Why we do the same thing to both sides: Variable on both sides

Van itt egy nagyon érdekes probléma. A mérleg mindkét oldalán van ismeretlen tömeg, ezt az ismeretlen tömeget most y-nal jelölöm. Csak azért, hogy lássuk, nem kell mindig x-nek lennie. Bármilyen jelölést használhatunk, ha nyomon tudjuk követni. De ezek itt mind egyforma tömegűek, ezért írtam mindegyikhez azt, hogy y. És aztán az egy kg-os dobozkákból is van néhány a mérleg mindkét oldalán. Lépésről lépésre haladunk, és megpróbáljuk meghatározni, mennyi is ez az ismeretlen tömeg. Elsőként azt szeretném, hogy gondold át, fel tudod-e ezt írni az algebra nyelvén. Hogy matematikai jelölésekkel tudod-e szemléltetni, mik is vannak ezen a mérlegen. Ezen az oldalon van 3y és 3 ezekből a dobozkákból, és az együttes tömegük egyenlő lesz ezzel az egy y-nal és – lássuk csak – van még itt 7 kis doboz is. Adok egy pár másodpercnyi gondolkodási időt, próbáld felírni. Tehát gondoljuk át, mennyi is a teljes tömeg itt. Három y tömegű dobozunk van, ezeknek a tömege 3y lesz, és aztán van még három 1 kg-os doboz, ezeknek a tömege 3 kg. Itt pedig van egy y kg-os doboz, ez y lesz. Írhattam volna azt is, hogy 1y, de nem szükséges kiírni az 1-et, y ugyanaz, mint 1y. Tehát y kg, és ezekből pedig 7 van, ugye? 1,2,3,4,5,6,7. Igen, 7. Szóval y plusz 7 kg van a jobb oldalon. És a mérleg egyensúlyban van. Ez a tömeg, az összes tömeg egyenlő ezzel az összes tömeggel, tehát írhatunk közéjük egy egyenlőségjelet. Ez egy jó kiindulási pont. Ezt a valós helyzetet így tudtuk szemléltetni. Régebben, amikor ki kellett számolni a tárgyak tömegét – például egy ékszerboltban – valóban felvetődtek ilyen feladatok. És ezt ki tudtuk fejezni matematikailag. És most mi legyen a következő észszerű lépés? Hogy lehetne ezt egy kicsit egyszerűsíteni? Megint adok egy pár másodpercet, gondolkodj el ezen. Nos, az a szép az algebrában. hogy többféle irányba is elindulhatunk. Mondhatnánk azt, hogy vegyünk el 3 sárga kockát mindkét oldalról. Ez teljesen jó lenne. De mondhatnánk azt is, hogy vegyünk el egy y-t mindkét oldalról. Ez is rendben lenne. Ezeknek a sorrendje felcserélhető. Válasszuk ki ez egyiket. Mondjuk először egy y-t akarunk elvenni mindkét oldalról. Csak azért, mert egy kicsit egyszerűbbnek tűnik, ha csak az egyik oldalon van y. Szóval ha nem akarjuk, hogy mindkét oldalon legyen y, akkor az a legjobb, ha mindkét oldalról elveszünk egy y-t. Ha csak az egyik oldalról vennénk el egy y-t, akkor a mérleg kibillenne az egyensúlyból. A mérleg akkor marad egyensúlyban, hogyha bármit csinálsz az egyik oldalon, ugyanazt csinálod a másik oldalon is. Tehát elveszek egy y-t, elveszek y tömeget mindkét oldalról. Hogy néz ez ki algebrailag? Elveszek y-t mindkét oldalról, tehát kivonok y-t a bal oldalból, és kivonok y-t a jobb oldalból. Pontosan ezt csináltuk. Ennek a tömege y. Nem tudom, mi ez, de elvettem. Elvettem innen ezt a kis hasábot. És mi maradt a bal oldalon? Csinálhatjuk matematikailag, de akár ide is felnézhetünk, hogy mi is maradt. Ha volt 3 valamim, és elvettem belőle egyet, akkor két valami maradt. Tehát 2y maradt. Látod, volt 3, egyet eltüntettem, maradt 2. És a 3 sárga kocka még megvan. A jobb oldalon egy y volt, elvettem egy y-t, ezért aztán nem marad y. Itt láthatod ezt. És a 7 sárga kocka még megvan. Mivel pontosan ugyanakkora tömeget vettem el mindkét oldalról, a mérleg továbbra is egyensúlyban lesz. Egyensúlyban volt, és ugyanannyit vettem el mindkét oldalról, így a mérleg továbbra is egyensúlyban van, vagyis ez egyenlő ezzel. Most már kezd ez hasonlítani ahhoz, amit az előző videóban láttunk. És most mit csináljunk? Hogyan tudnánk tovább egyszerűsíteni, vagy inkább hogyan tudnánk elérni, hogy a bal oldalon csak ezek az y-ok legyenek? Gondolkodj el ezen néhány másodpercig. Szóval ha azt akarjuk, hogy a bal oldalon csak y legyen, ez a 2y, akkor az a legjobb módszer, ha eltüntetjük ezt a 3-at, ezt a 3 kockát. Csináljuk ezt! Vegyük el ezt a 3 kockát erről az oldalról. De nem tehetjük meg, hogy csak erről az oldalról vesszük el. Ha azt akarjuk, hogy az egyensúly megmaradjon, ezen az oldalon is meg kell csinálnunk, el kell vennünk 3 kockát. Tehát kivonunk 3-at a bal oldalból, és kivonunk 3-at a jobb oldalból. Így a bal oldalon csak ez a két y tömegű hasáb marad. Tehát az összes tömeg 2y lesz, ez a 3 - 3 = 0. Itt is látod ezt, csak 2y maradt. A jobb oldalon pedig elvettünk 3 kockát, és csak 4 maradt. Tehát 2y egyenlő 4 kg. Mivel ugyanazt csináltuk mindkét oldalon, a mérleg továbbra is egyensúlyban van. És most ezt hogyan oldjuk meg? Lehet, hogy fejben is ki tudod számolni. 2 valami egyenlő 4. Így is rá lehetne jönni, de ha úgy szeretnénk folytatni, ahogy eddig csináltuk, akkor nézzük úgy, hogy van két valami, és ez egyenlő valamennyivel. Szorozzuk meg mindkét oldalt 2-vel! Nem, elnézést, szorozzuk meg mindkét oldalt 1/2-del, vagy osszuk el mindkét oldalt kettővel. Ha ezt az oldalt megszorzom 1/2-del, tulajdonképpen megfelezem a tömeget, és akkor csak a tömeg fele marad meg, úgyhogy itt csak egy hasáb marad. És ha itt elveszem a tömeg felét, akkor el kell vennem két kockát. Mindkét oldalt megszoroztam 1/2-del, vagy a változatosság kedvéért mondhatjuk azt is, hogy mindkét oldalt elosztottuk 2-vel. A bal oldalon y maradt, a jobb oldalon pedig a 4 osztva 2, azaz 2 maradt. És most is közéjük írhatjuk az egyenlőségjelet, mert a mérleg egyensúlyban maradt. Pontosan ugyanazt csináltuk mindkét oldalon. A bal oldalon és a jobb oldalon is az eredeti mennyiségek fele maradt meg. A mérleg egyensúlyban volt, mindkét oldalt megfeleztük, ezért az egyensúly megmarad. Ezzel akkor meg is volnánk. Megoldottunk egy olyan feladatot, ami nem is olyan egyszerű, vagy legalábbis elsőre nem tűnik könnyűnek. Kiszámoltuk, hogy az y ismeretlen tömeg 2 kg-os. És ezt ellenőrizhetjük is, ez az igazán jó az algebrában. Ekkor ugyanis visszamehetünk a feladat elejére, és megnézhetjük, hogy az eredeti egyenletbe beírva a megoldásunkat igaz állítást kapunk-e. Akkor nézzük is meg! Gondolkodjunk el azon, hogy az eredeti egyenletbe behelyettesítve egyenlő lesz-e a két oldal. Úgyhogy szeretném, ha számolnál. Most már tudjuk, hogy az y tömeg 2 kg-mal egyenlő. Akkor mennyi is volt egy-egy oldalon lévő össztömeg? Számoljuk ki! Ez itt 2, az y 2 kg. Lilával jelölöm. Ez itt 2, ez is 2, ez is 2. Így ez 6 kg, plusz ez a 3, azaz 9 kg van a bal oldalon. A jobb oldalon 7 plusz ez a 2, 7 meg 2 az 9 kg. Hát ezért volt a mérleg egyensúlyban. 9 kg volt az össztömeg mindkét oldalon.