Bevezető: mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenletek

Próbálkozzunk meg egy kicsit bonyolultabb egyenlettel! Mondjuk 2x + 3 = 5x - 2. Elsőnek ijesztőnek tűnhet. Az egyenlet mindkét oldalán van x. Kivonunk és hozzáadunk számokat. Hogyan oldjuk meg? Többféleképpen is meg fogom oldani. Az a fontos, hogy az egyik oldalon csak x legyen. Ha ez megvan, hogy x egyenlő valamivel, akkor kész is vagy! Megoldottad az egyenletet. Le is tudod ellenőrizni. Először elvégzünk pár műveletet mindkét oldalon, hogy végül csak az x maradjon az egyiken. De közben szeretném meg is mutatni, hogy mi történik. Nem szeretném, ha csak a szabályokat vagy a megoldás lépéseit ismernéd, és akkor elfelejtenéd, mit lehet és mit nem. Ha látod, hogy mi történik, akkor könnyebben megérted, hogy mit lehet tenni. Úgyhogy nézzük is! A bal oldalon van 2 x. Ami felbontva x + x. Aztán volt még + 3. + 3, amit így fogok felírni... 1 + 1 + 1, ami egyenlő 3-mal. Akár 3 kört is rajzolhattam volna. Ugyanazt a színt használom. + 3 Az egész pedig egyenlő 5x-szel. Kékkel fogom jelölni. Egyenlő 5x-szel. 1, 2, 3, 4, 5. Félreértés ne essék, ezt nem kell mindig megcsinálnod, ha megoldasz egy egyenletet. Elég az algebrai lépéseket elvégezned. Ezt most azért csinálom, hogy szemléltessem, miről is szól az egyenlet. A bal oldalon a két narancssárga x van + 3. A jobb oldalon 5x - 2. A -2-t felírhatjuk... Ezt egy másik színnel írom, rózsaszínnel. A -2 felírható úgy, hogy - 1 - 1. Most szeretnénk rendezni az egyenletet. De hogy tudjuk ezt megtenni? Két módszer is lehetséges. Kivonhatjuk ezt a két x-et mindkét oldalból. Ami eléggé adja magát. Mert akkor 5x - 2x lesz. Pozitív lesz az x-ek száma a jobb oldalon. Vagy kivonhatunk 5x-et is mindkét oldalból. Ez a klassz az algebrában. Ha megengedett műveleteket végzel, előbb-utóbb eljutsz a helyes megoldáshoz. Először vonjunk ki 2x-et mindkét oldalból. Szóval elveszünk 2x-et a bal oldalból. De ha elveszünk kettőt a bal oldalból, akkor a jobb oldalból is el kell vennünk. Így. Mit is jelent ez? Kivonunk 2x-et. 2x-et a bal oldalból. És 2x-et a jobb oldalból. Mi lesz a bal oldalon így? 2x + 3 - 2x A két 2x kiejti egymást. Így csak a 3 marad. Az ábrán is látszik. 2x-et elvettünk, és maradt az 1 + 1 + 1. A jobb oldalon: 5x - 2x. Az ábrán is ott van. 5x - 2x. Marad 1, 2, 3 x. 3 = 3x És még ott van a -2. Normál esetben csak felírnánk, hogy mi van a bal oldalon. Most hogyan tovább? Ne feledd, hogy szeretnénk x-re rendezni az egyenletet. Minden x a jobb oldalon van. Ha meg tudnánk szabadulni ettől a -2-től a jobb oldalon, akkor csak az x-ek maradnának. Csináljuk ezt! De hogy tudunk megszabadulni ettől a -2-től, ha ezt nézzük, amit ide írtunk? Ezt a -1-et és a másik -1-et. Hozzáadhatunk kettőt mindkét oldalhoz. Gondoljuk át! Ha hozzáadunk kettőt... Mondjuk így: + 1 + 1, így jól látszik, hogy hozzáadunk kettőt. És hozzáadunk kettőt a bal oldalhoz is. 1 + 1 + Mi történik? Itt is megcsinálom. Hozzáadunk kettőt. Mi történik a bal oldalon? 3 + 2 egyenlő 5-tel. Ami egyenlő lesz 3x - 2 + 2-vel. Ezek kiejtik egymást, így marad a 3x. Itt is láthatjuk. A bal oldalon van 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Az 5 egyes, vagyis 5. A jobb oldalon pedig a 3x. Meg a - 1 - 1. + 1 + 1, amik kiejtik egymást. Az összegük 0 lesz. Kiejtik egymást. Így marad az, hogy 5 = 3x. 1, 2, 3, 4, 5 egyenlő a 3x-szel. Letörlök mindent, amit elvettünk, így jobban fog látszani. Ezt letörlöm, ezt is... Ezeket mind elvettük. Le is törlöm. És ezt is letörlöm. Szerkeszt, töröl. Maradt az 1, 2, 3, 4, 5. Ezt áthelyezem. Szerkeszt, kivág, szerkeszt, beilleszt. Csak átmozgatom ide. Szóval van 1, 2, 3, 4, 5, ez a kettő, amit hozzáadtunk. Ez egyenlő 3x-szel. Ezek kiejtik egymást, ezért nincs itt semmi. A megoldáshoz csak elosztjuk hárommal mindkét oldalt. Ezt egy kicsit nehéz lesz itt megjeleníteni. De ha elosztjuk mindkét oldalt hárommal, mit kapunk? Elosztjuk a bal oldalt hárommal, a jobb oldalt is hárommal. Azért osztunk hárommal, mert az x szorzója három volt. A 3 az x együtthatója. Tudományosnak hangzik, de csak annyit jelent, hogy az ismeretlen szorzója. A szám, az ismeretlen, amire megoldjuk az egyenletet. Szóval ez a három itt kiüti egymást. Az egyenlet jobb oldalán csak az x maradt. A bal oldalon pedig 5/3. Tehát x egyenlő 5/3-dal. Ez más, mint amit eddig láttunk. Az x van a jobb oldalon, és az érték a bal oldalon. Ez teljesen rendben van. Az 5/3 = x teljesen ugyanaz, mint az x = 5/3. Egyenértékűek. Néha jobban hozzá vagyunk szokva ehhez, de ez is ugyanazt jelenti. Ha vegyes törtként szeretnénk felírni, akkor ugye a 3 megvan az 5-ben egyszer, maradt a 2. Tehát 1 2/3 lesz. A megoldás felírható így is: x = 1 2/3 Azt rád bízom, hogy behelyettesítsd az eredeti egyenletbe, hogy ez helyes megoldás. Vissza ide, hogyan is jött ki az 1 2/3? Az 1 helyett köröket fogok rajzolni. Még jobb, négyzeteket fogok rajzolni. Tehát lesz 5 négyzetem a bal oldalon. Ugyanezzel a sárgával rajzolom. Van 1, 2, 3, 4, 5. És ez egyenlő 3x-szel. x + x + x Most mindkét oldalt elosztjuk hárommal. Ezt tettük itt lent. Elosztottuk mindkét oldalt hárommal. Hogy csináljuk itt? A jobb oldal eléggé egyértelmű. Felosztjuk ezt a 3 x-et 3 részre, az ugye 1, 2, 3 rész. 1, 2, 3. De hogy osztjuk fel az ötöt három részre? És egyenlőnek kell lenniük a részeknek. A megoldás segítségünkre lesz. Mindegyik csoport 1 2/3 lesz. 1 egész és 2/3. A következő négyzet 2/3-a. Így van 1 egész és 2/3. A maradék 1/3. Kell még egy egész. Így már 1 egész és 1/3. Szükség lesz még egy 1/3-ra, ami itt lesz. A maradék pedig 2/3 és egy egész. Felosztottuk három részre. Ez itt... Mindjárt világosabbá teszem, ez itt 1 2/3. 1 2/3. Ez itt pedig 1/3. Ez egy másik 1/3, így már 2/3. Ez itt egy egész. Így ez 1 2/3. Végül pedig ez itt 2/3 és egy egész, tehát ez 1 2/3. Tehát, ha mindkét oldalt hárommal osztod, 1 2/3-ot kapsz. Mindegyik rész a bal oldalon 1 2/3. Vagyis 5/3. A jobb oldalon pedig csak az x van. Minden stimmel. Kicsit nehezebb törtekkel ábrázolni.