Példák egylépéses egyenlőtlenségekre

Ebben a videóban olyan egyenlőtlenségekkel fogunk foglalkozni, ahol pozitív és negatív számokkal szorzunk vagy osztunk. Látni fogod, hogy ez egy kicsit trükkösebb, mint amikor vagy csak hozzáadunk vagy csak kivonunk számokat. . És azt is meg fogom mutatni, hogyan lehet másmilyen jelöléssel kifejezni az eredményt. Nézzünk néhány példát! Mondjuk, hogy -0,5x kisebb vagy egyenlő, mint 7,5. Ha ez egy egyenlőség lenne, akkor elosztanánk mindkét oldalt az x ismeretlen együtthatójával. Ez most is jó módszer, osszuk is el mindkét oldalt -0,5-del, viszont ami fontos az egyenlőtlenségeknél, az az, hogy amikor mindkét oldalt negatív számmal osztjuk vagy szorozzuk, akkor megfordul a reláció. Gondold csak végig! Mutatok egy egyszerű példát. Ha azt mondom, hogy 1 kisebb, mint 2, ezzel gondolom, te is egyetértesz, 1 egyértelműen kisebb, mint 2. De mi történik akkor, ha mindkét oldalt megszorzom mínusz eggyel? Ha a-1-et összehasonlítjuk a -2-vel. Most a -2 „negatívabb” szám lett, mint a -1, ami azt jelenti, hogy a -2 kisebb, mint a -1. Ezzel még nem bizonyítottuk be, hogy miért fordul meg a relációs jel, de szerintem érted. Ha valami nagyobb, és veszed mindkét oldal ellentettjét, akkor az a nagyobb szám „negatívabb” szám lesz, és ez fordítva is igaz. És ezért van az, hogy ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a jelet is meg kell fordítanunk. Szorozzuk is meg mindkét oldalt! Ha 0,5-del osztunk, az ugyanazt jelenti, mint ha 2-vel szoroznánk. Az a célunk, hogy 1 legyen az x együtthatója. Úgyhogy szorozzuk meg mindkét oldalt mínusz kettővel! -2 szorozva -0,5-del... Megkérdezhetnéd, hogy honnan jött ez a 2? Onnan, hogy arra gondoltam, hogy mivel is tudnám megszorozni a -0,5-et, hogy egyet kapjak. A -0,5 az ugyanaz, mint a -1/2, ennek a reciproka a -2. Emiatt megszorzom az egyenlőtlenség mindkét oldalát mínusz kettővel. A másik oldalon 7,5 van. Azt is megszorzom mínusz kettővel. És ne feledd, ha mindkét oldalt negatív számmal szorzod vagy osztod, akkor a relációs jel megfordul. Kisebb vagy egyenlő volt, most nagyobb vagy egyenlő lesz. A bal oldal: -2 szorozva -0,5-del, ami 1. Azt kapjuk, hogy x nagyobb vagy egyenlő, mint 7,5 szorozva -2-vel, ami egyenlő -15-tel. Ez lesz a megoldás. Minden x, ami nagyobb vagy egyenlő, mint -15. És most próbáld meg behelyettesíteni! Nullával például jó lesz, a nulla nagyobb, mint a -15. De próbáljuk ki mondjuk -16-tal! -16-tal nem lesz jó, -16 szorozva -0,5-del egyenlő nyolccal, és ez nem kevesebb 7,5-nél. A megoldáshalmaz tehát minden szám – felrajzolom számegyenesen is – minden szám, amelyik nagyobb, mint -15. Ez a pont a -15, ez a -14, -13. És a megoldás az, hogy nagyobb vagy egyenlő, mint -15. Na most, az egyenlőtlenségek megoldáshalmazát kifejezhetjük másképp is, méghozzá intervallumokkal. Először lehet, hogy ez egy kicsit szokatlan lesz, de hamar meg lehet tanulni. Mivel a -15 része a halmazunknak, ezért ez lesz az alsó határa az intervallumnak. A nyitó szögletes zárójel a bal oldalon azt jelenti, hogy a -15 is benne van, hogy az intervallumnak eleme ez a szám, a -15 része a halmaznak. És az intervallum egészen a végtelenig tartalmazza a számokat. Ide is egy nyitó szögletes zárójelet teszünk. A fordított irányban álló zárójel azt jelzi, hogy az a határ nem része az intervallumnak. Mivel a végtelen nem szám, így a végtelen esetében mindig ezt használjuk. A végtelen nincs benne semmilyen intervallumban. Az is egy lehetőség, hogy a megoldást egy halmazzal írjuk le. Például x valós szám, azután jön egy függőleges vonal, ami csak azt jelenti, hogy „amely”, x nagyobb vagy egyenlő, mint -15. Tehát minden olyan valós szám, amelyre igaz, hogy x nagyobb vagy egyenlő, mint -15. Mind a három kifejezés egyenértékű. Ezt tartsuk észben, és nézzünk meg még néhány példát! Legyen 75x nagyobb vagy egyenlő, mint 125. Itt csak el kell osztanunk 75-tel mindkét oldalt. És mivel 75 pozitív szám, nem kell megfordítani a relációt. Tehát x nagyobb vagy egyenlő, mint 125/75. Ha elosztjuk a számlálót és a nevezőt is 25-tel, akkor 5/3-ot kapunk. Tehát x nagyobb vagy egyenlő, mint 5/3. Vagy felírhatjuk az intervallumot 5/3-tól végtelenig. És ha ezt számegyenesen szeretnénk ábrázolni, akkor az 5/3 hol lesz? Az 5/3 az 1 egész 2/3. Itt van a 0, 1, 2, az 1 egész 2/3 valahol itt lesz. Itt lesz 1 és 2 között, ez lesz az 5/3, és minden, ami nagyobb vagy egyenlő, benne lesz a megoldáshalmazban. Nézzünk egy másikat! Mondjuk x/-3 nagyobb, mint -10/9. Először is azt szeretnénk, hogy csak x legyen a bal oldalon. Úgyhogy szorozzuk meg mindkét oldalt mínusz hárommal! Az együttható igazából -1/3, és ennek a reciprokával szorzunk, ami mínusz három. Ha mindkét oldalt beszorozzuk mínusz hárommal, akkor az -3 szorozva... és ezt felírhatjuk úgy, hogy -1/3 x, a másik oldalon pedig az lesz, hogy -10/9 szorozva -3-mal. És a relációs jel itt meg fog fordulni, mivel negatív számmal szorzunk vagy osztunk. Tehát megfordítjuk a jelet. A nagyobb helyett kisebb lesz, így a bal oldalon csak x lesz. Pont ezt akartuk. Ezzel itt egyszerűsíthetünk, így x kisebb... A másik oldalon negatívat szorzunk negatívval, így az pozitív lesz. Ha elosztjuk a számlálót is és a nevezőt is hárommal, akkor egyet és hármat kapunk. Így x kisebb, mint 10/3. És ha intervallumként írjuk fel a megoldáshalmazt, akkor a felső korlát 10/3, és ez nem része a halmaznak. Mivel nem kisebb vagy egyenlő volt, fordított zárójelet teszünk. Az előzőnél az 5/3 része volt az intervallum- nak, ezért nyitó szögletes zárójelet tettünk. Itt viszont a 10/3 nem része, így fordított szögletes zárójelet teszünk. 10/3-tól egészen mínusz végtelenig tartalmaz számokat. Minden, ami kisebb, mint 10/3, az a megoldáshalmaz része. Rajzoljuk is fel ezt! Ábrázoljuk a megoldáshalmazt! Itt van a 0, 1, 2, 3, 4. A 10/3 az 3 egész 1/3, ez valahol itt lesz. Nem fogjuk belevenni, a 10/3 nincs benne a megoldáshalmazban. Ez itt a 10/3. Minden, ami kisebb 10/3-nál, az része lesz a megoldáshalmaznak. És akkor nézzünk meg egy utolsót! Mondjuk x/-15 kisebb, mint 8. Megint csak megszorozzuk mindkét oldalt mínusz 15-tel. -15 szorozva x/-15-tel. A másik oldalon 8 szorozva -15-tel. És amikor egy egyenlőtlenség mindkét olda- lát negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a relációs jel megfordul. Úgyhogy itt kisebb helyett most nagyobb lesz. A bal oldalon csak az x marad, mivel ezekkel egyszerűsíthetünk. x nagyobb, mint... 8-szor -15 az egyenlő 80 plusz 40-nel, ami 120, -120. Ugye? 80+40, igen, -120. És akkor felírhatjuk a megoldáshalmazt, ami -120-szal kezdődik. De a -120 nem része a halmaznak, ugye nem volt egyenlőségjel. És egészen megy a végtelenig. Ha számegyenesen szeretnénk ábrázolni, gyorsan felrajzolok egyet. Mondjuk ez lesz a -120. A nulla legyen valahol itt, ez itt a -121, ez a -119. A -120-at nem vesszük bele, mivel nem volt egyenlőségjel, de minden számra igaz, ami nagyobb, mint a -120. Amit most kiszínezek, az mind beletartozik. Ki is próbálhatjuk, hogy jó-e. Kijön-e nullával? 0/15, az nulla. Ami egyértelműen kisebb, mint nyolc. Nyilván azért ezzel még nem bizonyítottuk, de kipróbálhatod bármelyik számmal ezek közül, és jónak kell lennie. Remélem hasznosnak találtad mindezt, várlak a következő videóban.