If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Miért csináljuk ugyanazt az egyenlet mindkét oldalán? – Ismeretlen mindkét oldalon

Egy mérleg segítségével fogjuk világossá tenni, hogy miért hajtjuk végre az egyenlet mindkét oldalán ugyanazt a műveletet, akkor is, ha mindkét oldalon megjelenik az ismeretlen. Készítette: Sal Khan.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Itt egy nagyon érdekes probléma most: a mérleg mindkét oldalán van ismeretlen tömeg. Az ismeretlen tömeget itt y-nal jelöltem, csak hogy lássuk, hogy nem kell mindig x-et használni. Bármilyen jelölést használhatunk, ha nyomon tudjuk követni. Ezek a kék dobozok mind egyforma tömegűek, ezért írtam mindegyikhez azt, hogy y. És a sárga, 1 kg-os dobozkákból is van néhány a mérleg mindkét oldalán. Lépésről lépésre haladunk, és megpróbáljuk meghatározni, hogy mennyi is ez az ismeretlen tömeg. Elsőként próbáld meg átgondolni, hogy hogyan tudnád ezt felírni az algebra nyelvén. Azaz, hogy hogyan lehetne leírni matemetaikai jelöléssel hogy mi is van ezen a mérlegen. Ezen az oldalon van 3y és 3 ezekből az 1 kilós dobozkákból, és ezeknek az együttes tömege egyenlő lesz ezzel az y-nal plusz ezzel a hét 1 kilós dobozzal. Adok egy is egy pár másodpercet, és addig próbáld meg felírni. Tehát gondoljuk át, hogy mi is a teljes tömeg itt a mérleg bal oldalán. Három y tömegű dobozunk van, ezeknek a tömege 3y lesz. És aztán van még három 1 kg-os doboz, ezeknek a tömege pedig 3 kg, vagy csak 3. A jobb oldalon pedig van egy y kg-os doboz, ez y lesz. Írhattam volna azt is, hogy 1y, de nem szükséges kiírni az 1-et, simán az y az ugyanaz, mint 1y. Tehát y kg. És a sárga dobozokból pedig ha jól számoltam akkor 7 van: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Igen, 7 van, szóval y plusz 7 kg van a jobb oldalon. És látjuk, hogy a mérleg egyensúlyban van. Ez a tömeg– az összes tömeg– egyenlő ezzel az összes tömeggel, tehát írhatunk itt a két oldal közé is egy egyenlőségjelet. És ez egy jó kiindulási pont. Ezt a valós helyzetet így tudtuk szemléltetni matematikailag. Régebben, amikor ki kellett számolni a tárgyak tömegét – például egy ékszerboltban – valóban felvetődtek ilyen feladatok. És ezt ki tudtuk fejezni matematikailag. És most mi lenne a következő észszerű lépés? Hogy lehetne ezt egy kicsit egyszerűbb alakra hozni? Megint adok pár másodpercet, és gondolkodj el ezen. Az a szép az algebrában, hogy többféle irányba is elindulhatunk. Mondhatnánk azt, hogy először vegyünk el 3 sárga kockát mindkét oldalról. És ez teljesen jó lenne. De azt is mondhatnánk akár, hogy vegyünk el egy y-t mindkét oldalról. Ez is rendben lenne. Ezeknek a sorrendje ugye felcserélhető. Döntsük is el, hogy melyikkel kezdünk! Mondjuk, hogy először egy y-t akarunk elvenni mindkét oldalról. Ugye kicsit egyszerűbbnek fog tűnni, ha csak az egyik oldalon van y. Szóval, ha nem akarjuk, hogy mindkét oldalon legyen y, akkor az a legjobb, ha mindkét oldalról elveszünk egy y-t, és akkor a jobb oldalról ez el fog tűnni. De ha csak az egyik oldalról vennénk el egy y-t, akkor a mérleg kibillenne az egyensúlyból. A mérleg akkor marad egyensúlyban, hogyha bármit csinálunk az egyik oldalon, ugyanazt megcsináljuk a másik oldalon is. Tehát ha elvettem egy y-t innen, elvettem y tömeget, akkor el kell vennem egy y-t innen a másik oldalról is. És most nézzük meg, hogy nézne ez ki algebrailag? Mindkét oldalról elveszünk egy y-t, – és ezek a műveletek itt oldalt mindkét oldalra vonatkoznak– tehát kivonok y-t a bal oldalból, és kivonok y-t a jobb oldalból is. Pontosan ezt csináltuk a mérlegen is. Ennek a kék doboznak a tömege y. Nem tudom, hogy mi ez pontosan, de elvettem egyet. És mi maradt így a bal oldalon? Megnézhetnénk matematikailag először, de akár ide is felnézhetnénk, hogy itt mi maradt. Volt 3 valamim, és elvettem belőle 1-et, így 2 valamim maradt. Tehát 2y maradt. Látod, volt 3y, 1-et eltüntettem, így maradt 2. És a 3 sárga kocka még megvan, azaz jön még ide a plusz 3. A jobb oldalon 1y volt, de elvettem 1y-t, úgyhogy itt nem marad y, és ezt itt is láthatod ezt a mérlegen. De a 7 sárga kocka még megvan, úgyhogy itt az egyenletben 7 lesz. És mivel pontosan ugyanakkora tömeget vettem el mindkét oldalról, a mérleg továbbra is egyensúlyban lesz. Egyensúlyban volt, és ugyanannyit vettem el mindkét oldalról, így továbbra is egyensúlyban van, vagyis ez egyenlő ezzel. És most már kezd hasonlítani ez az egyenlet az előző videókban látottakhoz. Úgyhogy most mit csináljunk? Hogyan tudnánk még egyszerűbb alakra hozni, vagyis inkább hogyan tudnánk elérni, hogy a bal oldalon csak ezek az y-ok legyenek? Gondolkodj el ezen egy kicsit! Szóval ha azt akarjuk, hogy a bal oldalon csak y-os tag legyen, ugye ez a 2y, akkor az a legjobb módszer az, ha eltüntetjük ezt a 3-at, ugye a mérlegen ezt a 3 egy kilós kockát. Csináljuk is meg! Vegyük el ezt a 3 kockát a bal oldalról. De ugye ha azt akarjuk, hogy az egyensúly megmaradjon, akkor nem tehetjük azt meg, hogy csak az egyik oldalról veszünk el valamit, úgyhogy a jobb oldalon is ugyanezt meg kell csinálnunk, ugye itt is el kell vennünk 3 egy kilós kockát. Ez pedig matematikailag azt jelenti, hogy kivonunk 3-at mindkét oldalból. Így a bal oldalon csak ez a két y tömegű hasáb marad. Ugye a 3-ból 3 az nulla. Azaz, az összes tömeg 2y lesz. Itt is láthatod ezt a mérlegen, csak 2y maradt. A jobb oldalon szintén elvettünk 3 kockát, így csak 4 maradt. Tehát 2y egyenlő 4-gyel. Ugye 4 kg-mal. És megint, mivel ugyanazt csináltuk mindkét oldalon, a mérleg továbbra is egyensúlyban van. És most ezt hogyan oldjuk meg? Lehet, hogy fejben is ki tudod számolni: ugye 2 valami egyenlő 4-gyel. Így is rá lehetne jönni, de ha úgy szeretnénk folytatni, ahogy eddig csináltuk, akkor nézzük úgy, hogy van 2 valami, és ez egyenlő 4-gyel. Úgyhogy szorozzuk meg mindkét oldalt 1/2-del, vagy osszuk el mindkét oldalt 2-vel. Ugyanaz a két dolog. És ha ezt az oldalt megszorzom 1/2-del, azzal gyakorlatilag megfelezem a tömeget, azaz, az összes tömegnek csak a fele marad meg. Vagyis itt a kettőből csak egy hasáb marad meg. És ha itt a jobb oldalon is elveszem a tömeg felét, akkor el kell vennem két kockát a négyből. Matematikailag pedig ez azt jelenti, hogy mindkét oldalt megszoroztam 1/2-del, vagy a változatosság kedvéért írjuk azt, hogy mindkét oldalt elosztottuk 2-vel. A bal oldalon így y maradt, a jobb oldalon pedig a 4 osztva 2-vel, azaz 2 maradt. És most is közéjük írhatjuk az egyenlőségjelet, mert a mérleg egyensúlyban maradt. Pontosan ugyanazt csináltuk mindkét oldalon. A bal oldalon és a jobb oldalon is a mennyiségek fele maradt meg. A mérleg egyensúlyban volt, majd mindkét oldalt megfeleztük, ezért az egyensúly megmaradt. És ezzel meg is volnánk. Megoldottunk egy olyan feladatot, ami nem is olyan egyszerű, vagy legalábbis elsőre nem tűnt könnyűnek. Kiszámoltuk, hogy az y, azaz az ismeretlen tömeg 2 kg. És ezt ellenőrizhetjük is. Ez az igazán jó az algebrában, hogy visszamehetünk a feladat elejére, és megnézhetjük, hogy ha az eredeti egyenletbe behelyettesítjük a megoldásunkat, akkor igaz állítást kapunk-e. Nézzük is meg! Most már tudjuk, hogy az y tömege 2 kg-mal egyenlő, úgyhogy nézzük meg először mi volt a tömeg a bal oldalon. Átírom ezeket egy élénkebb színnel: ez itt 2, ez is 2, és ez is 2. Ez összesen 6 kg, plusz ez a 3 egy kilós súly, azaz 9 kiló van a bal oldalon. A jobb oldalon pedig van a 7 egy kilós súly plusz ez a 2, és 7 meg 2 az szintén 9 kg. Ezért volt a mérleg egyensúlyban. 9 kg volt az össztömeg mindkét oldalon.