If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:7:36

Miért csináljuk ugyanazt az egyenlet mindkét oldalán? – Ismeretlen mindkét oldalon

Videóátirat

Rendben, akkor most itt van nekünk egy nagyon érdekes helyzetünk! A mérleg mindkét oldalán található lesz ismeretlen tömeg, és ezt a rejtélyes tömeget most Y mennyiségűnek tituláljuk. Csak azért, hogy lássuk, nem mindig csak X lehet az értékünk. Bármilyen jelöléssel élhetünk, ameddig számon tudjuk tartani, mi micsoda! De itt ezek ugye egyforma tömegűek mind! Ezért írtam mindegyikhez azt, hogy Y. És aztán egy kg-os dobozkákból is van nekünk jó néhány a mérleg mindkét oldalán... Az első, amit szeretnék, hogy elvégezzünk az az, hogy ... lépésről lépésre haladván... azt kell kitalálnunk, mennyi is ez az ismeretlen tömeg. Na de az első dolog, amit el szeretnék rendezni az az .... az az... hogy kigondoljuk, ezt az algebra nyelvén fel tudjuk-e írni. Le tudjuk-e jegyezni ezt a matematika szimbolikájával, hogy mi is történik a mérlegünkkel. Ezen az oldalon 3 Y-unk van és 3 ezekből a dobozkákból és a teljes tömegük egyenlő lesz ezzel az 1 Y-nal. És úgy vélem... nos lássuk csak! Igen, 7 doboz vam ezen a részen. Na akkor adok egy pár másodpercnyi gondolkodási időt! Akkor gondoljuk át, mennyi is a teljes tömeg itt! 3 dobozunk van Y tömeggel. Szóval akkor 3Y tömegünk lesz és aztán még hozzá 3 doboznyi 1 kg-os tömeg. Szóval ezek össztömege 3 kg lesz. Szóval ezen a részen itt Y-unk van. Akár 1Y-t is írhattam volna, de egyszerűen nem szükséges így tenni. Az Y az úgy is 1Y-t jelent. Szóval itt Y-nyi kg-unk van. És ezekből pedig 7 darab, ugye? 1,2,3,4,5,6,7. Igen, 7 van belőlük! Szóval Y plusz 7 kg szerepel a jobb oldalon. És újfent a mérlegünk egyensúlyban van! Egyensúlyi állapot áll fenn. Ez a tömeg ... az össztömeg egyenlő a másik oldal össztömegével. Akkor egy egyenlőségjelet írhatunk közéjük ide! Ez egy jó kiindulási pont! Képesek voltunk tehát felírni ezt a való életből vett helyzetet egy egyenlet formájában. Azt tudjuk ugye, hogy régebben; amikor ha mondjuk ékszert akartak venni, az embereknek a hétköznapokban hasonlóan kellett tömeget számolniuk... ténylegesen ilyen feladatok elé kellett nézniük. Na ezt most mi már matematikailag is fel tudjuk írni! Na most a következő lépés akkor ... mi is lenne indokolt? Hogy tudjuk egy kicsit elkezdeni az egyszerűsítést? Megint csak adok egy pár másodpercet a gondolkodásra! Nos, a szép az algebrában az, hogy több utat is bejárhatunk a megoldáshoz. Jogosan mondhatjuk ekkor azt, hogy miért nem távolítjuk el innen ezt a 3-at, ezt a 3 darab sárga tömböt? Ez teljesen logikus elgondolás. És azt is indokoltan mondhatnánk, hogy mindkét oldalból egy Y-t is nyugodtan elvehetnénk. Ez is szintén jogos felvetés. És ezen kettő művelet sorrendje felcserélhető. Akkor kezdjük az egyikkel! Mondjuk, hogy ... mondjuk, először... először az Y-t akarjuk eltávolítani mindkét oldalról! Csak azért, hogy egy kicsit szimpatikusabb legyen a helyzetünk a változóval kapcsolatosan. Szóval itt a legjobb módszer, ha nem akarjuk, hogy az összes Y az egyik oldalon foglaljon helyet, hogy akkor mindkét oldalról leveszünk 1 Y-t. Ne feledjük, ha csak az egyik oldaról vennénk el az Y-t, akkor egyensúlytalanság lépne fel. Mivel előzőleg a mérleg egyensúlyban volt, ezért most mindent, amit teszünk, egyformán el kell végeznünk mindkét oldalon. Akkor egy Y-t leveszünk innen, akkor az Y tömeget mindkét oldalról eltávolítjuk! Akkor ez algebrailag hogyan fog kinézni? Nos, tehát levesszük az Y-t mindkét részről. Akkor kivonjuk az Y-t a jobb és a bal oldalból is. És pontosan ezt is tettük! Ezt a tömeget itt, amelyről nem is tudjuk mennyi is, de el tudtuk távolítani. Ezt a kis tömböt... ezt a picit, ezt innen kiemeljük. És így a bal oldalon, a bal oldalon, a bal oldali részen akkor mi marad meg? Ezt matematikai értelmezésben is megnézhatjük és ha ide felnézünk, akkor is láthatjuk, mi maradt. Ha valamiből 3 volt nekünk és 1-et elveszünk belőle, akkor 2 marad abból a mennyiségből. Szóval akkor 2 Y maradt itt, ez látható. 3 volt belőle, egytől megszabadultunk, így 2 maradt meg. És akkor még mindig megvan a 3 sárga tömbünk... Szóval ez a 3 itt még mindig megvan! A jobb oldalon volt egy Y, azt eltávolítottuk. Így most már ott nincs Y. Ezt itt ténylegesen is láthatjuk! Most már 7 darab sárga tömbünk van. Tehát 7 darab sárga tömböcske maradt meg. És mivel a mérleg mindkét feléről ugyanazt távolítottuk el, így az egyensúlyban fog maradni. Előtte is egyensúlyban volt és a 2 oldalról ugyanazt vettük el... Így aztán a mérleg egyensúlyban marad továbbra is. Azaz ezek itt egyenlő értékűek lesznek. Most akkor ez kezd olyan lenni, mint amit az előző videóban láthattunk. De azért megkérdezem, hogy ennél a pontnál most mi a teendő. Mit lehet ekkor tennünk, hogy tovább egyszerűsíthessük a helyzetet, vagy ami még jobb, hogyan lehetne az Y-okat elkülöníteni itt a bal oldalon? És akkor megint adok egy pár másodpercet a gondolkodásra... Nos, ha ezeket az Y-okat a bal oldalon el akarjuk szeparálni, akkor ... ezt a 2-t ... akkor a legjobb, ha eltüntetjük ezt a 3, ezt a 3 kis tömböt innen. Akkor mi ennek az akadálya? Akkor távolítsunk el 3 dobozkát erről az oldalról, de persze nem tehetjük meg, hogy csak innen vesszük le... mert muszáj egyensúlyban maradnunk... A másik oldallal el ugyanígy kell eljárnunk. Onnan is el kell vennünk 3 dobozkát! Szóval kivonunk 3-at ebből is, meg abból az oldalból is... Szóval a bal oldalon, a bal oldalon az marad nekünk, hogy 2 tömbnyi Y értékű tömeg. Akkor a teljes itt lévő tömeg az 2Y. Ebből ha 3-at kivonunk az 0 lesz és ezt itt is láthatjuk. Csak a 2Y maradt meg és a jobb oldalon is eltüntetünk 3 dobozkát. Így már csak 4 maradt belőlük. Szóval csak 4 maradt meg. Azaz ebből az Y tömegből 2 az egyenlő 4 kg-mal. És mivel a mérleg mindkét oldalával ugyanazt tettük, így aztán ezek egyenlőek. És most, akkor hogyan is lehet ezt megoldani? Ezt már akár fejben is el lehet végezni! Ha valamiből 2-nk van és ez egyenlő 4-gyel... És akkor most ezt már könnyen ki lehet találni, azonban ha ragaszkodni szeretnénk az előbbiekben használt módszerekhez, akkor azért gondoljuk át! 2 egységünk van valamiből és ez egy bizonyos értékkel egyenlő. Mi történik ha megszorozzuk 2-vel mindkét oldalt? Jajj, elnézést! Mi történik ha 1/2-del szorozzuk mindkét oldalt? Avagy mi van akkor, ha 2-vel osztjuk mindkét oldalt? Ha mindkét oldalt 1/2-del szorozzuk, ha tehát valójában a tömegek felét vesszük, akkor gyakorlatilag a tömegek felét hagyjuk fent és akkor itt csak 1 tömbünk marad és ha a mennyiségek felét elvesszük innen is, akkor 2-t kell ezekből a tömbökből elvennünk itt. És ezt, amit most megcsináltunk, nevezhetjük úgy, hogy a két odalt 1/2-del megszoroztuk vagy csak a változatosság kedvéért azt is mondhatnánk, hogy elosztottuk őket 2-vel. És így a bal oldalon csak 1 Y tömeg maradt! A jobb oldalon pedig a 4 osztva 2 eredménye, azaz 2 tömeg maradt. És újfent közéjük írhatjuk az egyenlőség jelét, mert a mérleg egyensúlyban maradt. Pontosan ugyanazt tettük mindkét oldallal. A bal oldalon és a jobb oldalon is az eredeti meglévő mennyiségek felét hagytuk meg. Ennek előtte is egyensúlyi volt az állapot, és mivel mindkét összeg felét hagytuk meg, ezért az egyensúly megmarad. Ezzel akkor meg is volnánk! Megoldottunk egy olyan kérdést, ami nem is olyan egyszerű, vagy legalábbis elsőre nem tűnik könnyűnek. Kiszámoltuk, hogy az ismeretlen tömegű Y-unk 2 kg. És ezt le is ellenőrizhetjük, ez az igazán jó az algebrában... Ekkor ugyanis visszamehetünk a feladat elejére és megnézhetjük, hogy az eredeti műveletbe beírva a megoldásunkat értelmes egyenletet kapunk-e. Akkor nézzük is meg! Gondolkodjunk is el azon, hogy az eredeti példába behelyettesítve értelmes megoldást kapunk-e. Most már tudjuk, hogy az Y tömeg 2 kg-mal egyenlő. Akkor mennyi is volt a két oldalon lévő össztömeg? Akkor számoljuk ezt ki! 2 volt itt, 2 volt amott, ez így 2 kg. Ezt lila színnel jelölöm. Ez itt egy 2-es, ez is 2-es, ez is 2-es. Így aztán 6 kg plusz ez a 3 itt...azaz 9 kg van a bal oldalon. A jobb oldalon 7 plusz 2 szerepel, azaz 9 kg. Hát ezért volt a mérleg egyensúlyban. Az ismeretlen tömeget megkaptuk, így tudjuk, hogy 9 kg volt az össztömeg mindkét oldalon.