk azon, mit is jelent ez. 7x = 14 pontosan ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy 7-szer x, így kiírjuk 7-szer x (az x-et itt is narancssárgával fogom írni) 7-szer x = 14 Ezt talán fejben is meg tudnád oldani, ki tudnád keresni a 7-es szorzótáblában. Végigmondhatod, hogy 7・1 = 7, ez nem jó, 7・2 = 14, tehát a 2 jó megoldás. Vagyis azonnal meg tudnád oldani, ha egyszerűen próbálkoznál különböző számokkal, és aztán megtalálnád a kettőt. Ebben a videóban viszont azon fogunk elgondolkodni, hogy hogyan kell ezt a feladatot általánosságban megoldani. Ugyanis látni fogod, hogy ahogy ezek az egyenletek egyre bonyolultabbá válnak, egyre kevésbé fogod tudni fejben megoldani őket. Tehát nagyon fontos, hogy megértsd, hogyan kell kezelni ezeket az egyenleteket, de talán még fontosabb megérteni, hogy valójában mit is jelentenek. Ez itt szó szerint azt jelenti, hogy 7-szer x egyenlő 14-gyel. Az algebrában nem szoktuk kiírni a szorzás jelét (ami az angolban az 'x'). Ha két számot egymás mellé írunk, vagy egy számot írunk egy változó mellé, ahogy itt is tettük, az a szorzást jelöli. Egy rövidített jelölése a szorzásnak. Általában nem szoktuk használni a szorzás jelet, mert az csak zavaró lenne, hiszen az x a leggyakrabban használt változó az algebrában. (Magyarul a szorzás jele '・', de ezt se írjuk ki.) Ha itt így írnám fel a 7-szer x-et, használva az x szorzás jelet, akkor az zavarnó lenne, úgy nézne ki, mintha xx-et vagy szor-szort írnánk. Tehát az egyenleteknél, különösen, ha szerepel bennük az x változó, nem használjuk az eredeti szorzás jelet. De használhatsz mást, pl. ezt a ・jelet a szorzás jelölésére (ahogy magyarul tesszük), és akkor így nézne ki: 7・x = 14, de ez sem szoktuk használni. Ha valamit meg akarsz szorozni egy változóval, egyszerűen azt írod, hogy 7x. És ez ténylegesen azt jelenti, hogy 7-szer x. Nos, ahhoz, hogy megértsd, hogyan dolgozhatsz ezzel az egyenlettel, ábrázoljuk! Mit jelent a 7-szer x? Ez ugyanaz, mint – és most újra fel fogom írni ezt az egyenletet, de jobban átlátható alakban. Tehát 7-szer x. Ez ugye azt jelenti, hogy az x-et 7-szer összeadom. Ez a szorzás definíciója. x + x + x + x + x (eddig 5 x volt) + x + x. Itt van ténylegesen 7 x, és ez 7x. Ez tehát itt a 7x. Az egyenlőség azt mondja, hogy a 7x = 14, tehát ez itt egyenlő 14-gyel. Most iderajzolok 14 valamit. Legyen ez 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Tehát azt mondjuk, hogy a 7x az 14 valami. Ezek megegyező állítások. Azért rajzoltam ezt így le, hogy jól megértsd, mit is csinálunk akkor, ha mindkét oldalt elosztjuk 7-tel. (Ki is radírozom ezt itt.) Tehát amit általában csinálunk... (Nem ezt akarom csinálni.) Berajzolom még az utolsó kört. Valahányszor egyszerűsítünk egy egyenletet, és az x együtthatójával osztunk, – ami egyszerűen egy szám, amivel a változót megszorozzuk, úgy is mondhatjuk, hogy az együtthatószor a változó egyenlő valamivel. Ebben az esetben mindkét oldalt elosztjuk 7-tel, vagyis elosztjuk az együtthatóval. Mit kapunk, ha elosztjuk mindkét oldalt 7-tel? 7-szer valami osztva 7-tel az az eredeti valami lesz, a 7-esek kiejtik egymást, 14 osztva 7-tel pedig 2 lesz. A megoldás tehát x = 2. De hogy igazán világos legyen számodra, hogy mi is történik olyankor, amikor mindkét oldalt elosztjuk 7-tel, akkor ténylegesen el is végezzük ezt az osztást. Ez az egyenlőség azt mondja, hogy ez egyenlő ezzel. Bármit csinálok a bal oldalon, ugyanazt kell tennem a jobb oldalon is. Ha ezek megegyeznek, akkor nem végezhetek el semmilyen műveletet pusztán az egyik oldalon, úgy, hogy fennmaradjon az egyenlőség. Ezek ugyanakkorák, tehát, ha a bal oldalt elosztom 7-tel, ehhez felosztom 7 csoportra. 7 x van itt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, azaz 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 csoport. Ha felosztottam ezt az oldalt 7 csoportra, akkor a jobb oldalt is fel kell osztanom 7 csoportra: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Namármost, ha ez az egész megegyezik ezzel az egésszel, akkor valamennyi kis darab, amikre felbontottuk, mind a 7 rész meg fog egyezni. Tehát mondhatjuk, hogy ez a rész megegyezik ezzel a résszel, ez a rész ezzel, ezek mind azonos részek. Itt is 7 rész van, és itt is 7 rész van. Mindegyik x megegyezik két ilyennel. Azt kapjuk, hogy az x egyenlő ebben az esetben le is rajzoltuk ezeket, méghozzá kettőt belőlük, tehát x = 2. Csináljunk meg még néhány példát, hogy ne felejtsd el, hogy ilyenkor egyenlőségekkel van dolgunk, és bármilyen műveletet végzünk el az egyenlet egyik oldalán, azt a másik oldalon is el kell végeznünk. Egy kicsit lejjebb görgetem a táblát. Legyen mondjuk ez: 3x = 15. Még egyszer, ezt biztosan fejben is ki tudod számolni, 3-szor egy szám az egyenlő 15-tel. Végigmehetsz a 3-as szorzótáblán, és kitalálhatod. De ha ezt szisztematikusan végig akarod gondolni, márpedig jó dolog az egészet szisztematikusan megérteni, akkor mondhatod, hogy jó, ez itt a bal oldalon megegyezik ezzel a jobb oldalon. Mit kell tennem ezzel itt a bal oldalon, hogy csak az x maradjon? Ahhoz, hogy csak x szerepeljen itt, 3-mal kell osztanom. Az egésznek az az értelme, hogy 3-szor valamit osztunk 3-mal, akkor a 3-asok kiesnek és csak az x marad. 3x 15-tel volt egyenlő, és ha a bal oldalt elosztottuk 3-mal, akkor az egyenlőség fenntartásához a jobb oldalt is el kell osztanunk 3-mal. Na és mit kapunk ekkor? A bal oldalon mindössze az x marad, ez tehát x, a jobb oldalon pedig, mennyi a 15 osztva 3-mal? Nos, ez 5. Ezt az egyenletet egy ettől kicsit eltérő módon is meg lehet oldani, de ezek valójában ekvivalensek. Ha kiindulok a 3x = 15-ből, mondhatjuk azt is, hogy a 3-mal való osztás helyett a 3-tól úgy is megszabadulhatunk, hogy csak az x maradjon, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 1/3-dal. Működik az is, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 1/3-dal. 3 egyharmada 1, és ha ezt itt megszorozzuk, 1/3-szor 3 az 1, 1x. 1x pedig egyenlő 15-ször 1/3-dal, ami 5. 1-szer x az nem más, mint x, vagyis ez ugyanúgy x = 5. Ezek voltaképpen azonos módjai a megoldásnak. Mindkét oldalt elosztani 3-mal, az ekvivalens azzal, hogy az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk 1/3-dal. Na most csináljunk meg még egyet, és ez most egy kicsit nehezebb lesz. Egy kicsit módosítom a változót, legyen mondjuk 2y + 4y = 18. Most ezt egy kicsit nehezebb fejben elvégezni. Azt mondjuk itt, hogy 2-szer valami meg 4-szer ugyanaz a valami 18-cal egyenlő. Nehezebb végiggondolni, mi is lesz ez a szám, de persze megpróbálhatod. Pl. ha y = 1 lenne, akkor 2・1 + 4・1, ez nem lesz jó. Gondoljuk meg, hogy lehet ezt csinálni. Próbálgathatsz, és előbb-utóbb persze eljutsz a megoldáshoz, de hogy csináljuk ezt szisztematikusan? Ábrázoljuk! Mit jelent az, hogy van 2 y-om? Ez ugye valójában azt jelenti, hogy van 2 y összeadva, vagyis y + y. És aztán még hozzáadok 4 y-t, vagyis hozzáadok még további 4 y-t, y + y + y + y. És ez lesz egyenlő 18-cal. Hány y-om lesz itt a bal oldalon? 1, 2, 3, 4, 5, 6 y. Ezt tehát egyszerűsíthetem úgy, hogy 6y = 18. És ha belegondolsz, ez így teljesen logikus is. Ez a rész itt 2y meg 4y, az 6y, 2y + 4y = 6y, ami teljesen észszerű. Ha van 2 almám, meg 4 almám, akkor összesen 6 almám van. Ha van 2y-om meg 4y-om, akkor összesen 6y-om van. És ez most egyenlő 18-cal. Most már szerintem tudod, hogy mit érdemes tenni. Ha 6-szor valami az 18, és az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 6-tal, akkor megoldjuk az egyenletet erre a valamire. Elosztom a bal oldalt 6-tal, és elosztom a jobb oldalt is 6-tal. Így azt kapjuk, hogy y = 3. És ezt ki is próbálhatod. Ez a klassz dolog egy egyenletben, mindig le tudod ellenőrizni, hogy helyes eredményre jutottál-e. Nézzük, hogy működik-e. 2・3 + 4・3 az mennyi lesz? 2・3 = 6, 4・3 = 12, 6 + 12 = 18, tehát ez tényleg jó.