Fő tartalom
Tantárgy/kurzus: Az algebra alapjai > 3. témakör
3. lecke: Egyenletmegoldás több lépésben- Miért csináljuk ugyanazt az egyenlet mindkét oldalán? – Ismeretlen mindkét oldalon
- Bevezető: mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenletek
- Mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenletek: 20 - 7x = 6x - 6
- Mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenletek.
- Zárójeles egyenletek
- Zárójeles egyenletek
© 2024 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés
Miért csináljuk ugyanazt az egyenlet mindkét oldalán? – Ismeretlen mindkét oldalon
Egy mérleg segítségével fogjuk világossá tenni, hogy miért hajtjuk végre az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt a műveletet, akkor is, ha mindkét oldalon megjelenik az ismeretlen. Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Itt egy nagyon érdekes probléma most: a mérleg mindkét oldalán
van ismeretlen tömeg. Az ismeretlen tömeget
itt y-nal jelöltem, csak hogy lássuk, hogy
nem kell mindig x-et használni. Bármilyen jelölést használhatunk,
ha nyomon tudjuk követni. Ezek a kék dobozok
mind egyforma tömegűek, ezért írtam mindegyikhez azt, hogy y. És a sárga, 1 kg-os dobozkákból is
van néhány a mérleg mindkét oldalán. Lépésről lépésre haladunk,
és megpróbáljuk meghatározni, hogy mennyi is ez az ismeretlen tömeg. Elsőként próbáld meg átgondolni, hogy hogyan tudnád
ezt felírni az algebra nyelvén. Azaz, hogy hogyan lehetne
leírni matemetaikai jelöléssel hogy mi is van ezen a mérlegen. Ezen az oldalon van 3y
és 3 ezekből az 1 kilós dobozkákból, és ezeknek az együttes tömege egyenlő lesz ezzel az y-nal
plusz ezzel a hét 1 kilós dobozzal. Adok egy is egy pár másodpercet,
és addig próbáld meg felírni. Tehát gondoljuk át, hogy mi is
a teljes tömeg itt a mérleg bal oldalán. Három y tömegű dobozunk van,
ezeknek a tömege 3y lesz. És aztán van még három 1 kg-os doboz, ezeknek a tömege pedig 3 kg,
vagy csak 3. A jobb oldalon pedig van
egy y kg-os doboz, ez y lesz. Írhattam volna azt is, hogy 1y,
de nem szükséges kiírni az 1-et, simán az y az ugyanaz, mint 1y.
Tehát y kg. És a sárga dobozokból
pedig ha jól számoltam akkor 7 van: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Igen, 7 van, szóval y plusz 7 kg van a jobb oldalon. És látjuk, hogy a
mérleg egyensúlyban van. Ez a tömeg– az összes tömeg–
egyenlő ezzel az összes tömeggel, tehát írhatunk itt a két oldal
közé is egy egyenlőségjelet. És ez egy jó kiindulási pont. Ezt a valós helyzetet
így tudtuk szemléltetni matematikailag. Régebben, amikor ki kellett
számolni a tárgyak tömegét – például egy ékszerboltban – valóban felvetődtek ilyen feladatok. És ezt ki tudtuk fejezni matematikailag. És most mi lenne a
következő észszerű lépés? Hogy lehetne ezt egy kicsit
egyszerűbb alakra hozni? Megint adok pár másodpercet,
és gondolkodj el ezen. Az a szép az algebrában,
hogy többféle irányba is elindulhatunk. Mondhatnánk azt, hogy először vegyünk
el 3 sárga kockát mindkét oldalról. És ez teljesen jó lenne. De azt is mondhatnánk akár, hogy
vegyünk el egy y-t mindkét oldalról. Ez is rendben lenne.
Ezeknek a sorrendje ugye felcserélhető. Döntsük is el, hogy melyikkel kezdünk! Mondjuk, hogy először egy y-t
akarunk elvenni mindkét oldalról. Ugye kicsit egyszerűbbnek fog tűnni,
ha csak az egyik oldalon van y. Szóval, ha nem akarjuk,
hogy mindkét oldalon legyen y, akkor az a legjobb, ha mindkét oldalról elveszünk egy y-t, és akkor a jobb oldalról ez el fog tűnni. De ha csak az egyik oldalról
vennénk el egy y-t, akkor a mérleg kibillenne
az egyensúlyból. A mérleg akkor marad egyensúlyban, hogyha bármit csinálunk
az egyik oldalon, ugyanazt megcsináljuk
a másik oldalon is. Tehát ha elvettem egy y-t innen,
elvettem y tömeget, akkor el kell vennem egy y-t
innen a másik oldalról is. És most nézzük meg,
hogy nézne ez ki algebrailag? Mindkét oldalról elveszünk egy y-t, – és ezek a műveletek itt oldalt
mindkét oldalra vonatkoznak– tehát kivonok y-t a bal oldalból,
és kivonok y-t a jobb oldalból is. Pontosan ezt csináltuk a mérlegen is. Ennek a kék doboznak a tömege y. Nem tudom, hogy mi ez
pontosan, de elvettem egyet. És mi maradt így a bal oldalon? Megnézhetnénk matematikailag először, de akár ide is felnézhetnénk,
hogy itt mi maradt. Volt 3 valamim,
és elvettem belőle 1-et, így 2 valamim maradt. Tehát 2y maradt. Látod, volt 3y,
1-et eltüntettem, így maradt 2. És a 3 sárga kocka még megvan,
azaz jön még ide a plusz 3. A jobb oldalon 1y volt, de elvettem 1y-t,
úgyhogy itt nem marad y, és ezt itt is láthatod ezt a mérlegen. De a 7 sárga kocka még megvan,
úgyhogy itt az egyenletben 7 lesz. És mivel pontosan ugyanakkora
tömeget vettem el mindkét oldalról, a mérleg továbbra is egyensúlyban lesz. Egyensúlyban volt, és ugyanannyit
vettem el mindkét oldalról, így továbbra is egyensúlyban van, vagyis ez egyenlő ezzel. És most már kezd hasonlítani
ez az egyenlet az előző videókban látottakhoz. Úgyhogy most mit csináljunk? Hogyan tudnánk még
egyszerűbb alakra hozni, vagyis inkább hogyan tudnánk elérni, hogy a bal oldalon
csak ezek az y-ok legyenek? Gondolkodj el ezen egy kicsit! Szóval ha azt akarjuk, hogy a bal oldalon
csak y-os tag legyen, ugye ez a 2y, akkor az a legjobb módszer az,
ha eltüntetjük ezt a 3-at, ugye a mérlegen ezt
a 3 egy kilós kockát. Csináljuk is meg! Vegyük el ezt a 3 kockát
a bal oldalról. De ugye ha azt akarjuk,
hogy az egyensúly megmaradjon, akkor nem tehetjük azt meg, hogy csak
az egyik oldalról veszünk el valamit, úgyhogy a jobb oldalon is
ugyanezt meg kell csinálnunk, ugye itt is el kell vennünk
3 egy kilós kockát. Ez pedig matematikailag azt jelenti, hogy kivonunk 3-at mindkét oldalból. Így a bal oldalon csak
ez a két y tömegű hasáb marad. Ugye a 3-ból 3 az nulla. Azaz, az összes tömeg 2y lesz. Itt is láthatod ezt a mérlegen,
csak 2y maradt. A jobb oldalon szintén elvettünk
3 kockát, így csak 4 maradt. Tehát 2y egyenlő 4-gyel.
Ugye 4 kg-mal. És megint, mivel ugyanazt
csináltuk mindkét oldalon, a mérleg továbbra is egyensúlyban van. És most ezt hogyan oldjuk meg? Lehet, hogy fejben is ki tudod számolni: ugye 2 valami egyenlő 4-gyel. Így is rá lehetne jönni, de ha úgy szeretnénk folytatni,
ahogy eddig csináltuk, akkor nézzük úgy, hogy van 2 valami,
és ez egyenlő 4-gyel. Úgyhogy szorozzuk meg
mindkét oldalt 1/2-del, vagy osszuk el mindkét oldalt 2-vel. Ugyanaz a két dolog. És ha ezt az oldalt megszorzom 1/2-del, azzal gyakorlatilag
megfelezem a tömeget, azaz, az összes tömegnek
csak a fele marad meg. Vagyis itt a kettőből
csak egy hasáb marad meg. És ha itt a jobb oldalon is
elveszem a tömeg felét, akkor el kell vennem
két kockát a négyből. Matematikailag pedig ez azt jelenti, hogy mindkét oldalt
megszoroztam 1/2-del, vagy a változatosság
kedvéért írjuk azt, hogy mindkét oldalt elosztottuk 2-vel. A bal oldalon így y maradt, a jobb oldalon pedig a 4 osztva 2-vel,
azaz 2 maradt. És most is közéjük írhatjuk
az egyenlőségjelet, mert a mérleg egyensúlyban maradt. Pontosan ugyanazt csináltuk
mindkét oldalon. A bal oldalon és a jobb oldalon is
a mennyiségek fele maradt meg. A mérleg egyensúlyban volt,
majd mindkét oldalt megfeleztük, ezért az egyensúly megmaradt. És ezzel meg is volnánk. Megoldottunk egy olyan feladatot,
ami nem is olyan egyszerű, vagy legalábbis elsőre
nem tűnt könnyűnek. Kiszámoltuk, hogy az y, azaz az
ismeretlen tömeg 2 kg. És ezt ellenőrizhetjük is. Ez az igazán jó az algebrában, hogy visszamehetünk
a feladat elejére, és megnézhetjük, hogy ha az eredeti egyenletbe
behelyettesítjük a megoldásunkat, akkor igaz állítást kapunk-e. Nézzük is meg! Most már tudjuk,
hogy az y tömege 2 kg-mal egyenlő, úgyhogy nézzük meg először
mi volt a tömeg a bal oldalon. Átírom ezeket egy élénkebb színnel: ez itt 2, ez is 2, és ez is 2. Ez összesen 6 kg,
plusz ez a 3 egy kilós súly, azaz 9 kiló van a bal oldalon. A jobb oldalon pedig
van a 7 egy kilós súly plusz ez a 2, és 7 meg 2 az szintén 9 kg. Ezért volt a mérleg egyensúlyban. 9 kg volt az össztömeg mindkét oldalon.